树德中学2025-2026学年高三上学期10月月考+数学答案_2025年10月_251017四川省成都市树德中学2025-2026学年高三上学期10月月考

树德中学高2023级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案 又因为 、 平面 ， ，所以 平面 一．选择题 又因为 平面 ，所以 ．...................................................................................6分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）如图，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系， B C B A D B C C ACD CD ABD 则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ，..................7分 二．填空题 12． 13． 14． 三．解答题 15．（1）设等比数列 的公比为q 由题意得 ，..........................................................................................................2分 所以 ， 解得 ....................................................................................................................................3分 设平面PCD的法向量为 ，因为 因为 单调递增，所以 .......................................................................................................4分 所以 ，取 .................................................................................................9分 所以 的通项公式为 ，即 .................................................6分 令 ，则 ， （2）因为 ，所以 ，.......................................................................................7分 设直线 与平面PCD所成角为 ，则 ，.................................10分 记 ，则 ，...............................................................9分 所以 ，整理得 ，......................................13分 所以 解得 或 ，可得 ，所以 或 ．...............15分 即 ..............................................................................12分 17．（1）因为两次抽奖相互独立，记“第2次抽到一等奖”为事件B，则 ............4分 （2）由题意知Y的取值可能为0，1，2，3，4， ........................................................................................................13分 综上所述 .............................................................................................................6分 16．（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ............................................................................................................8分 由 ， ，可得 ， 因为 ，所以 平面 .....................................................................................2分 .................................................................................................................10分 因为 平面 ，所以 ，.......................................................................................3分 因为 ， 为 的中点，所以 ，.....................................................................4分 .................................................................................................................12分 高三数学 2025-10 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司19．（1）当 时， ，定义域为R ， .......................................................................................................................14分 所以Y的分布列为 求导得： ， ，.................................................................1分 Y 4 3 2 1 0 当 时， ， 单调递减 P 当 时， ， 单调递增 所以Y的数学期望为 ................................17分 所以 ..................................................................................3分 18．（1）由两圆的方程知：圆心分别为 ， ，即 ， ， 所以函数 在R上单调递增.............................................................................4分 ，解得： ，...................................................................................................3分 （2）由题意知方程 有两个不同的正实根 ， ...............................................................................................................4分 即方程 有两个不同的实数解，数形结合得到 （2）由已知 ，当且仅当 三点共线时， 的长度取得最大值为 因为 ， ， ..................................................................................................................................7分 两边同时取自然对数，得 ，............................................5分 当点C与 重合时， 的最大值为 ............................................................9分 所以 的最大值为 ...............................................................................10分 两式相减得 ，即 ，.................................................6分 （3）由已知： ................................................................................11分 （i）要证 ，只需证明 ， 因为 ，所以由对称性可知： 为椭圆 截 直 线 所得弦长，................................................................................12 分 令 ，只需证明 ..................................................................................8分 设 ， 构造函数 ，求导得 ， 设 与椭圆 交于点 和 ， 所以函数 在 上单调递增，于是 ， 所以不等式 成立， 由 得： ，则 综上：不等式 成立...................................................................................................10分 ， （ii）结合（i）知当 时， ； 所以 ， ，.........................................................................14分 当 时， ；当 时， ...........................................12分 所以 ..............................16分 所以要满足 恒成立， 当 时， 取得最小值 ， 则关于x的方程 的两根也是 ， 所以 的最小值为 ..........................................................................................17分 所以 ， .....................................................................14分 高三数学 2025-10 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司所以 ， 所以 成立......................................................................................................................17分 高三数学 2025-10 第 3 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司