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第九讲 和定最值与最不利极限题
✎和定最值：
问谁就把谁设成x
其他人用x+1、x-1…来表示
问最多 其他人应尽量少
问最少 其他人应尽量多
例题1（2023安徽）
某小区物业准备了230盒口罩免费派发给10栋楼，要求任意两栋楼派发的口罩数量都不相同，但最
多相差不超过1倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发多少口罩？
A．18盒 B．15盒
C．14盒 D．12盒
【参考答案】C
【实战解析】问最少，其他楼栋应该尽量多。设派发口罩数量最少的那栋楼派发了x盒，则派发口罩
数量最多的那栋楼至多派发了2x盒，“第二多、第三多…”可依次表示为“2x-1、2x-2…2x-8”。
可列等式为：2x+2x-1+2x-2+…+2x-8+x=230，求得x=14，C选项当选。
批注 [1]: 注：若求得x不为整数，如x=14.5，则应选择B
选项（设的是最少的数值，故应该向上取整）。
例题2（2021广东县级）
某街道服务中心的80名职工通过相互投票选出6名年度优秀职工，每人都只投一票，最终A、B、C、
D、E、F这6人当选。已知A票数最多，共获得20张选票；B、C两人的票数相同，并列第2；D、E两人
票数也相同，并列第3；F获得10张选票，排在第4。那么B、C获得的选票最多为多少张？
A．11 B．12
C．13 D．14
【参考答案】D
【实战解析】B、C需要尽量多，那么其他人就需要尽量少。设第二名为X，其他人要尽量少，那么设
第三名为11。
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1 2 2 3 3 4
20 X X 11 11 10
可列等式为：20+X+X+11+11+10=80，求得x=14，D选项当选。
例题3（2022上海）
某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100分。有5位员工的平均分为90分，而且他们的分数各
不相同，其中分数最低的员工得分为77分，那么排第二名的员工至少得多少分？（员工分数取整数）
A．90 B．92
C．94 D．96
【参考答案】B
【实战解析】设排第二名的员工至少得x分，第二名得分尽量少，那么其他人得分应该尽量多。则第
一名得分可为满分100，第三名得分设为x-1，第四名得分应为x-2。
可列等式为：100+x+x-1+x-2+77=450，求得x=92，B选项当选。
例题4（2021上海）
有一座13.2万人口的城市，需要划分为11个投票区，任何一个区的人口不得超过其他区人口的10%，
那么人口最少的地区可能有多少人？
A．9800 B．10500
C．10700 D．11000
【参考答案】D
【实战解析】设人口最少的地区有x人，x尽量少，其他地区应尽量多，则设其他地区均有x＋0.1x
批注 [2]: 题目没表明各不相同，其他地区可并列最大。
人。
可列等式为：10*1.1x+x=13.2，求得 x=1.1，人口最少时该地区人数为 1.1 万，故 ABC 一定不成立，
D 选项当选。
例题5（2019江西法检）
某高校计划招聘81名博士,拟分配到13个不同的院系,假定院系A分得的博士人数比其他院系都多,
那么院系A分得的博士人数至少有多少名？
A．6 B．7
C．8 D．9
【参考答案】C
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【实战解析】设院系 A（第一名）分得的博士人数至少有 x 名，第一名尽量少，其他院系应该尽量
大，则设其他院系分得的博士人数为 x-1，列等式为：x+12（x-1）=81，求得 x=7+，向上取整取 8，C
批注 [3]: 题干没表明各不相同，则其他院系可以并列最小
选项当选。 批注 [4]: 最少分得7点几个人，向上取整。
例题6（2023浙江事业单位）
总公司选派110多名员工到5家分公司进行基层锻炼，每个分公司分到的人数均不同。已知选派人数
1
第二多的分公司人数比第四多的多10人，选派人数最多的分公司的人数占总选派人数的 ，但未超过最少 批注 [5]: 总人数应该是3的倍数，可能为111、114、117.
3
人数的3倍。那么选派人数最少的分公司的选派人数至多可能是多少人？
A．13 B．14
C．15 D．16
【参考答案】D
【实战解析】设最后一名最多能是 x 人，问最后一名最多能是多少，所以其他应该尽量小！因为问
“最后一名最多能是多少”，所以总人数也应该尽量多，总人数应为 117，第一名为 117÷3=39，可以设
第四名为 x+1 人、第三名为 x+2 人、第二名为 x+11 人。 批注 [6]: 第二比第四多10人。
1 2 3 4 5
39 X+11 X+2 X+1 X
可列等式为：39+x+11+x+2+x+1+x=117，求得 x=16，D 选项当选。
✎最不利极限题：
常见问法：至少……才能保证……
解题思路：找到最不利（最点背）情况＋1
例题7（2023山东）
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一个袋子里装了50个苹果，5个香蕉，30个橘子和50个梨，若每次从袋子里随机取出1个水果，问
至少需要取多少次能肯定拿出10个相同种类的水果？
A．10 B．35
C．33 D．32
【参考答案】C
【实战解析】最不利情况：前32次拿出9个苹果、5个香蕉、9个橘子、9个梨，则只需要再任意拿
出来一个即可满足10个相同水果，即最不利情况+1=33，C选项当选。
例题8（2022河北）
有200人参加招聘会，其中法学70人，经济学60人，工业设计50人，统计学20人，至少有多少人
找到工作才能保证一定有50人的专业相同？
A．167 B．168
C．170 D．175
【参考答案】B
【实战解析】最不利情况：招了167个人分别是49个法学、49个经济学、49个工业设计、20个统
计学，则再招一个任意专业的即可满足50个同专业，即最不利情况+1=168，B选项当选。
例题9（2021河北）
某草莓经销商有201箱的草莓要分配给若干个水果店，要求无论选用怎样的分配方式，都要有水果店
至少分到8箱，则水果店至多有多少个？
A．20个 B．21个
C．28个 D．29个
【参考答案】C
【实战解析】最不利情况：所有水果店都分到7箱，用201÷7=28余5，这5箱任意分都满足有水果
店分到8箱，则28个水果店时就满足，也是至多的情况，C选项当选。
批注 [7]: 29个水果店时，其中28家分7箱，另外一家分
5箱，不满足不管如何分都能有水果店分到8箱。
例题10（2018浙江事业单位）
某放映行有80名观众观看电影，已知有5名未成年人，观众年龄最大的69岁，问至少有多少名观众
有同龄人？
A．23 B．24
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C．25 D．26
【参考答案】B
【实战解析】已知：不到 18 岁的有 5 个人，观众年龄最大的 69 岁，那么 18 岁到 69 岁中共有
69-18+1=52 种年龄，要让同龄人的人数尽量少，那么应该让大家年龄都不同，让每个年龄都有一个人时
共有 52+5=57 人，余下人数为 80-57=23 人，这 23 人会跟之前成年人中某一个人的年龄相同，故同龄
批注 [8]: 当这23人都和18到69中间任意一个年龄相同
人有23+1=24人，B选项当选。 时，同龄人数最少
例题11（2023浙江）
某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80个抽奖券，共20个不同的数字，每个数字均出现4次，且
分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当天限抽1次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，
才能保证至少有3人领取的礼品相同？
A．41 B．42
C．61 D．62
【参考答案】A
【实战解析】2*20（20 个不同的数字均有 2 人抽到）+1=41，A 选项当选。
✎反向构造：
容斥里的最值问题
反着去想
例题12（2022江苏）
某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比
赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A．310人 B．440人
C．620人 D．690人
【参考答案】A
【实战解析】都看过的尽量少，即没看过的尽量多。没看过乒乓球、跳水和田径比赛的人数最多依次
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为 130、250、310,三项均看过的人数至少为 1000-（130+230+310）=310，A 选项当选。
例题13（2021广东）
某单位在网上办公系统传阅了 15份文件，甲阅读了 9份，乙阅读了 12份，丙阅读了 10份，则
甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有多少份？
A．0 B．1
C．2 D．3
【参考答案】B
【实战解析】三人共同阅读过的文件尽量少，即没共同阅读过的尽量多。甲、乙、丙三人没阅读过的
文件最多依次为6、3、5，那么三人共同阅读过的文件至少为15-（6+3+5）=1，B选项当选。
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