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第六讲 溶液问题与十字交叉法
✎溶液问题：纯浓度溶液问题 用溶质不变
盐水 酒精 盐酸溶液
例题1（2024河北事业单位）
某天妈妈给小兰买了一瓶果汁，浓度为 70%，小兰觉得太浓，往果汁中加了 50ml 水，
果汁浓度变成了50%。则该瓶果汁共有？
A．120ml B．125ml
C．135ml D．140ml
【参考答案】B
【实战解析】方法一：根据溶质不变，设该瓶果汁共有Xml,列方程可得0.7X=0.5（X+50），
解得X=125，答案为B选项；
35 35
方法二：赋值溶质为35份，原果汁为 =50份，现果汁= =70份，
70% 50%
35
果汁浓度由 →
50
3
7
5
0
，可得20份对应50ml,原果汁50份为125ml;
方法三：十字交叉法，水浓度为0%，可得该瓶果汁125ml.例题2（2022深圳）
实验室有甲、乙、丙3瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、40%、60%，实验员将3瓶溶液全
部倒入一瓶中，得到浓度为52%的盐酸溶液。已知乙溶液重量为甲溶液的1.5倍，则丙溶液
重量为甲溶液的多少倍？
A．4.5 B．5.5
C．6.5 D．7.5
【参考答案】D
【实战解析】分别设甲、乙、丙重量为 1、1.5、X，根据溶质不变列方程可得：
0.1+0.6+0.6X=0.52(2.5+X)，解得X=7.5，答案为D选项。
例题3（2022湖北选调）
将一满容器浓度为24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液
浓度变为36%且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为
多少？
A．24% B．28%
C．30% D．32%
【参考答案】B
【实战解析】假设溶质为24和36的最小公倍数72，溶液浓度从24%变为36%，即
3
7
0
2
0
72
→ ，少了 100 份水，将容器用 12%的溶液加满，新溶液浓度=
200 2
7
0
2
0
+
+
1
1
2
0 0
=28%，答案为
B选项。
例题4（2024广东事业单位）
甲、乙两个相同的烧杯中分别装满了浓度为24%和40%的同种溶液，将甲杯中倒出一半
溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，再将甲杯倒出一半溶液，又用乙杯中的溶液将甲杯
加满，最后甲杯中溶液的浓度是？
A．25% B．32%
C．36% D．40%
【参考答案】C
24 12 12+20
【实战解析】假设两个烧杯容量都为100，甲烧杯溶液浓度变化为 → →
100 50 50+50
32 16+20
= → =36%，答案为C选项。
100 50+50例题5（2020浙江大学生）
实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配
成浓度为15%的盐酸600毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为？
A．16.5% B．18.6%
C．20% D．21.25%
【参考答案】D
【实战解析】抓住溶质、溶液变化列式可得，剩余溶液浓度为
5
5
0
0
0
+
+
1
5
2
0
5
0
−
−
9
6
0
0 0
=21.25%，
答案为D选项。
✎十字交叉法：类浓度 十字交叉
平均分 平均年龄 长方形；正方形 增长率 占比等
例题6（2021广东选调）
某单位有40名职工，有部分人分A、B两个批次参与一次法律素质测评，每人只能参加
一个批次，A批次的平均成绩为86分，B批次的平均成绩为80分，总的平均成绩为84分，
则该单位参与这次法律素质测评的职工最多有多少人？
A．36 B．37
C．38 D．39
【参考答案】D
【实战解析】根据十字交叉法可得 A、B 批次人数比为 2:1，则总人数应为 3 的倍数，
小于40的情况下，最多为39人，答案为D选项。例题7（2024联考）
高校管理学院某期培训班有不到 100 名学员参加，期中、期末两次考试平均分分别为
68分和75分，期中考试不及格学员平均分为53分，及格学员平均分为74分；期末考试不
及格学员平均分为47分、及格学员平均分为83分。问这期培训班有多少名学员参加？
A．42 B．54
C．63 D．77
【参考答案】C
【实战解析】分别根据期中考试与期末考试列出十字交叉公式可得，学员总数为 7、9
倍数，答案为C选项。
例题8（2024江苏）
某商店购进一款无线路由器，进价 100 元/个，加价 30%出售，半年后将剩下的打 7 折
全部售出，共盈利7410元，若成本利润率为19%，则打7折售出的路由器共有多少个？
A．90个 B．100个
C．105个 D．110个
【参考答案】D
1300.7−100
【实战解析】打折前利润率为30%，打折后利润率为 =-9%，代入十字交
100叉公式可得成本之比为28:11,因为成本为100元/个,则量之比也为28:11,所以打折后卖出
量应为11的倍数，答案为D选项。
例题9（2022联考改编）
某工厂要做如图①所示的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，需从仓库领取如图②中的
长方形和正方形纸板作侧面和底面，每次领取的纸板必须用完。工作人员领取记录如下表，
仓库管理员在核查工作人员四次领取纸板数的记录时发现有一次记录有误。问第几次记录有
误？
次数 正方形纸板(张) 长方形纸板(张)
第一次 562 933
第二次 420 860
第三次 500 1000
第四次 980 1015
A．一 B．二
C．三 D．四
【参考答案】D
【实战解析】列出两种纸盒所需长方形、正方形纸板之比可得，左侧：长：正=4:1，右侧：长：正=3:2，根据混合浓度可知 1 . 5 ＜
长正
（
（
整
整
体
体
）
）
＜ 4 ，分析选项，第四次不符，答案为D
选项。
例题10（2016联考）
某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的30%，且音
乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问音乐系和美术系的总人数
之比为多少？
A．5∶2 B．5∶1
C．3∶1 D．2∶1
【参考答案】D
【实战解析】根据男占比=
总
男
人
生
数
，女占比=
总
女
人
生
数
，代入十字交叉公式可得，答案
为D选项。
改编题：十字交叉中，求谁就将谁放在分母。附加题：
【参考答案】B
【实战解析】代入十字交叉公式可得：
应注意此时 7:8 为 2016 年产量之比，求 2017 年产量比还应再乘以增长率，2017
年产量比为7×（1+10%）：8×（1+25%）=77:100，答案为B选项。
