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第十三讲 基础排列组合
✎基础排列组合：
有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手，全部减不符
无序：60个人里选三个人一组，𝐶3 = 60×59×58 = 𝐴 6 3 0
60 3×2×1 𝐴3
3
有序：60个人里选三个人站成一排，𝐴3 = 60×59×58
60
分类：从家到学校可以选择坐车和不坐车，坐车有公交、地铁、出租车三种，不坐车有
走路自行车两种。从其中任选一种方式即可完成任务，用加法即𝐶1＋𝐶1
3 2
分步：从家到学校有两段路，第一段坐车，第二段不坐车，坐车有公交、地铁、出租车
三种，不坐车有走路自行车两种。一项工作分为几个步骤，其中每个步骤都不能单独完成该
任务，用乘法即𝐶1×𝐶1
3 2
有特殊要求：排列时的先安排有特殊要求的
全部减不符：用全部可能减去不符合题干要求的可能，有时这样解题更快捷简便
例题1（2023吉林）
教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。
学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习
的顺序共有多少种？
A．120种 B．72种
C．36种 D．24种
【答案】C
【实战解析】因为有两项不能放在开头结尾，所以要先从剩余三个里面有顺序选择两个做首尾，即𝐴2；
3
然后剩下三个在中间按序排列，即𝐴3。总体即为𝐴2×𝐴3=36，答案为C选项。
3 3 3
例题2（2023吉林）
在一次“互联网+现代农业”培训会后，为了交流拓展农村电商产业路径，要求各地参会代表一周内
每两人互通一次电话，已知他们一周内共打了120次电话，这次参与培训交流的人数是多少？
A．20 B．18
C．16 D．15
【答案】C
【实战解析】每两人打一次电话，两个人内部没有排序，所以是120人组成x个二人组，即𝐶2=120，
𝑥
𝑥（𝑥−1）
也就是 = 120，x（x-1）= 240，带入可得x=16，答案为C选项。
2×1
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例题3（2023联考吉林）
像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一样，如果将一个数的数字倒排后所得的数仍
是这个数，这样的数称为回文数，例如11，22，343，565，1881，20102等，在所有三位数中回文数共有
多少个？
A．81个 B．90个
C．99个 D．100个
【答案】B
【实战解析】三位数中各位数设为x、y、z，根据题干可得x=z，且x作为首项不能为0有9种可能，
y为中间项有10种可能，即𝐶1×𝐶1 = 9×10=90，答案为B选项。
9 10
例题4（2024联考）
企业将12个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，
但比丙团队多，且每个团队至少分配1个名额。问有多少种不同的分配方式？
A．6 B．7
C．36 D．42
【答案】B
【实战解析】枚举法：
按照一定顺序进行枚举
甲 乙 丙
9 2 1
8 3 1
7 4 1
6 5 1
7 3 2
6 4 2
5 4 3
综上，可能的分配方式有7种，答案为B选项。
例题5（2024江苏）
某公司派出5名人力资源专员去2个一线城市和2个二线城市参加秋季招聘会。若每名专员只去其中
一个城市，每个一线城市至少派一名专员，每个二线城市只派1名专员，则不同的派出方法共有多少？
A．110种 B．130种
C．120种 D．140种
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【答案】C
【实战解析】由题干可知，人员分配只能有（2,1,1,1）一种组合。先从 5 人中选两个人为一个组合
（𝐶2），该组合只能去一线城市（𝐶1），剩下三个人各自去一个城市（𝐴3），所以不同的派出方式共有
5 2 3
𝐶2 ×𝐶1 ×𝐴3 = 10×2×6 = 120，答案为C选项。
5 2 3
✎简单枚举：
例题6（2025国考）
某竞赛由5道次序固定的判断题组成，参赛者起始为0分，每答对1题加1分，每答错1题扣1分。
小王作答了所有试题，答完每道题时当前的得分都不低于1分。问他的答题情况有多少种不同的可能？
A．7 B．6
C．4 D．3
【答案】B
【实战解析】枚举，由题干可知小王的得分始终要≥1，所以第一二题必须答对得分。
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题
综上，共有6种可能，答案为B选项。
例题7（2025甘肃省考）
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甲乙丙三个科室分别有3名、5名和2名党员。现有4个去党校学习的名额，要求至少分配给2个科
室。问有多少种不同的分配方式？
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】B
【实战解析】至少分配给两个科室，即可以分配给两个，也可以分配给三个。
两个科室可能的组合有（3,1）：甲乙、乙甲、甲丙、乙丙（4种）
（2,2）：甲乙/乙甲、甲丙/丙甲、乙丙/丙乙（3种）
三个科室可能的组合有（2,1,1）：甲乙丙/甲丙乙、乙甲丙/乙丙甲、丙甲乙/丙乙甲（3种）
因此，符合题干的分配方式共有4+3+3=10种，答案为B选项。
✎分情况讨论：
例题8（2024国考副省）
公司有六个编号依次为 1～6 的研发团队，现安排这 6 个团队参与甲、乙两个科研课题，要求每个团
队参与一个课题。每个课题最少安排2个团队，每个课题安排一个团队负责，且负责团队不能是该课题所
有参与团队中编号最小的团队。问有多少种不同的安排方式？
A．300 B．340
C．150 D．170
【答案】D
【实战解析】由题干可知有三种可能的组合（2,4）（3,3）（4,2）
甲2乙4：𝐶2×𝐶1 = 45（甲从6个课题中选2个，不用选负责人；乙从剩余4人中3个较大的编
6 3
号团队中选一个做负责人）
甲3乙3：𝐶3×𝐶1×𝐶1 = 80（甲从6个课题中选3个，从2个数字较大团队中选一个做负责人，
6 2 2
乙也是从2个数字较大的团队中选一个做负责人）
甲4乙2：𝐶4×𝐶1 = 45（甲从6个课题中选4个，再从3个较大的编号团队中选一个做负责人，
6 3
乙为剩下2个团队，不用选负责人）
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综上，符合题干要求的安排方式共有45+80+45=170，答案为D选项。
例题9（2024联考）
安排 A、B、C、D 共 4个研发团队参与甲、乙、丙 3 个课题的研究，要求每个课题至少有 1 个团队参
与，每个团队必须且只能参与 1 个课题，如甲课题参与的团队数超过 1 个，则 A、B 都不参与甲课题，问
共有多少种不同的安排方式？
A．24 B．26
C．36 D．42
【答案】B
【实战解析】甲有两种情况，2个团队和1个团队。
甲2个团队：𝐴2 = 2（只能CD参与甲课题）
2
甲1个团队：𝐶1×𝐶2×𝐶1 = 24（先给甲选一个团队，从剩下3个中选2个组成组合，从乙丙中
4 3 2
选一个是2个团队的）
综上，符合题干的安排方式有2+24=26种，答案为B选项。
例题10（2022北京）
将张、王、李、陈、赵五名应届毕业生分配到甲、乙、丙 3 个不同的科室，要求每个科室至少分配 1
人，甲科室分配的人数多于乙科室，且张和王不能去丙科室。则有多少种不同的分法？
A．12 B．21
C．35 D．72
【答案】B
【实战解析】由题干可知，甲科室人数要多于乙科室，因此可能的情况有两种（3,1,1）（2,1,2）
（3,1,1,）：𝐶1×𝐶1 = 12（张王不能去丙，先从除张王3个人中选1个给丙，再从剩余4 个人
3 4
中选1个给乙，剩下的归甲）
（2，1，2）：𝐶2×𝐶1 = 9（张王不能去丙，先从除张王3个人中选2个给丙，再从剩余3个人
3 3
中选1个给乙，剩下的归甲）
综上，符合题干的分法有12+9=21种，答案为B选项。
例题11（2022青海）
某市举办世界遗产大会，开幕式会场需要从6组志愿者中选出4组分别从事防疫协助、嘉宾引导、英
语翻译、物资发放四项不同的工作，其中甲、乙组不能从事英语翻译工作，丙组只能从事防疫协助工作，
则派选方案有多少种？
A．36种 B．72种
C．108种 D．144种
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【答案】C
【实战解析】由题干可知，丙只能干防疫，所以可以分为有丙和无丙两种情况。
有丙：𝐶1×𝐴2 = 36（丙干防疫协助，从除甲乙丙之外的3人中选1人给英语翻译，剩余4 人中
3 4
选2人负责嘉宾引导和物资发放）
无丙：𝐶1×𝐴3 = 72（从除甲乙丙之外的3人中选1人给英语翻译，剩余4人中选3人负责嘉宾
3 4
引导、物资发放和防疫协助）
综上，符合题干要求的方案有36+72=108种，答案为C选项。
✎全部减不符：
例题12（2021安徽）
某高校开设 A类选修课四门，B类选修课三门。小刘从中共选取四门课程，若要求两类课程各至少选
一门，则选法有多少种？
A．18种 B．22种
C．26种 D．34种
【答案】D
【实战解析】全部-不符
全部情况数：𝐶4 = 35（从总共3+4=7门课中选4门课程）
7
不符和情况数：1（4门课程全选A类）
综上，符合题干的情况数为全部-不符=35-1=34种，答案为D选项。
例题13（2023黑龙江）
在一个3×3的表格（如下图所示）中，分别填入5个数字0和4个数字1，若要求灰色方格中不能同
时填入数字1，问有多少种填法？
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A．98 B．100
C．120 D．126
【答案】C
【实战解析】全部-不符
全部情况数：𝐶4 = 126（一共9个格子，从中选出4个格子给1）
9
不符合的情况数：𝐶1 = 6（三个灰色格子全填1 ，再在剩余6个格子中选1个给剩下的一个1）
6
综上，符合题干的情况数为全部-不符=126-6=120，答案为C选项。
例题14（2022安徽）
滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和
北欧两项是滑雪大项中的6个分项，短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3个分项。小林打算
去现场观看比赛，共选择6个项目，并且每个大项不少于1个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的
观赛方式有多少种？
A．83种 B．84种
C．92种 D．102种
【答案】A
【实战解析】全部-不符
全部情况数：𝐶6 = 84（从全部6+3=9个赛事中选择6个）
9
不符合的情况数：1（6个全部选择滑雪大项，只有一种情况）
综上，符合题干的情况数为全部-不符=84-1=83种，答案为A选项。
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