河北省石家庄实验中学2025届高三年级第一次调研考试数学答案_2025年3月_250313河北省石家庄实验中学2025届高三年级第一次调研考试（全科）

石家庄实验中学 2025 届高三年级第一次调研考试 数 学 命题：高三数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无 效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集的定义即可得答案. 【详解】由题， ，则 . 故选：D 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】因为 ， 第1页/共28页 学科网（北京）股份有限公司所以 . 故选：A． 3. 已知平面向量 满足 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由 ，可得 化简得 ，结合已知条件和数量积公式，再由向量的模 长公式代入即可求出 . 【详解】由于 ，所以 ， 又因为 所以 所以 ， 所以 . 故选：C. 4. 已知圆与直线 相切于点 ，且圆过点 ，则圆的半径是（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得圆心在 和 上，联立方程组即可求出圆心为 ，圆心到 的距离即为半径. 【详解】与直线 垂直且过点 的直线为： ， 第2页/共28页 学科网（北京）股份有限公司化简为 ，所以圆心在 ， 又因为圆心在 和 的垂直平分线上， 所以 和 的垂直平分线为 ， 所以 ，解得： ， 所以所求圆的圆心 ，半径 ， 故选：A. 5. 已知 ，且 ， ，其中 ，则 （ ） . A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将角度拆则分 ， ，利用两角和差的正弦公式展开整理后， 结合商数关系即可得. 【详解】解：∵ ∴ 整理得： ，由于 ， ，所以 ， 则 ，即 . 故选：B. 第3页/共28页 学科网（北京）股份有限公司6. 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分 ， 和 三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的 取值范围. 【详解】当 时， 单调递减， 故 在 处取得最小值，最小值为 ，满足要求， 当 或 时， ， 令 得 或 ， 当 时， 恒成立， 故表格如下： 0 + 0 极小值 极大值 故 在 上取得极小值， 且 ， ， 第4页/共28页 学科网（北京）股份有限公司要想 在区间 上的最小值为 ， 则要 ，变形得到 ， 令 ， ， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 且 ， ， 的 故 解集为 ， 时，令 可得 ， 当 时， ， 令 得 ， 故 在 上单调递减， 故 在 处取得最小值，最小值为 ，满足要求， 当 时， 恒成立， 故表格如下： + 0 0 + 极大值 极小值 第5页/共28页 学科网（北京）股份有限公司故 在 上取得极小值， 且 ， ， 要想 在区间 上的最小值为 ， 则要 ，变形得到 ， 令 ， ， 时， ， 单调递增， 又 ，故 上， 无解， 综上：实数a的取值范围是 . 故选：C 【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数 的导函数为 二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等. 7. 若数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据 之间的关系可求出 ，进而求得 ，由此结合熟的大小比较可判 第6页/共28页 学科网（北京）股份有限公司断A，B，C，利用放缩法，当 时，可推出 ，累加即可判断D. 【详解】令 ，则 ，即 ， 由 ，的 ； 当 时， ，即 ， 又 ，故 为首项是1，公差为1的等差数列， 则 ，故 ， 所以当 时， ， 也适合该式， 故 ， 对于A， ，A错误； 对于B， ，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D，当 时， ， 故 ，D正确， 故选：D 8. 超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽 奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费 2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心 第7页/共28页 学科网（北京）股份有限公司也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为（ ） A. 12 B. 15 C. 17 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】设抽奖次数为 ，花费的积分为 ，则 ，表达出 ，利 用错位相减法和极限思想求出答案. 【详解】设抽奖次数为 ，花费的积分为 ，则 ， 每次抽中100元代金券的概率为 ， 故 ， 设 ，① ，②， 两式相减得 ， ， 故 ， 故 ， 故选：B 第8页/共28页 学科网（北京）股份有限公司二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数 与所用时间 （单位： ）的5组数据为： ，根据以上数据可得经验回归方程为： ，则（ ） A. B. 回归直线 必过点 C. 加工60个零件的时间大约为 D. 若去掉 ，剩下4组数据的经验回归方程会有变化 【答案】BC 【解析】 【分析】求得数据的样本中心点可判断B；结合回归方程可求出 可判断A；将 代入回归方 程求得预测值可判断C；根据 恒过 ，可判断D. 【详解】 ， ， 所以 恒过 ，所以 ， 解得： ，故A错误；B正确； 所以 ，令 ，则 ， 故加工60个零件的时间大约为 ，故C正确； 因为 恒过 ， 所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D错误. 故选:BC. 第9页/共28页 学科网（北京）股份有限公司10. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，左、右顶点分别是 ，点 是椭圆 上异 于 的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 在 B. 存 点 满足 C. 直线 与直线 的斜率之积为 D. 若△ 的面积为 ，则点 的横坐标为 【答案】CD 【解析】 【分析】由椭圆方程有 ，A由椭圆定义即可知正误；B由当 在椭圆上下顶点时 最大，求出对应 即可确定是否存在 ；C令 ，即有 ，由点在椭圆上即可确定是否为定值；D由三角形面积可确定P点纵坐标，代入椭圆 即可求其横坐标. 【详解】由椭圆方程知： ， A： ，错误； B：当 在椭圆上下顶点时， ，即 最大值小于 ，错误； C：若 ，则 ， ，有 ，而 ，所以 第10页/共28页 学科网（北京）股份有限公司，即有 ，正确； D：若 ，△ 的面积为 ，即 ，故 ，代入椭圆方程得 ， 正确； 故选：CD. 11. 已知 ， ，且 则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先利用因式分解法得 ，再通过证明 ，可知只有一解即： ，然后把选项中的 代换为 并进行化简可得A正确，C错误，而BD则需要构造为关于 的函 数，利用求导法来判断单调性和最值，从而得证． 【详解】由 因式分解可得： ， 又因为 ，可知 ，即 ， 又由函数 ，求导 ， 当 时， ，可知 在 上递减， 当 时， ，可知 在 上递增， 所以 在 时取到最小值为0，有 第11页/共28页 学科网（北京）股份有限公司即不等式 成立，所以 ， 由 可得： ，即 ， 对于选项A， ，所以选项A的正确的； 对于选项B， ，构造函数 ，求导 ， 由 时， ，所以 在 上递增， 即 ，因为 ，所以 ，所以选项B是正确的； 对于选项C， 与 不可能等价，所以选项C是错误的； 对于选项D， ，构造函数 ，求导 ， 由 时， ，所以 在 上递增， 由 时， ，所以 在 上递减， 所以 的最大值是 ，即 ，所以选项D是正确的； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过椭圆 ： 右焦点 的直线 ： 交 于 、 两点， 为AB的 第12页/共28页 学科网（北京）股份有限公司中点，且OP的斜率为 ，则椭圆 的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得 ，再设 ，点 坐标代入椭圆 方程相减得出直线 与直线 斜率的关系，从而求得 的关系，结合 可求得 得椭圆方程． 【详解】在 中令 得 ，所以椭圆右焦点为 ，即 ， 设 ， ， ， ∴ ，两式相减得 ， 所以 ，即 ，从而 ， ∴ ， 又 ，因此 ， ∴椭圆标准方程 ， 故答案为： 13. 如图，正四面体 的体积为 ， 、 是棱 、 靠近点 的三等分点， 是棱 第13页/共28页 学科网（北京）股份有限公司靠近点 的三等分点， 是棱 靠近点 的三等分点，则多面体 体积为______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】多面体 体积为三棱锥 与四棱锥 体积之和,再利用体积之比与 高之比底面积之比的关系解题即可. 【详解】连接 ， ∵ ∴ ， ∵ ， ∴ , 第14页/共28页 学科网（北京）股份有限公司∴多面体 体积为： . 故答案为： . 14. 若不等式 （ 是自然对数的底数）对任意 恒成立，则当 取最大值时，实 数 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，令 ，可知当 时符合题意，利用导数可得函数 的 单调性和最小值 ，其中 ，令最小值大于或等 于0，进而得解. 【详解】由题意可知 ，令 ， 当 时，研究函数 与 的图象， 因为 ，当 时， ，所以函数 单调递减， 当 时， ，所以函数 单调递增， 所以函数 有最小值为 ， 而 为单调递减的直线，如图， 第15页/共28页 学科网（北京）股份有限公司此时 不恒成立，不符合题意； 当 时， ， 令 ， ， 易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 且由于函数 有最小值为 ，所以当 时，方程 有解， 设解为 ，则 ，且 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的最小值为 ， 由题意 恒成立，所以 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号，此时 . 【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程 有解，设解为 ，则 ，从而表示出 的 最小值，进而求解. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形 中，角 的对边分别为 ，已知 . 第16页/共28页 学科网（北京）股份有限公司（1）求角 ； （2）若 ，设 为 的中点，且 ，求三角形 的周长. 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互换结合题意可得 ，据此可得答案； （2）由题可得 ，由余弦定理可得 ，据此可得答案. 【小问1详解】 因为，所以 ， 则 ，化简得， ， 因为 ，所以 ，即 . 又因为 ，所以 ； 【 小问2详解】 因为 为 中点，所以 ， 两边平方可得， ，即 ① 在 中，由余弦定理得 ② 联立 可得， ，所以 ，故 . ①② 所以 的周长为 . 第17页/共28页 学科网（北京）股份有限公司16. 已知抛物线 的焦点为 ，设 为 上不重合的三点，且 . （1）求 ； （2）若 均在第一象限，且直线 的斜率为 ，求 的坐标. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）首先 ，其次由 可得 ，结合焦半径公式即可求解； （2）设直线 的方程为 将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可得 ，结 合 可得 ，代入抛物线方程即可求解. 【小问1详解】 根据题意有 . 设 ， 则 ， 由 可得 ，即 . 又由抛物线的几何性质可知 . 故 . 【小问2详解】 第18页/共28页 学科网（北京）股份有限公司根据条件设直线 的方程为 ， 与 的方程 联立并化简有 . ， 结合（1）中所设点坐标可知 ， ， 由 可得， . 代入 得 ， 所以点 坐标为 . 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是结合韦达定理以及向量共线先得 的纵坐标，由此即可顺利得解. 17. 已知三棱锥 中，平面 平面 ， 平面 ． 第19页/共28页 学科网（北京）股份有限公司（1）求证： （2）若二面角 的正弦值为 ，且 ， ，求 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过 作 于 ，由面面垂直的性质定理可得 平面 ，从而 ，再 由线面垂直的定义和判定定理可证； （2）解法一：过 作 于 ，连接 ，所以 即为二面角 的平面角，又有 （1）可得 ，设 ，则 ，结合已知即可得解； 解法二：同方法一得 ， ，设 ，则 ， 可解； 解法三：如图，以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，记二面角 为 ，设 ，求出面 的法向量 ，又面 的法向量为 ，由二面角的向 量法求解； 解法四：如图，以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ，有 第20页/共28页 学科网（北京）股份有限公司， 求出面 的法向量 ，由二面角的向量法解得 ，又 ，即 ，可解. 【小问1详解】 过 作 于 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 ，因为 平面 ，且 所以 平面 ， 平面 ， 因此 ． 【小问2详解】 解法一：过 作 于 ，连接 ， 则 平面 ，所以 ， 所以 即为二面角 的平面角， 所以 ， ， 又有（1）可得 ， 设 ，则 ， 第21页/共28页 学科网（北京）股份有限公司所以 ， 所以 ， 从而 ； 解法二：同方法一得 ， ， 设 ，则 ， 所以 ，解得 ， 从而 ； 解法三：如图，以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系， 记二面角 为 ，设 ，由法一可知， ， ， ， 第22页/共28页 学科网（北京）股份有限公司设面 的法向量为 ，则 ， 即 ，令 ，得 ， 又面 的法向量为 ， 记二面角 为 ，则 ， 所以 ， 解得 ，则 ， 所以 . 解法四：如图，以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系， ，设 ，有 ， ， 设面 的法向量为 ，有 ，即 ， 令 ，得 ， 又面 的法向量为 ， 记二面角 为 ，则 ，则 ， 第23页/共28页 学科网（北京）股份有限公司所以 ， 解得 ， 又 ，即 ， 所以 ，则 . 18. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数. （1）求函数 的单调区间； （2）证明： ； （3）设 ，若存在实数 使得 ，求 的最大值. 【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ； （2）证明见解析； （3） . 【解析】 【分析】（1）求出 ，判断导数正负得到函数 的单调区间； 第24页/共28页 学科网（北京）股份有限公司（2）利用分析法转化要证结论，要证 ，即证 ，令 ，即证 ，利用导数判断 单调性，求出最大值即可得证； （3） ，分别讨论当 时和 时是否存在 使得 ，即可求解. 【小问1详解】 的定义域为 ， 所以当 时， ；当 时， . 所以 的增区间为 ，减区间为 . 【小问2详解】 要证 ，即证 ，令 ，即证 ， ，令 ，则 ，所以 在 上单调递减，又 ， 当 时， ；当 时， . 在 上单调递增，在 上单调递减， ，所以 ，即 得证. 【小问3详解】 第25页/共28页 学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即存在 满足题意； 当 时，由（2）知， ， 此时 恒成立，不满足题意； 综上，所以 的最大值为 . 19. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点．对任意的点 ，定义 ．任取点 ， ，记 ， ，若此时 成立，则称点 ， 相 关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ① ， ；② ， ． （2）给定 ， ，点集 ． （ ）求集合 中与点 相关的点的个数； （ ）若 ，且对于任意的 ， ，点 ， 相关，求 中元素个数的最大值． 【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（ ） 个（ ） . 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐 标是否符合定义要求. （2）（ ）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合 第26页/共28页 学科网（北京）股份有限公司中与点 相关的点的个数；（ ）由（1）可知相关点满足 ，利用分类讨论 证明 ，即可求得 中元素个数的最大值． 【详解】若点 ， 相关，则 ， ，而 ， 不妨设 ， 则由定义 可知 ， 化简变形可得 ， （1）对于① ， ；对应坐标取绝对值，代入可知 成立，因此相关； ②对应坐标取绝对值，代入可知 ，因此不相关. （2）（ ）在第一象限内， ，可知 且 ，有 个点；同理可知，在第 二象限、第三象限、第四象限也各有 个点. 在 轴正半轴上，点 满足条件；在 轴负半轴上，点 满足条件； 在 轴正半轴上，点 满足条件；在 轴负半轴上，点 满足条件； 原点 满足条件； 因此集合 中共有 个点与点 相关. （ ）若两个不同的点 ， 相关，其中 ， ， ， ， 可知 . 下面证明 . 若 ，则 ，成立； 第27页/共28页 学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ， 若 ，则 ，亦成立. 由于 ， 因此最多有 个点两两相关，其中最多有 个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上， 一个点为原点. 因此 中元素个数的最大值为 . 【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题. 第28页/共28页 学科网（北京）股份有限公司