文档内容
2025/2026 学年度第一学期
联盟校第一次联考高三年级数学试题
（总分 150 分 考试时间 120 分钟）
注意事项：
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必
须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答
案，请保持答题纸清洁，不折叠､不破损.
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】因为集合 ，所以 .
故选：C.
2. 若函数 为奇函数，则 （ ）
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，建立方程，结合三角函数的奇偶性，可得答案.
【详解】由题意可得 ，即 ，
化简可得 ，解得 .
故选：A.
3. 若 ，则 为（ ）
第 1页/共 15页A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根据各象限三角函数符号特征判断即可
【详解】由 ，得角 的终边在 y 轴左侧，即第二或第三象限，或 x 轴负半轴，
由 ，得角 的终边在第一或第三象限，
所以当 时， 为第三象限角.
故选：C
4. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 声强是表示声波强度的物理量，记作 .由于声强 的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，
规定声强级 ，其中 ，声强级的单位是贝尔， 贝尔又称为 分贝.生活在 分
贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在 分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所给
信息，可得 分贝声强级的声强是 分贝声强级的声强的（ ）
A. 3 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】C
【解析】
【分析】
将分贝换算成贝尔，根据指数与对数运算的关系可求得 分贝和 分贝对应的声强，从而求得倍数关系.
【详解】 分贝为 贝尔， 分贝为 贝尔，
第 2页/共 15页令 ，则 ；令 ，则 ， ，
即 分贝声强级的声强是 分贝声强级的声强的 倍.
故选： .
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，结合同角三角函数平方关系求出 ，再由两角和 正弦公式即可求解.
【详解】由 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
7. 已知关于 的方程 有三个不相同的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过分离参数和分析函数的单调性、极值最值即可得.
【详解】由方程 ，得 ，且 .令 .
①当 时， ，所以 ， ，
第 3页/共 15页令 ，得 ，即 .
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 处取得极大值也是最大值，
，当 .
②当 时， ， ，
所以 在 单调递增，且 ， .
因方程 有三个不相同的实根，所以函数 与 有三个不同的交点，如图：
所以 .
故选：A.
8. 设函数 在区间 恰有 2 个零点、2 个极值点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合正弦函数的图象和性质，求 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 .
第 4页/共 15页因为函数 在区间 恰有 2 个零点，
所以 ；
因为函数 在区间 恰有 2 个极值点，
所以 .
综上 .
故选：C
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可.
【详解】对于 A，当 时， 显然不成立，错误；
对于 B，由 ，可知 ，所以 ，正确；
对于 C，取 ，此时 ，错误；
对于 D，取 ，此时 ，错误；
故选：ACD
10. 函数 在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
第 5页/共 15页A. 函数 的值域为
B. 该函数的解析式为
C. 是函数 图象的一个对称中心
D. 函数 的减区间是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据图象求得 ，结合三角函数的值域、对称性、单调性求得正确答案.
【详解】由图知 值域为 ，故 A 正确；
由 ，得 ，
，代入 得 ，
又 ，故 B 错误；
由 ，得 ， ，故 C 错误；
由 ，
得 ，故 D 正确.
故选：AD.
11. 已知定义域为 的函数 ，对任意实数 都有 ，且 ，
则以下结论一定正确的有（ ）
第 6页/共 15页A. B. 是奇函数
C. 关于 中心对称 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，令 得 或 ，令 得 ，结合
求得 ；对 B，令 ，结合 利用偶函数定义判断；对 C，令 得
，即可判断；对 D，由 B、C 的解析可得函数 的周期为 4，从而可判断 D.
【详解】对于 A，令 ，可得 ，解得 或 ，
令 ， ，
又 ，若 ，则 ，显然不成立，故 ，故 A 正确；
对于 B，令 ，得 ，即 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 B 错误；
对于 C，由选项 A 知， ，所以 ，
令 ，得 ，即 ，
所以函数 关于 中心对称，故 C 正确；
对于 D，因为 为偶函数，所以 ，
又由 C 选项得 ，即 ，得 ，
所以 ，故函数 的周期为 4，
因为 ，
所以一个周期的和为 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
第 7页/共 15页12. 写出使得命题“ ， ”的否定是假命题的一个实数 的值__________.
【答案】 （答案不唯一，满足 的都可以）
【解析】
【分析】分析可知，命题“ ， ”为真命题，利用基本不等式求出 的最小值，
即可得出实数 的取值范围，即可得出答案.
【详解】若命题“ ， ”的否定是假命题，
则命题“ ， ”为真命题，所以 ，
因为 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故当 时， 的最小值为 ，所以 .
故答案为： （答案不唯一，满足 的都可以）.
13. 已知 ， ，则 的最小值为__________.
【答案】1
【解析】
分析】分离常数，然后根据基本不等式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ， ，
取等条件为 .
故答案为：1
14. 已知当 时， ，则正数 a 的取值范围为__________.
【答案】
第 8页/共 15页【解析】
【分析】同构变形不等式得 ，构造函数 ，求导，得函数
单调性，进而可得 在 上恒成立，再一次构造函数 ，求出最值即可
得解.
【详解】因为 ，所以
又 ，
所以 ，
令 ，则
又 ，当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，两边同时取对数得： ，
即 在 上恒成立，等价于 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 ，
所以 .
故答案为： .
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， ，其中 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
第 9页/共 15页【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）解绝对值不等式求解集合 A，解一元二次不等式求解集合 B，然后利用补集和交集运算求解即
可.
（2）解一元二次不等式求解集合 B，由题意得 是 的真子集，由集合关系列不等式求解即可.
【小问 1 详解】
由 ，解得 ，即 ，故 ，
因为 ，所以 ，
由 ，解得 ，故 ，
则 或 ， 或 .
【小问 2 详解】
由 可得 ，
因为 ，所以 ，
所以不等式 的解为 ，即 ，
因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的真子集，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，验证 时符合题意，
故实数 的取值范围为 .
16. 已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
第 10页/共 15页【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简可得；
（2）化为关于 齐二次式，再结合（1）的结果可得.
【小问 1 详解】
由题意得， ，
即 ，
若 ，则 ，不符合 ，
故 ，则 .
故 ；
【小问 2 详解】
.
故 .
17. 已知函数 .
（1）求 的单调递增区间及最小正周期；
（2）设 ，若集合 恰有一个元素，求 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式化简函数，利用正弦函数的单调性求解单调区间，代入最小正周
期公式求解周期即可；
（2）由 得 ， ，根据集合恰有一个元素列不等式即可求解.
第 11页/共 15页【小问 1 详解】
由题意
，
令 ， ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，
的单调递增区间及最小正周期为 ；
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，
所以 ， ，解得 ， ，
因为 ，且 恰有一个元素，
当 时， ，当 时， ，
所以在 内， 的解为 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
18. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处 切线方程；
（2）求函数 的极值.
【答案】（1）
（2）极大值为 ，无极小值
【解析】
【分析】（1）利用导数求解切线的斜率，由点斜式即可求解切线方程；
第 12页/共 15页（2）由导数确定单调性即可解极值.
【小问 1 详解】
因为 ，则 ，
可得 ， ，即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 0，即 .
【小问 2 详解】
因为函数 的定义域为 ，
由（1）可知： ，
当 时， ，所以 ，
则函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以 ，
则函数 在 上单调递增，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
且函数 的极大值为 ，无极小值.
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： .
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负，结合对 讨论，即可求解，
（2）将问题转化为求解 ， 恒成立，结合（1）的单调性，求解函数的最值即可求解，
第 13页/共 15页（3）构造函数 ， ，利用导数求解函数的单调性，证明不等式
和 ，结合放缩法即可求解.
【小问 1 详解】
，则 ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
单调递减，
单调递增，
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
【小问 2 详解】
由（1）可知 ， 恒成立，又 ，
当 时， 在 上单调递增，所以 可得 ，不符合题意；
当 时，由（1）可知 的唯一极小值为 ，也即函数有最小值为 ，
所以只需 ，又 ，
所以 ，可得 ，即 ，
综上，实数 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
要证 ，
即证 ，
①当 时，先证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
第 14页/共 15页所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 ，即 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ；
②当 时，由 ，则 ，
由 ，则 ，
所以 ，
由（2）知， ，当 时等号成立，
所以当 时， ，
所以 ，
综上，当 时， ，即
第 15页/共 15页
