湖北省十堰市2025年高三年级元月调研考试数学答案_2025年1月_250110湖北省十堰市2025年高三年级元月调研考试（全科）_湖北省十堰市2025年高三年级元月调研考试数学

十堰市#$#%年高三年级元月调研考试 数学参考答案 ! #(# " !!&!"’!#"!(##$"’#()$!%$$’ # $$ ’#$$#%$则"%$’#$$!%! # ! #!*!选项*对应的双曲线焦点在%轴上且渐近线方程为%’+ #! # ’’& ’’& ’’& ’’& ’’& ’’& ’’& ’’& ’’& ’’& ,!-!"&’"$.$&’"$.,$’’"$.,#"’("$&’,"’(#"$! # ! & , , ! ! 槡% /!&!012 ( .! ’(340!’( $则340!’ $又340!’!(#012# $所以012 ’+ ! # % % # # % , %!-!显然#$!$当#’!时$#$#.!$##$##分别为!$#$!$#$则中位数为 $不符合题意! # ,# # 当$(#(!时$##(#(##(#.!$则 ’!$解得#’ ! # , 5!&!设正三棱锥()"$’的底面中心为*$外接球的球心为+$显然球心+在直线(*上! 设正三棱锥()"$’的高为,$外接球的半径为-$由"$’槡,$可得正 槡, ,槡, ! ,槡, 槡5 三角形"$’的面积为 6#槡,&#’ $所以 6 ,’ $解得,’ / / , / / # 槡#!球心+到底面"$’的距离为+*’",(-"$"*’ "&’!$由 , , -#’+*#."*#$得-#’#槡#(-&#.!#$-’ $所以外接球的表面 #槡# 7! 积为/!-#’ ! # ! /’’& "& 1 # 8!-!记)"$’的内角"$$$’的对边分别为.$/$0$因为 ’ )"’& ’ $& 1 ! )$’& .’’&012*$’& # ’#$所以.’/!由余弦定理可知0#’.#./#(#./340*"’$$得.#./#(0#../’$$ ! ,槡, 又0’,$所以.’/’槡,$则)"$’的面积为 ./012*"’$’ ! # / "!9!作出函数2##&的图象$如图( !高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#!$%&" 书书书! #! !& 由图可知$2#.&’2#/&’2#0&+#$$!&$即(0./+#$$!&$得,(0(/$即 + $ $由 0 / , . / ! ! # 2#.&’2#/&$即 ’ $得./(,.../(,/’$$所以 . ’ ! .(, /(, . / , ! ! ! #!! & 故 . . 的取值范围为 $! . / 0 !# 7!9*!设3’../1#.$/+!$/,$&$由3#’3$可得.#(/#.#./1’.(/1$ !.#(/#’.$ ! 槡, ! 槡, ! 所以 解得.’( $/’+ $则3’( + 1$所以3的实部为( $3的虚部 #./’(/$ # # # # # 槡, 为+ $"3"’!$3不可能为纯虚数$故选9*! # !$!-*!由题可得24##&’###(##&5.5####(##&5(!###(#&’###(##&5(!’)##5 .!&##(##5.#&#%! 当5为奇数时$###(##&5(!#$$令6##&’##5.!&##(##5.#&#$6#$&’$$6##&,$$ # #5.#& ##5.# & 且当#+#()$$&时$24##&-$$当#+ $$ 时$24##&($$当#+ $.) #5.! #5.! 时$24##&-$$所以#’$是2##&的极大值点$-正确* 当5为偶数时$24##&’###(##&5(!’)##5.!&##(##5.#&#%’#5##(#&5(!)##5. # #5.#& ##5.# & !&#(##5.#&%$#5#$$当#+ ()$ 时$24##&-$$当#+ $# 时$24##& #5.! #5.! ($$当#+##$.)&时$24##&-$$所以#’#是2##&的极小值点$*正确!故选-*! !!!9-&!若点##$%&在曲线7上$则点#(#$(%&$#%$#&都满足曲线7的方程$所以曲线7 关于原点对称$且关于直线%’#对称$9选项正确* 易知曲线7关于原点对称$令点##$%&在曲线7上$且该点在第一象限$则,##.,%#(##% ##.%# ,##.,%#(" ##.%# ’"$因为#%$ $所以 $ $解得##.%#$/$当且仅当#’%时$ # # # 等号成立$所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过#$-选项正确* 由曲线7的对称性可知$当*##$%&位于第二象限时$,%(#取得最大值$所以,##.,%# .##%’"$令8’,%(#$将#’,%(8代入,##.,%#.##%’"$可得,5%#(#$8%.,8#(" ’$$故"’##$8&#(/6,56#,8#("&#$$解得8#$,5$即,%(#的最大值为5$*选项 错误* 由题可知"$$两点关于原点对称$不妨设"##$%&且位于第一象限$则$#(#$(%&$,## ##% !/ .,%#(##%’"$则"(""’槡##(!&#.#%(!&# ’槡 . (###.%&$"($"’ , , ##% !/ /#% #" 槡#(#(!&#.#(%(!&#’槡 . .###.%&$#"(""."($"&#’ . . , , , , !高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$% "!"#!$%&"###% !/&# /#% #" /##%# /$ !$$ /#% #" #槡 . (/##.%&# ’ . .#槡 ( #%. ’ . . , , , , 7 7 7 , , ###% !$&# /#% #" #$ /#% #槡 ( ’ . . ( ’!5$所以"(""."($"’/$为定值$&选项正确! , , , , , , !#!,!因为6#,&’!$所以2#,&.#’!$即2#,&’(!$因为2##&是奇函数$所以2#(,&’!$ 故6#(,&’2#(,&.#’,! )! !% ! )!# ! !# !% !,!!$!因为#+ $ $所以##. + . $ . $ / , 5 / 5 , 5 )! !% ! )!# ! !# !% 又2##&在 $ 上单调递减$设8’##. $所以%’0128在 . $ . 上单调 / , 5 / 5 , 5 /!# ! ! . # .#9!$ //.59#!$ / 5 # / 递减$所以. !# ! ,! 9+"$解得 , ."9$#$/.59$所以. /.59# / ."9$ 解得 . $ .#9!$ 0 , 0, 5 # ! / )/ % )#" % ( $9$ !当9’$时$#+ $/ $当9’!时$#+ $!$ $故#的最大值为!$! # , , , !/!!8/!考虑出现子序列!##!时$可能出现的位置有5个$依次对应的序列放入集合" $ ! " $+$" 中#!##!:::::$:!##!::::$::!##!:::$+$:::::!##!&$记"""为 # 5 ; 集合" 中元素的个数$则"""’#%’,##;’!$#$,$+$5&$再考虑重复的序列$""%" " ; ; ; ;.! ’$#;’!$#$,$+$%&$""%" "’$#;’!$#$,$/&$""%" "’##’/#;’!$#$,&$"" ; ;.# ; ;., ; %" "’#!’##;’!$#&$"" %""’#$任意多于#个集合的交集均为空集$所以含有连 ;./ ! 5 续子序列!##!的数学序列有56,#(,6/(#6#(#’!8/个! !%!解(#!&零假设为< (市民是否喜欢骑,共享单车-与城市的拥堵情况无关联! $ !$$6#/$6,$(#$6!$&# %$ 根据列联表中的数据$得$#’ ’ 1!5!558-!$!"#"’# ! %$6%$65$6/$ , $!$$! +++++++++++++++++++++++++++++++++++/分 根据小概率值!’$!$$!的独立性检验$我们推断< 不成立$ $ 即认为市民是否喜欢骑,共享单车-与城市的拥堵情况有关联$此推断犯错误的概率不大于 $!$$!! +++++++++++++++++++++++++++++++++5分 ##&根据分层随机抽样的知识可知$随机抽取的5人中喜欢骑,共享单车-的有/人$不喜欢 骑,共享单车-的有#人$++++++++++++++++++++++++++8分 所以随机变量:的所有可能取值为$$!$#$++++++++++++++++++"分 *$*# ! *!*! " *#*$ # (#:’$&’ / # ’ $(#:’!&’ / # ’ $(#:’#&’ / # ’ $ *# !% *# !% *# % 5 5 5 !高三数学"参考答案!第!!!!,页#共"页$% "!"#!$%&"所以:的分布列为 : $ ! # ! " # ( !% !% % ++++++++++++++++++++++++++++++++++++!!分 ! " # / 所以7#:&’$6 .!6 .#6 ’ !++++++++++++++++++!,分 !% !% % , !5!解法一(#!&因为在直四棱柱"$’&)"$’& 中$底面"$’&是边长为#的正方形$ ! ! ! ! 所以以&为原点$&"$&’$&& 所在直线分别为#$%$3轴$建立如图所示的空间直角坐标 ! 系$则"##$$$$&$$##$#$$&$7##$$$/&$=#$$#$#&$ ’’& ’’& ’’& 所以"$’#$$#$$&$$7’#$$(#$/&$7=’#(#$#$(#&!++++++++++++#分 ’’& /!’$7’(#%./3’$$ 设平面$7=的法向量为!’##$%$3&$则. 令#’!$则!’ ’’& 0!’7=’(##.#%(#3’$$ #!$#$!&$ ++++++++++++++++++++++++++++++++/分 易知"’#$$$$!&是平面"$’&的一个法向量$++++++++++++++++5分 !’" ! 槡5 所以"340.!$"/"’ ’ ’ $即平面$7=与平面"$’&夹角的余弦值 "!"""" 槡56! 5 槡5 为 !++++++++++++++++++++++++++++++++++"分 5 ’’& ##&由#!&可得+#!$!$5&$$##$#$5&$$$ ’#$$$$5&$假设存在满足条件 ! ! ’’& 的点>$设>##$#$8&$所以+>’#!$!$8(5&$+++++++++!$分 ’’& 因为+>2平面$7=$所以!’+>’!.#.8(5’$$解得8’,!+++ +++++++++++++++++++++++++++!,分 $> ! 故当 ’ 时$+>2平面$7=!++++++++++++++!%分 $$ # ! 解法二(#!&延长7=$"’$相交于点<$连接$<$过’作$<的垂线$垂 足为?$连接=?! 因为’=3平面"$’&$所以*=?’为平面$7=与平面"$’&的夹 角!++++++++++++++++++++++++++#分 ’< =’ 因为"72’=$所以 ’ $则’<’#槡#!++++++++,分 "< 7" 在)$’<中$$<’槡’$#.’<#(#’$’’<340*$’<’#槡%$+ ++++++++++++++++++++++++++/分 !高三数学"参考答案!第!!!!/页#共"页$% "!"#!$%&"! ! # 因为1 ’ ’$’’<012*$’<’ $<’’?$所以’?’ $ ++++++++%分 )$’< # # 槡% =’ 槡5 所以:;2*=?’’ ’槡%$故340*=?’’ $即平面$7=与平面"$’&夹角的余弦值为 ’? 5 槡5 !+++++++++++++++++++++++++++++++++++"分 5 $> ! ##&当 ’ 时$+>2平面$7=!+++++++++++++++++++++!$分 $$ # ! 证明过程如下(连接"’$取@为7=的中点$连接+@$@$!因为+为"’ 的中点$所 ! ! ! ! #./ 以+@为梯形"7=’ 的中位线$即+@2’=$且+@’ ’,$+++++++!!分 ! ! ! # 因为$$2’’$且>$’,$所以+@2$>$+@’$>$ ! ! 所以+@$>为平行四边形$所以+>2@$! +++++++++++++++++!,分 因为+>4平面$7=$@$5平面$7=$所以+>2平面$7=! +++++++++!%分 . (! . (! !8!解(#!&#解法一&由1’ A.! $可得1 ’ A.# $+++++++++++++!分 A # A.! # . (. 两式相减可得. ’ A.# A.!$. ’,. $即数列!."的公比为,!++++++,分 A.! # A.# A.! A .(! ,.(! 当A’!时$1’ # $则.’ ! $解得.’!$++++++++++++++%分 ! # ! # ! 所以.’!6,A(!’,A(!! +++++++++++++++++++++++++8分 A #解法二&设数列!."的公比为B! A 当A’!时$.(!’#1’#.$即.B(!’#.$++++++++++++++++#分 # ! ! ! ! 当A’#时$.(!’#1$即.B#(!’##...B&$ ++++++++++++++/分 , # ! ! ! 解得.’!$B’,$+++++++++++++++++++++++++++++%分 ! 所以.’.BA(!’,A(!!++++++++++++++++++++++++++8分 A ! ##&/’##A(!&.’##A(!&’,A(!$ A A C ’!.,6,.,#6%.+.,A(!’##A(!&$ A ,C ’,6!.,#6,.,,6%.+.,A’##A(!&$ A 则C (,C ’(#C ’!.#6#,.,#.+.,A(!&(,A’##A(!&$ A A A ,(,A 即(#C ’!.#6 (,A’##A(!&’!.,A(,(,A’##A(!&$ A !(, 解得C ’!.,A’#A(!&!++++++++++++++++++++++++!$分 A A’,A.! 由C (!$/A’%$可得%# ! A.! /A !高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% "!"#!$%&"#A.!&’,A.# A’,A.! 0 /A.! ,A., 令0’ $则 A.! ’ ’ !+++++++++++++++!!分 A /A 0 A’,A.! /A A /A 0 ,A., 0 ,A., 0 ,A., 当!$A(,时$A.! ’ -!$当A’,时$A.! ’ ’!$当A-,时$A.! ’ ( 0 /A 0 /A 0 /A A A A !$所以0(0(0’0-0-0-0-+$++++++++++++++++++!,分 ! # , / % 5 8 #/, )#/, & 所以%#0’ $所以%的取值范围为 $.) !+++++++++++++!%分 , 5/ 5/ # D& !"!解(#!&由题可知=$$ $+++++++++++++++++++++++++!分 # D 所以$.#6 (#’$$解得D’#$所以7的方程为##’/%! ++++++++++,分 # ##&设"##$%&$$##$%&$由题可知=#$$!&$’#(#$!&$ ! ! # # 依题意知直线"$的斜率必存在$设直线"$的方程为%’A#.!! !%’A#.!$ 由 整理得##(/A#(/’$$ ##’/%$ 则#.#’/A$##’(/!++++++++++++++++++++++++%分 ! # ! # ## ## ! # (! 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( # & ’##(#& #! . !& # # # # ! # # ## ! # # #5 ! # ! # #! !& #! !& ’槡##.#&#(/## . ’/槡9#.5 . !+++++++++++!/分 ! # ! # # #5 # #5 ## 点F到直线%’!的距离为!( ! # ’!.5$++++++++++++++++!%分 / ! #! !& # !& # 故)F*G的面积为 6#!.5&6/槡9#.5 . ’槡9#.5 #.5. #槡5 # # # #5 5 !& .5. !#当9’$时$等号成立& 5 ! ! 令槡5’8$8+)$$.)&$记2#8&’8,.#8. $则24#8&’,8#( .#$ 8 8# 槡, # 槡,& #槡, & 令24#8&-$$则8- $所以2#8&在 $$ 上单调递减$在 $.) 上单调递增$ , , , #槡,& !5槡, !5槡, 所以2#8& ’2 ’ $故)F*G面积的最小值为 !++++++++!8分 <12 , 7 7 !7!#!&解(设#-#$则2##&(2##&(##(#&#’###,.#&(###,.#&(##(#&# ! # ! # ! # ! ! # # ! # ’###(#&###.##.##&.##(#&(#(## ! # ! ! # # ! # ! # ’##(#&####.###.###.!(#.#& ! # ! ! # # ! # ) # !&# # !&# !% ’##(#&##.#&#. #( . #. . -$$++++++++++,分 ! # ! # ! # # # # 即2##&(2##&-##(#&#$所以函数2##&’##,.#在区间!上为!级速增函数! ! # ! # +++++++++++++++++++++++++++++++++++/分 ##&证明(因为函数%’2##&在区间#$$.)&上为#级速增函数$所以任意#$# +#$$ ! # .)&$#-#$都满足2##&(2##&-###(#&#! ! # ! # ! # 已知A+# $令#’A.!$#’A$所以2#A.!&(2#A&-#$++++++++++5分 . ! # !高三数学"参考答案!第!!!!8页#共"页$% "!"#!$%&"故A##时$2#A&’)2#A&(2#A(!&%.)2#A(!&(2#A(#&%.+.)2##&(2#!&%. 2#!&-##A(!&.2#!&’#A(!!++++++++++++++++++++++7分 #,&解(由题设$令#(#’8-$$而2##&(2##&’#= #!(#= ##-9##(#&#$ ! # ! # ! # ! # 所以9( ## # .8&= ##.8 (# # = ## ’#= ##’ =8(! .= ##’ =8 在#$8+#$$.)&上恒成立!++ 8# # 8# 8 # ++++++++++++++++++++++++++++++++++!!分 =8(! =8 =8 令 & ##&’#=#’ .=#’ 在#+#$$.)&上单调递增$则 & ##&-& #$&’ $+++ 8# 8 8 ++++++++++++++++++++++++++++++++++!/分 =8 #8(!&=8 令’#8&’ $则’4#8&’ $ 8 8# 所以在8+#$$!&上$’4#8&($$即’#8&在#$$!&上单调递减$ 在8+#!$.)&上$’4#8&-$$即’#8&在#!$.)&上单调递增$ 所以’#8&#’#!&’=! 综上$ & ## # &-=$故只需9$=$即9的取值范围为#()$=%! ++++++++++!8分 !高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% "!"#!$%&"