文档内容
湖北省高中名校联盟 届高三第三次联合测评
2025
数学试卷参考答案与评分细则
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
C C B B A D D C AB BCD ABD
1.答案
【 】C
【 详解 】 z =(3+i)(2-5i)=6-15i+2i-5i 2 =11-13i, z =11+13i .故选 C
2.答案
【 】C
【
详解
】
由x2
-
x
-2≤0,
可得
-1≤
x
≤2,
即A
=
x
|-1≤
x
≤2 ,∁ R
A
=
x
|
x
<-1
或x
>2
.
由B x Z x 所以 A B .故选
= ∈ |-2< <5 = -1,0,1,2,3,4 , (∁ R )∩ = 3,4 C.
3.答案
【 】B
a a a a
详解S (1+ 11)·11 (4+ 8)·11 (5+9)×11 故选 .
【 】11= = = =77, B
2 2 2
4.答案
【 】B
详解 2α α α 2α m2 2α α α 2α n2 两式相加得到m2 n2
【 】cos +4sincos+4sin = ,sin -4sincos+4cos = , + =1+
.故选
4=5 D.
5.答案
【 】A
详解fx xf π x 求导得到f x f π x.
【 】()=2 '( )-sin , '()=2'( )-cos
3 3
令x π 即f π f π π 整理得f π π 1 故选
= , '( )=2'( )-cos , '( )=cos = , A.
3 3 3 3 3 3 2
6.答案
【 】D
详解 设收集到的雨水体积为V 收集雨水的面积为S 则V 1hr2 rr r2 1
【 】 , , = π (1+ 1 2+ 2)= ×π×30×
3 3
V
2 2 3S r2 2 2 故平地降雨量为 61000π
(50+50×40+40)=61000πmm , =π =π×40=1600πmm , S= ≈
1600π
. .故选 .
381mm D
7.答案
【 】D
详解 前三个选项举反例 令n 等比数列为 .则S S S .
【 】 , =1, 1,2,4 n =1,2 n =3,3 n =7
对于 S S 故 错误
A,n + 2 n =4, A ;
数学试卷参考答案与评分细则 第 页 共 页
1 ( 8 )对于
B,
S2
2 n =9,
S
n
S
3 n =7,
故
B
错误
;
对于 S S S 故 错误.
C,(n + 2 n)- 3 n =-3, C
对于 D, 因为S 2 n = S n + qnS n = S n(1+ qn ), S 3 n = S n + qnS n + q2 nS n = S n(1+ qn + q2 n ),
S n2 + S2 2 n = S n2 [1+(1+ qn ) 2 ]= S n2 ( q2 n +2 qn +2)= S n2 [( q2 n + qn +1)+( qn +1)]= S n( S 3 n + S 2 n), 故 D
正确.故选 .
D
8.答案
【 】C
t2
详解 设P t 由抛物线的对称性 不妨设t 因为直线PM与抛物线相切
【 】 ( ,) , , >0, ,
4
t2 t2
故直线PM的方程为yt x .令y 得点M的坐标为 .
=2(+ ) =0, (- ,0)
4 4
设直线PQ的方程为x my
= +1,
x my
= +1,
联立 得y2
-4
my
-4=0,
所以有yPyQ
=-4,
于是yQ
=-t
4.
y2 x
=4 ,
t2 t3
则S △ PQM = 1 MF yP - yQ = 1 (1+ )( t +t 4 )= 1 ( +2 t +t 4 ) .
2 2 4 2 4
t3 t2
令gt 1 t 4 则gt 1 3 4 1 1t2 3t2 .
()= ( +2+t) , '()= ( -t2+2)=t2( +2)( -2)
2 4 2 4 2 2 2
当 t 23时 g t gt 单调递减 当t 23时 g t gt 单调递增 故gt
0< < ,'()<0, () ; > ,'()>0, () , ()≥
3 3
g23 163 所以S 的最小值为163.故选 .
( )= , △ PQM C
3 9 9
9.答案
【 】AB
2025x a
i
详解 对于 样本数据x x x 的平均数为a 数据x x x a的平均数为i∑ =1 +
【 】 A, 1,2,…,2025 , 1,2,…,2025, =
2026
a a
2025 + a 故 正确
= , A ;
2026
对于 PX a . 则a μ 故 正确
B, ( < )=05, = =2, B ;
对于 因为 ξ B 8 则Eξ 8 故 错误
C, ~ (9, ) , ()=9× =8, C ;
9 9
对于 因为 η ξ 所以Dη D ξ 2 8 故 错误.故选 .
D, =3+1, ()= (3+1)=3× =8, D AB
9
10.答案
【 】BCD
详解 对于 因为AM→ 1AB→ 2AC→ 则BC→ 3BM→ 故 错误
【 】 A, = + , = , A ;
3 3 2
数学试卷参考答案与评分细则 第 页 共 页
2 ( 8 )AB→ AC→
对于 因为 BC→ 所以 BAC的角平分线与BC垂直 所以AB AC 又因为
B, (AB→ + AC→ ) · =0, ∠ , = ;
AB→ AC→
A 1 所以A π 则 ABC为等边三角形 故 正确
AB→ · AC→ =1·1·cos = , = , △ , B ;
2 3
对于 因为MA→ BC→ MC→ AB→ 则MA→ BC→ MC→ AB→ 所以点M为 ABC的垂心 所以
C, · =0, · =0, ⊥ , ⊥ , △ ,
MB→ AC→ 即MB→ AC→ 故 正确
⊥ , · =0, C ;
对于 因为AM→ xAB→ yAC→ 且x y 1 所以 AM→ xAB→ yAC→ x y .设AN→
D, = + , + = , 3 =3 +3 ,3 +3 =1 =
3
AM→ 由 AM→ xAB→ yAC→ 且 x y 得BCN三点共线 且MN 2AN 所以 MBC
3 , 3 =3 +3 , 3 +3 =1, ,, , = , △
3
的面积是 ABC面积的2 故 正确.故选 .
△ , D BCD
3
11.答案
【 】ABD
ωx ωx
详解 对于 fx 2 3 ωx 1 1+cos 3 ωx 1 ωx π 故
【 】 A, ()=cos + sin - = + sin - =sin( + ) , A
2 2 2 2 2 2 6
正确
;
对于 x π 则ωx π π π π 故fx 在 π 上单调递增 故 正确
B,∈(0,ω) , + ∈( , )⊆(0, ) , () (0,ω) , B ;
6 6 6 3 2 6
对于 x ωx π πω π fx 在 上恰有 个极值点 则π ωx π 3π 解
C,∈(0,π), + ∈( ,π+ ) ,() (0,π) 1 , < + ≤ ,
6 6 6 2 6 2
得1 ω 4 故 错误
< ≤ , C ;
3 3
对于 x ωx π ω π ω π fx 在 内无零点
D,∈(π,2π), + ∈(π+ ,2π + ) ,() (π,2π) ,
6 6 6
k ω π
π≤ π+ ,
6
则
ω π k
2π + ≤(+1)π,
6
数学试卷参考答案与评分细则 第 页 共 页
3 ( 8 )
k 5
+
即k 1 ω 6k Z
- ≤ ≤ (∈ ),
6 2
k 5
+ >0,
6
要使ω有解 则有
,
k 5
+
k 1 6
- ≤ ,
6 2
解得k 或
:=0 =1,
所以 ω 5或5 ω 11 即 正确.故选 .
0< ≤ ≤ ≤ , D ABD
12 6 12
12.答案
【 】80详解 因为 2 x3 y2 x3y2 所以x3y2 的系数为 .故填 .
【 】 C5·(2 )·(- )=80 , 80 80
13.答案
【 】3
详解 设 AFF 与 BFF 的内切圆圆心分别为I I 其
【 】 △ 1 2 △ 1 2 1,2,
横坐标分别为x x 其内切圆半径分别为rr 过I I 向x
1,2, 1,2, 1,2
轴作垂线 垂足分别为M N 连接IF.
, , , 1 2
在 AFF 中 有 AF FF AF MF
△ 1 2 , 2 + 1 2 - 1 =2 2 ,
所以 a c c x 解得x a.同理可得x a.
2 +2=2(- 1), 1=- 2=
因为I I 都在 AFF 的平分线上 所以I I F 三点共线 于是 IMF INF.
1,2 ∠ 2 1 , 1,2,2 , △ 1 2∽△ 2 2
IM FM r c a
所以 1 2 即 1 + .故填 .
IN = FN ,r=c a=3 3
2 2 2 -
14.答案k 或k
【 】<-2 =2
x x
2-1,≥0,
详解 因为函数fx 可得函数图象如图.
【 】 ()=
x2 xx
- -2 ,<0,
由于方程f2x kfx 有两个不同的实数根 令t fx
()- ()+1=0 , = (),
设方程t2 kt 的两个实根分别为tt 不妨设t t.
- +1=0 1,2, 1< 2
当Δ k2 时k 或k .
① = -4=0 ,=2 =-2
经检验 当k 时t t 满足题意 当k 时t t 不符合题意 舍
, =2 ,1= 2=1, ; =-2 ,1= 2=-1, , ;
当Δ k2 时k 或k 有t t ktt
② = -4>0 ,>2 <-2, 1+ 2= ,12=1,
当k 时 有 t t 不符合题意 舍
>2 , 0< 1<1,2>1, , ;
当k 时 有t t 此时由图可知 函数fx 恰有 个零点 符合题意.
<-2 , 1<0,2<0, , () 2 ,
综上k 或k .
,<-2 =2
故填k 或k .
<-2 =2
15.详解 因为A πa 则由余弦定理得 b2 c2 bc π
【 】(1) = ,=3, 3= + -2 cos ,
3 3
即 b2 c2 bc b c2 bc. 分
3= + - =(+ )-3 ………………………………………………………………… (1 )
又因为b c 所以bc 1. 分
+ =2, = …………………………………………………………………… (2 )
3
A A
所以S S S 1b AD 1c AD 1bc A 分
△ ABC = △ ABD + △ ACD = · ·sin + · ·sin = sin 。 ………… (4 )
2 2 2 2 2
1 3
×
所以AD b c π bc π 即AD 3 2 3
·(+ )·sin = sin , = = ,
6 3 1 6
2×
2
数学试卷参考答案与评分细则 第 页 共 页
4 ( 8 )所以AD 3. 分
= ……………………………………………………………………………………… (6 )
6
AD→ 1AB→ AC→
= ( + ),
因为D是BC的中点 所以 2
(2) ,
BC→ AC→ AB→
= - ,
数学试卷参考答案与评分细则 第 页 共 页
5 ( 8 )
分
…………………………………………… (8 )
平方相加可得AD→2 1 AB→2 AC→2 BC→2 分
= (2 +2 - )………………………………………………… (10 )
4
b c2
1 b2 c2 a2 1 b c2 bc 5 bc 5 (+ ) 1 分
= (2 +2 - )= (2(+ )-4 -3)= - ≥ - = , ……………… (12 )
4 4 4 4 4 4
当且仅当b c 时取等号 所以AD长的最小值为 AD→ 1. 分
= =1 , = …………………………… (13 )
2
16.详解 证明 PA 平面ABCDCD 平面ABCD PA CD. 分
【 】(1) :∵ ⊥ , ⊂ ,∴ ⊥ ……………………… (1 )
又AC是圆O的直径 故AD CD. 分
, ⊥ ……………………………………………………………… (2 )
又AD PA A CD 平面PAD. 分
∩ = ,∴ ⊥ …………………………………………………………… (3 )
又CD 平面PCD 平面PAD 平面PCD. 分
⊂ ,∴ ⊥ ………………………………………………… (4 )
以B为原点 建立如图所示的空间坐标系.
(2) ,
有B A P C . 分
(0,0,0), (0,1,0), (0,1,2),(3,0,0) ……………………………………………… (5 )
设Dmn 则CD→ m n AD→ mn B→P B→C . 分
( ,,0), =( -3,,0), =( ,-1,0), =(0,1,2), =(3,0,0) …… (6 )
又CD AD 所以CD→ AD→
⊥ , · =0,
故mm nn 分
( -3)+ (-1)=0(*) ………………………… (7 )
设平面PBC的一个法向量为λ xyz
=(,,),
λ BP→
· =0
有
λ BC→
· =0
y z
+2 =0,
即 不妨取λ . 分
, =(0,-2,1) …… (8 )
x .
3 =0
设直线CD与平面PBC所成角为θ
,
λ CD→
有 θ λCD→ 15.所以 · 15. 分
sin= cos<, >= λ CD→ = …………………………………… (9 )
5 · 5
n
于是有 2 15 化简得n2 m 2. 分
= , =3( -3) ……………………………… (10 )
m 2 n2 5
5· ( -3)+
若n m 代入 可得mm m m
① =3 -3, (*) ( -3)+(3 -3)(3 -4)=0,
m
化简得 m2 m 解得
=3,
4 -83 +12=0,
n .
=0此时点D与点C重合 与题设矛盾 故舍去. 分
, , …………………………………………………… (12 )
若n m 代入 可得mm m m
② =3-3 , (*) ( -3)+(3-3 )(2-3 )=0,
m 3
= ,
化简得 m2 m 解得 2
2 -33 +3=0,
n 3
= ,
2
数学试卷参考答案与评分细则 第 页 共 页
6 ( 8 )
m
或 =3, 舍 分
( )…………………………………… (14 )
n .
=0
2 2
此时D 3 3 AD 3 3
( , ,0) , = ( -0)+( -1)=1
2 2 2 2
综上所述AD的长为 . 分
, 1 ………………………………………………………………………… (15 )
x
17.详解 当a 时fx 2 -1fx 的定义域为 1 分
【 】(1) =2 ,()=lnx ,() (- , )∪(2,+ ), …………… (1 )
-2 2
其定义域关于x 5对称 于是有
= ,
4
5 x
fx f 5 x 2
x
-1
2(
2
- )-1
2
x
-1 8-4
x
分
()+ ( - )=ln(x )+ln( )=ln(x )+ln( x)=2ln2,……… (4 )
2 -2 5 x -2 1-2
( - )-2
2
所以曲线y fx 的对称中心为 5 . 分
= () ( ,ln2) ……………………………………………………… (6 )
4
ax
因为gx -1 1x
(2) ()=lnx a+ ,
- 9
所以g x
x
-
a a
(
x
-
a
)-(
ax
-1) 1 1-
a2
1. 分
'()=ax -1 · ( x - a ) 2 + 9 = ( ax -1)( x - a ) + 9 ……………………… (8 )
a2 ax a2
而g x ( -1)(2 -1- ) a
″()= x a2ax 2 >0(>1),
(- )( -1)
所以g x 在aa2 a 上单调递增 分
'() (, + -1) ,……………………………………………………… (10 )
依题意 有g x 对任意x aa2 a 恒成立 所以g a2 a
, '()≤0 ∈(, + -1) , '( + -1)≤0,
于是有 1 1 . 分
-a3 a2 a + ≤0 ………………………………………………………………… (12 )
+ - -1 9
因为a 所以a3 a2 a
>1, + - -10≤0,
所以a a2 a 所以 a . 分
(-2)( +3 +5)≤0, 1< ≤2 …………………………………………………… (14 )
综上 实数 的取值范围为 . 分
, a (1,2] ……………………………………………………………… (15 )
c x2
18.详解 依题意c e 3 可知a b 故椭圆的方程为 y2 . 分
【 】(1) ,=3,=a= , =2,=1, + =1 ……… (2 )
2 4
在 ADQ中 有OE DQ 所以OE是 ADQ的中位线 即E是AQ的中点.
(2) △ , ∥ , △ ,因为D E 所以Q
(ⅰ) (0,-1), (2,0), (4,-1),……
分
…………………………………………… (3 )
直线DE的方程为y 1x . 分
= -1 …………… (4 )
2
设Bmn 则Cm n 因为A
( ,), ( ,- ), (0,1),
n
所以直线AB的方程为y -1x 分
-1= m , …… (5 )
n
直线AC的方程为y - -1x. 分
-1= m ……………………………………………………………… (6 )
n
y -1x
-1= m ,
联立
y 1x
= -1,
2
数学试卷参考答案与评分细则 第 页 共 页
7 ( 8 )
m
解得x 4 . 分
P =m n ……………………………………………………… (7 )
-2 +2
n
y - -1x
-1= m ,
联立
y 1x
= -1,
2
m
解得x 4 . 分
T =m n …………………………………………………… (8 )
+2 +2
m m
于是有yP = 1x P -1=m 2 n -1, yT = 1x T -1=m 2 n -1 . ……………………… (9 分 )
2 -2 +2 2 +2 +2
m m
2 2
所以kk
y
p +1
yT
+1
m
-2
n
+2
·m
+2
n
+2
1 2=x p ·x T = m m
-4 -4 4 4
(m n -4)·(m n -4)
-2 +2 +2 +2
m2 m2
4 4 . 分
=
(4
m
-4
m
+8
n
-8)·(4
m
-4
m
-8
n
-8)
=
64(1-
n2
)
…………………………………… (11 )
m2 m2
又因为 n2 所以kk 4 1. 分
+ =1, 1 2= m2= ………………………………………………… (12 )
4 4
64×
4
由 可知
(ⅱ) (ⅰ)
m m m m m m
x x 4 4 4 (2 +4) 4 (2 +4) x 分
P + T =m n +m n = m 2 n2= m2 m =4=2 E, ……………… (15 )
-2 +2 +2 +2 ( +2)-4 2 +4
故E是PT的中点.
又因为E是AQ的中点 所以四边形APQT是平行四边形 故 QT AP . 分
, , = …………… (17 )
19.详解 S 中一共有 个向量 向量 和剩下 个向量的数量积均为 有 种情况
【 】(1)3 8 , (0,0,0) 7 0, 7 ;………
分
……………………………………………………………………………………………………… (1 )
这 个向量中任选两个 它们的数量积均为 有 种情况 分
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 3 , 0, 3 ;……… (2 )这 个向量分别和 的数量积为 有 种情况.
(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) 3 (0,0,1),(1,0,0),(0,1,0) 0, 3
分
…………………………………………………………………………………………………… (3 )
综上所述PX 7+3+3 13. 分
, ( =0)= C2 = ……………………………………………………………… (4 )
8 28
M M 中一共有n 个元素 此时M
(2) = (0,0,…,0),(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1) , +1 ,
中元素个数是最多的. 分
……………………………………………………………………………… (6 )
理由如下
:
假设M中除了 外还有n 个元素 则这些元素中至少含有n 个 所以 一定存在
(0,0,…,0) +1 , +1 ‘1’, ,
两个元素a a a a b bb b ab M 这两个向量之中的某一个分量同时为
=(1,2,…,n),=(1,2,…,n),,∈ , 1,
即存在i n 使得ab 此时a b 与题设矛盾 故集合M中至多有n 个元素.
∈ 1,2,…, , ii =1, · >0, , +1
分
…………………………………………………………………………………………………… (9 )
定义a a a a 和a a a a 为一组 互补向量 可以发现a的 互补
(3) =(1,2,…,n) '=(1- 1,1- 2,…,1- n) “ ”, “
向量 就是将a中的分量 全部换成 分量 全部换成 显然有a a .
” ‘0’ ‘1’, ‘1’ ‘0’, ·'=0
于是我们可以将S
n
中的全部
2
n个向量分成
2
n
-1
组
“
互补向量
”,
而在每一组
“
互补向量
”
中至多只有
一个向量能作为集合T中的元素 否则 在同一组中的两个向量的数量积就为 了
( , 0 ),
所以CardT n -1. 分
( )≤2 …………………………………………………………………………… (12 )
下面我们给出一种CardT n
-1
的取法 在每一组 互补向量 中 我们始终取 的个数较多的那
( )=2 : “ ” , ‘1’
个向量作为集合T中的元素 这样就能保证对于 ab T 且a b 都有a b .证明如下
, ∀ ,∈ , ≠ , · ≠0 :
若n k k N* 则每一组 互补向量 里被选出来的向量都至少含有k 个 可知T中任
① =2 +1,∈ , “ ” +1 ‘1’,
意两个向量里都至少有一个相同位置含有 符合题意. 分
‘1’, …………………………………… (14 )
若n kk N* 按照前面的选法 选出的 的个数大于k的向量与其他组被选出的向量的数量
② =2 ,∈ , , ‘1’
积都大于 所以我们只需要考虑那些恰好含有k个 的 互补向量 组.事实上 每一个恰好含有k
0, ‘1’ “ ” ,
个 的向量只与自身的 互补向量 的数量积为 而与其他的含有k个 的向量的数量积均大于
‘1’ “ ” 0, ‘1’
. 所以对于由两个恰好含有k个 的向量构成的 互补向量 组 我们就从这两个向量中任选一个
0 ‘1’ “ ” ,
作为集合T中的元素 这样的选法仍是选出了 n
-1
个向量作为T中的元素. 分
, 2 ……………… (17 )
数学试卷参考答案与评分细则 第 页 共 页
8 ( 8 )
