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准考证号__________
绝密★启用前
2025 届新高考教学教研联盟高三第二次预热演练
数学试卷
由 长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一
中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一
中；娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中；宁乡市一中；浏阳市一中.联合命
题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.函数 ，若存在 ，使 有解，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列 中， ，则 （ ）
A.96 B.97 C.98 D.99
3.已知 为虚数单位，复数 ，则以下命题为真命题的是（ ）
A. 的共轭复数为
B. 的虚部为
学 科网（北京）股份有限公司C.
D. 在复平面内对应的点在第一象限
4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角
坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界）的动点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维
权投诉.平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助.据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投
诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为 和 ，且对应维权成功的概率分别为 ，选择其他方式维
权且成功的概率为 ，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知 为平行四边形 的边 的中点，以 为焦点的椭圆 过点
，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.锐角 中，角 对边分别为 为 的面积，且 ，则
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 ，则“ ”是“ 的最大值大于 2”的（ ）
学 科网（北京）股份有限公司A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题都可以转换
为几何问题加以解决，如：对于形如 的代数式，可以转化为平面上点 与
的距离加以考虑.结合以上观点，对于函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A. 的图象是轴对称图形
B. 是单调函数
C. 的值域为
D.方程 无实数解
10.在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的取值范围为
C. 的最小值为
D. 的取值范围是
11.在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，
我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面 轴上方的复数为正，在
轴下方的复数为负，在 轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用 来表示复
数的“大小”，例如： ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 在复平面内表示一个圆
B.若 ，则方程 无解
学 科网（北京）股份有限公司C.若 为虚数，且 ，则
D.复数 满足 ，则 的取值范围为
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中的各项系数和为 243，则该展开式中 的系数为__________.
13.已知 ，若
，则 的最小值为__________.
14.如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， ，若 ，则三棱锥
外接球体积的最小值为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知函数 .
（1）当 时，求 的单调性；
（2）若函数 在 处取得极小值，求实数 的取值范围.
16.（15 分）
已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 与直线
相切.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过定点 斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，若 .
（i）求实数 的值；
（ii）根据要求，试求出 的面积.
学 科网（北京）股份有限公司17.（15 分）
空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”.类比空间直角坐标系， 分别
为“空间斜坐标系”中三条数轴（ 轴、 轴、 轴）正方向的单位向量，若向量 ，则 与
有序实数组 相对应，称向量 的斜坐标为 ，记作 .如图，在平行六面体
中， ， .以 为
基底建立“空间斜坐标系”.
（1）若点 在平面 内，且 平面 ，求 的斜坐标；
（2）若 的斜坐标为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18.（17 分）
设数列 ，其中 ，若同时满足① 或 ；②
对于任意 ，都存在 使得 且两两不相等 ，则称数列为 数列.
（1）当 时，求满足条件的 数列的个数；
（2）记 ，若 .
（i）证明： ；
（ii）在 的条件下，求 的概率.
19.（17 分）
设 是给定的正整数.对于数列 ，令集合 .
（1）对于数列 ，直接写出集合 ；（用列举法表示）
（2）设常数 .若 是以 为首项， 为公差的等差数列，求证：集合 S 的元素个数为
；
（3）若 是等比数列，且 ，公比 .求集合 S 的元素个数，并求集合 S 中所有元素之和.
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数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
AC A BC
A C D C B D C A
D B D
1.A 2.C 3.D 4.C
5.B 【解析】设选择邮件投诉为事件 A，维权成功为事件 ，则
，故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概
率为 .
6.D 【解析】如下图所示：因为 为平行四边形 的边 的中点，所以
，所以
，所以 .连接 ，由椭圆的定义：
；设 ，则 ，故 ，
中， . 中，
.
在平行四边形 中， ，所以 ，所以 ，
学 科网（北京）股份有限公司则 ，整理得 ，所以椭圆厂的离心率为 ，
7.C 【解析】由三角形面积公式可得： ，故
，故 ，因为 ，所以 ，解得： 或 0，
因为 为锐角三角形，所以 舍去，故 ， ，由正弦定理得：
，其中 ，
因为 为锐角三角形所以 ，故 ，所以
，令 ，
则 为对勾函数，在 上单调递减，在 上单调递增，则
，又 ，因为 ，所
以 ，则 .
8.A 【解析】 ，令 ，则 ，
故 充分性：当 时， ，故当 时， ；当
时， ， ，故 在 单调递减，在 单调递增，而
，则 的最大值必大于 2，充分性成立；必要性：当 时， ，则不满足最
学 科网（北京）股份有限公司大值大于 2，当 时， ，故当 时， ；当 时，
；故 在 单调递减，在 单调递增，又 ，要使最大值大
于 2，必有 ，则 ，即 ，即 ，
故 ，解得 ，必要性不成立.综上，“ ”是“ 的最大值大于 2”的充
分不必要条件.
9.ACD
10.AB 【解析】对 A，由正弦定理角化边得 ，由余弦定理
， ，
因为 为锐角三角形，所以 ，所以
，所以 ，所以 ，A 正
确；对 B，由上知， ，
因为 为锐角三角形， ，解得 ，所以 ，B 正确；
对 C，
，当 时，得 ，因为
，所以等号不成立，C 错误；
学 科网（北京）股份有限公司对 D，
，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，D 错
误.
11.BCD 【解析】根据已知条件 表示模长为 1，在复平面位于 轴上方的复数，所以并不是一个圆，
故 A 错误；若 ，则方程 为一个实数，所以 无解，故 B 正确；若 为虚数，且
，设 ，则 ，所以
，所以 ，故 C 正确；设 ，根据复数的新定义有
，所以 ，且 ，所以 ，所以 是
，所以 ，故 D 正确；
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.48 【解析】令 可得 ，解得 的展开式中通项
，分别令 ，得 ，所以 展开式中的常数
项和含 的项分别为
，所以 展开式中 的系数为
.
13.8 【解析】因为 ，
则方程 与 有相同的解，不妨设为 ，
则 ，故 ，即 ，整理得 ，
因为 ，所以
学 科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 8.
14. 【解析】如图，取 中点 ，连接 ，则 ，
又 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
所以三棱锥 的外接球球心必在过 的中心 且平行于 的直线上，
且 ，设 ，则 ，
设三棱锥 的外接球半径为 ，则有 ，
当 时， ，故三棱锥 外接球体积的最小值为 .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）当 时， ，
则 ，
令 ，解得 或 .
令 ，解得 ，所以 在 上单调递减；
令 ，解得 或 ，即 在 上单调递增.
学 科网（北京）股份有限公司综上，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 求导得 ，
①当 时， 恒成立，
令 ，解得 ，即 在 上单调递减；
令 ，解得 ，即 在 上单调递增，
故 时，函数 在 处取得极小值，符合题意；
②当 时，令 ，解得 ，且 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值，符合题意.
③当 时，令 ，解得 ，此时 恒成立且 不恒为 0， 单调递增，
故函数 无极值，不符合题意.
④当 时，令 ，解得 ，且 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，所以函数 在 处
取得极大值，不符合题意.
综上，实数 的取值范围是 .
16【解析】（1）由题意知离心率 ，所以 ，即
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 与直线 相切，有 ，
所以 ，则 ，故椭圆 的方程为 .
学 科网（北京）股份有限公司（2）（i）设直线 的方程为
由 ，消去 得 ，显然 ，
，
则 ，
所以 ，
，解得 .
（ii）由（i）可知，直线 为 ，
所以 ，
学 科网（北京）股份有限公司点 到直线的距离 ，
所以 的面积 .
17.【解析】（1）由题可知 ，则 （提示：斜坐标的本质是将空
间中的向量用基底表示后的系数），由题可知 平面 ，
即 则 则 的斜坐标为 .
（2）由题可得 ，
设平面 的法向量为 （提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值
求得法向量），
由 得 即
取 ，可得 ，
即 .
则 .
由（1）可知 平面 ，
且 ，则 ，
，
则 ，即平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18.【解析】（1）当 时， ，
由条件①知 或 2.
又由条件②对于任意 ，都存在 使得 且两两不相等），
学 科网（北京）股份有限公司可得满足条件的 数列只有一个，且为 .
（2）（i）证明：当 时，
设数列中 出现的频数分别为 ，
由题意知 ，
若 ，则有 （对任意 ）与已知矛盾，
故 ，同理可得 ，
若 ，假设 ，则存在唯一的 ，使得 ，
那么对于任意不同于 的 则有 ，与已知矛盾，
所以 ，同理可得 ，
所以
.
（ii）由（i）知 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 且为整数，所以 ，
当 时，数列 ，只有 1 组；
当 时，数列 可以表示为 ，
满足条件 的 有 共 19 组；
当 时，数列 可以表示为， ，
满足条件 的 有
，共 85 组；
当 时，数列 可以表示为
，
满足条件 的 有 94 组；
学 科网（北京）股份有限公司当 时，数列 可以表示为
满足条件 的 有 29 组；
当 时，数列 可以表示为 ，只有 1 组，
所以满足 的数列 共有 229 组，其中 的有 124 组，所以 的概率为
19.【解析】（1）因为数列 ，则
（2）因为 构成以 为首项， 为公差的等差数列，
所以有 ，以及 .
此时，集合 中的元素有以下大小关系：
.
因此，集合 S 中含有 个元素.
（3）依题意可得 ，设 ，
设集合
①先证 中的元素个数为 ，即从集合 A 中任取两个元素，它们的和互不相同.
不妨设 ，于是 .
显然 ，即 .
假设 ，可得 ，
即 .
因为 ，所以 ，又 ，
于是 ，等式 不成立.
因此， .同理可证 .
②再证 .
不妨设 ，于是 .
显然 .
假设 ，可得 ，
学 科网（北京）股份有限公司即 ，
因为 ，所以 ，又 ，于是 ，
等式 不成立.
因此， .
由①②，得 ，且
此时，集合 中的元素个数为 .
集合 中所有元素的和为 .
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