文档内容
湖北省高中名校联盟 届高三第四次联合测评
2025
数学试卷参考答案与详解
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
A B A D B D A C BCD AC ABD
1 答案
.【 】A
详解 因为U xx A xx2 所以U xx A x x
【 】 = | +2≥0 , = | ≤4 , = | ≥-2 , = |-2≤ ≤2 ,
所以 A xx .故选
∁ U ={| >2} :A
2 答案
.【 】B
详解 法一 设z x yxy R 则z z x y x2 y2 .
【 】 : = + i ,∈ , + = + i+ + =1+3i
x x2 y2
由复数相等 得 + + =3, 所以x .
, =1
y
=3,
即z 所以z 所以z的虚部为 .
=1+3i, =1-3i, -3
法二 由z z 得z z 所以z z
: + =1+3i, =1- +3i, =1- -3i.
所以z的虚部为 故选
-3. :B
3 答案
.【 】A
详解 含x2 项的系数分别为C2C2C2 它们的和为C2 C2 C2 .
【 】 3,4,5, 3+ 4+ 5=3+6+10=19
故选
:A
4 答案
.【 】D
a S S
详解 因为等差数列a b 的前n项和分别为S T 所以 5 5- 4
【 】 n , n n,n, b=T T ,
4 4- 3
S n
因为
T
n
n=n ,
所以可设S
n =
kn2
,
T
n =
kn
(2
n
+1),
则S
5-
S
4=9
k
,
T
4-
T
3=15
k
,
2 +1
a k
所以 5 9 3.故选
b= k= :D
4 15 5
5 答案
.【 】B
详解 方法一 建立如图所示的直角坐标系 则A B D
【 】 : , (2,0), (1,3),
所以AD→ θ θ AB→ .
(2cosθ,2sinθ), =(2cos-2,2sin), =(-1,3)
所以AD→ AB→ θ θ θ π
· =23sin-2cos+2=4sin(- )+2.
6
当 θ π 时AD→ AB→ 取最小值 .
sin(- )=-1 , · -2
6
故选
:B.
数学试卷参考答案与详解 第 页 共 页
1 ( 8 )方法二 如图 作圆的直径EF AB 过E作EC BA的延长线 垂足为C.
: , ∥ , ⊥ ,
而AD→ AB→ 可以看作AD→ 在AB→ 上的投影向量与AB→ 的数量积.
·
由圆的性质知 当D与E重合时AD→ AB→ 取得最小值.
, , ·
因为AB OA 所以 BAO OAE EAC π
= =2, ∠ =∠ =∠ = ,
3
则AC 1 .
= ×2=1
2
所以AD→ AB→ 的最小值为AC→ AB→
· · =1×2cos180°=-2.
故选
:B.
6 答案
.【 】D
详解 因为f x - x x x fx 所以fx 为奇函数.
【 】 - =e -e+sin2 =- ,
又f x x - x x x - x x x 所以fx 在R上单调递增.
' =e+e -2cos2 ≥2 e·e -2cos2 =2-2cos2 ≥0,
由f x f ax 得f x f ax fax 所以 x ax.
ln + - <0, ln <- - = , ln <
x x
对任意x 由 x ax 得a ln 所以只需a ln .
∈ 2,+ , ln < , >x , > x
max
x x
令gx ln 则g x 1-ln .所以gx 在 上单调递增 在 上单调递减.
=x , ' = x2 (2,e) , (e,+ )
所以gx g 1 所以a 1.故选
max= e = , > :D
e e
7 答案
.【 】A
详解 选取小球xy有A2 种选法.
【 】 , 10=90
若 x y为实数 则有 种情况
i+i , 2 :
x为偶数 则y为偶数 有A2 种选法
① , , 5=20 ;
x为奇数 则y为奇数 设A B x在A中任取一个数y在B中任取一个数 或
② , , = 1,5,9 , = 3,7 , , ;
者x在B中任取一个数y在A中任取一个数 共 种选法.
, , , 3×2+2×3=12
所以 所求概率为20+12 16.故选
, = :A
90 45
8 答案
.【 】C
详解 如图 取长方体的下底面的各边中点EFGH 上底面的中心为Q 下底面的中心为O.
【 】 , , ,, , ,
平面ADP与平面BCP的夹角为α平面ABP与平面CDP的夹角为
β
过P作PM AB于M 作
, , ⊥ '' ,
PN BC于N 则 AMB α BNC β.所以α β 等价于P到HF的距离比到EG的距离大 所
⊥ '' , ∠ = ,∠ = > , ,
以P在如图所示的阴影范围内.
在 APC和 BPD中AC BDPQ公共Q为共同的中点 APC BPD的大小由PQ与AC
△ △ , = , , ,∠ ,∠ ,
BD所成的角大小所决定.所成角越小 则对应角越大.
,
显然PQ与AC和BD所成的角的大小关系不确定 当P在靠近A时PQ与直线AC所成的角较小
, ' ,
与直线BD所成的角则接近于 °此时 BPD APC.同样当P接近于D时 APC BPD 故
90, ∠ >∠ ' ∠ >∠ ,
数学试卷参考答案与详解 第 页 共 页
2 ( 8 )错误
A、B ;
APD与 BPC的大小关系实际上是看P在EG的左侧还是右侧.
∠ ∠
若P在EG左侧 则 APD BPC 若P在EG右侧 则 APD
, ∠ >∠ ; , ∠ <
BPC 若是在EG上 则 APD BPC.
∠ , , ∠ =∠
同样P在HF的前面 则 APB CPDP在HF上
, , ∠ >∠ ; ,
则 APB CPDP在HF的后面 则 APB CPD.
∠ =∠ ; , ∠ <∠
所以当P在AOE内时 APD BPC APD
' ,max{∠ ,∠ }=∠ ,
APD BPC BPC APB CPD APB
min{∠ ,∠ }=∠ ,max{∠ ,∠ }=∠ ,
APB CPD CPD.
min{∠ ,∠ }=∠
因为PH PE 所以 APD APB.因为PG PF 所以 BPC CPD.
> , ∠ <∠ > , ∠ >∠
因此 APD BPC APB CPD
max{∠ ,∠ }min{∠ ,∠ },
根据对称性 在其余区域内 具有相同的结论 故选
, , . :C
9 答案
.【 】BCD
详解 方法一 设曲线y x与y ax b相切于点x x 0
【 】 : =2e =2 + (0,2e ),
x x
0 ax b a 0
则2e =2 0+ , 所以 =e ,
x x x
0 a b 0 x 0.
2e =2 , =2e -2 0e
则a b x x 0.令gx x x 则g x x x.
+ =(3-2 0)e ()=(3-2 )e, '()=(1-2 )e
所以gx 在 1 上单调递增 在 1 上单调递减 所以gx g 1 .
() (- , ) , ( ,+ ) , ()max= ( )=2e
2 2 2
所以a b 则 选项满足
+ ≤2e, B、C、D .
方法二 令x 1 则 a b则 选项满足
: = , 2e≥ + , B、C、D .
2
10 答案
.【 】AC
详解fx 与y x的零点均为x k k Z 显然 正确
【 】() =tan = π,∈ , A ;
fx 的图象仅有x 一条对称轴 所以 错误
() =0 , B ;
当x 时fx x 所以x 时fx
∈ 0,π ,()=sin , ∈ 0,π ,()∈ 0,1 .
对 x 总有fx fx 成立
∀ ∈ 0,+ , (+π)=2 () ,
所以x 时 有x
∈ π,2π , -π∈ 0,π ,
所以fx fx fx x fx
()= (-π+π)=2 (-π)=2sin(-π),()∈ 0,2 .
同理 当x 时fx x fx
, ∈ 2π,3π ,()=4sin(-2π),()∈ 0,4 .
当x 时fx x fx 所以 正确
∈ 3π,4π ,()=8sin(-3π),()∈ 0,8 , C ;
对于 选项 显然原点为一个交点 当x 时 设gx fx x x x
D , . ∈ 5π,6π , ()= ()- =32sin(-5π)- ,
则g f g11 11
(5π)= (5π)-5π=-5π<0,( π)=32- π>0,
2 2
数学试卷参考答案与详解 第 页 共 页
3 ( 8 )所以 当x 11
, ∈ 5π, π
2
数学试卷参考答案与详解 第 页 共 页
4 ( 8 )
时gx 有零点
() .
则fx 与y x的图象在 11
() = 5π, π
2
上也有一个交点 错误 故选
,D . :AC
11 答案
.【 】ABD
详解 由 PF PF a PF PF m 得 PF a m PF a m.
【 】 1 + 2 =2 , 1 - 2 =2 , 1 = + , 2 = -
所以PF PF a2 m2 则 正确
| 1|·| 2|= - , A .
a2 m2 c2 b2 n2
因为 θ 2 +2 -4 - 其中a2 b2 c2m2 n2 c2
cos= a2 m2 =a2 m2 , - = , + = ,
2 - -
所以PF→ PF→ a m a m θ b2 n2 则 正确
1· 2=(+ )(- )cos= - , B ;
b2 n2 c2 c2 θ θ
对于 将 θ - e2 e2 代入 可得1-cos 1+cos 则 错误
C, cos=a2 m2 ,1=a2 ,2=m2 , , e2 + e2 =2, C ;
- 1 2
对于 因为θ π 所以 PF 2 PF 2 c2 即a m 2 a m 2 c2
D, = , 1 + 2 = 2 , + + - =4 ,
2
a2 m2
化简得a2 m2 c2 即 即1 1 .
+ =2 ,c2+c2=2,e2+e2=2
1 2
令1 α1 则1 2 α α其中 α α 取α π
e=2cos,e=2sinα,e+e =2cos+2sin , cos>0,sin >0, ∈0, .
1 2 1 2 2
因为e e 所以 α α
1∈ 0,1 ,2∈ 1,+ , 2cos>1,0<2sin <1,
所以 α 2 α 2 故α π
cos> ,0 ,0< < ,
3 2 4
所以fα在α π 上单调递增 故1 2 则 正确 故选
() ∈0, ,e+e ∈ 2,2+1 , D . :ABD
4 1 2
12 答案
.【 】1
详解 cos10°+3sin10° 2sin50°cos50° sin100° cos10°
【 】sin50°(1+3tan10°)=sin50°· = = = =1.
cos10° cos10° cos10° cos10°
13 答案
.【 】1.2
详解 设Pξ aPξ b则 . a b 即a b ..
【 】 =1 = , =2 = , 03+ + =1, + =07
所以Eξ . a b a bEξ2 2 . 2 a 2 b a b
=0×03+1× +2× = +2 , =0×03+1× +2× = +4 ,
由Dξ Eξ2 E2ξ a b a b2 b . b . 2 . 解得b .a ..
= ( )- ()= +4 - +2 =3 +07- +07 =076, =05,=02
所以Eξ a b ..
= +2 =12
14 答案 第一空 分 第 空 分
.【 】65;9173( 2 , 2 3 )
详解 由x 得x x x .同理可得x x x
【 】 1=1, 2= 1+2[ 1]=1+2[1]=1+2×1=3 3=5,4=9,5=15,
x x x x x .
6=21,7=29,8=39,9=51,10=65
若x i = m2 + k , 其中 1≤ k ≤2 m , 则x i +1= m2 + k +2 m = m +1 2 + k -1 .则对 j kx x x x x x
1≤ ≤ ,i + j=(i + j- i + j -1)+…+(i +1- i)+ i
x x x
=2([ i + j -1]+…+[ i])+ i
m m m j m2 k
=2[ +( +1)+…+( + -1)]+ +
m j j m2 k m j2 k j
=(2 + -1)+ + =( + )+ - ,
即x i + j= m + j 2 + k - j. ①
若x i = m2 , 则x i +1= m2 +2 m.则由 ① 知x i +1+2 m = m +2 m 2 +2 m -2 m = 3 m 2. ②
由x 结合 知x 2x 2x 2x 2x 2 .
1=1, ② 4=3,11=9,30=27,85=81,86=81+162
再由 知x x 2 .
① 100= 86+14= 81+14 +162-14=9173
15 由fx 1x2 a x a xx a
.(1) = + ln - +1 ,>0,>0,
2
a x a x
得f x x a - -1 . 分
' = +x- +1 = x ………………………………………………… (1 )
当 a 时 由f x 解得 x a或x 由f x 解得a x . 分
0< <1 , ' >0, 0< < >1; ' <0, < <1 ………… (2 )
当a 时f x 恒成立. 分
=1 ,' ≥0 …………………………………………………………………… (3 )
当a 时 由f x 解得 x 或x a 由f x 解得 x a. 分
>1 , ' >0, 0< <1 > ; ' <0, 1< < ……………… (4 )
综上 当 a 时fx 在 a 上单调递增 在a 上单调递减
, 0< <1 , (0,),(1,+ ) , (,1) ;
当a 时fx 的在 单调递增
=1 , (0,+ ) ;
当a 时fx 在 a 上单调递增 在 a 上单调递减. 分
>1 , (0,1),(,+ ) , (1,) ……………………… (7 )
由 知 当a 时 函数fx 在 a 单调递减 在a 单调递增
(2) (1) , >1 , 1, , ,+ ,
a2
所以fx fa aa a. 分
≥ = ln - - ……………………………………………………………… (8 )
2
a2
令ha aa aa 得h a a a.
= ln - - ,≥1, ' =ln -
2
令ga h a a aa 得g a 1
= ' =ln - ,≥1, ' =a-1≤0,
所以ga 在 单调递减. 分
1,+ ………………………………………………………………… (10 )
所以ga g 所以h a 所以ha 在 上单调递减.
< 1 =-1<0, ' <0, 1,+
2 2
因为h e且ha e 所以 a .
e =- ≥- , 1< ≤e
2 2
所以a的取值范围为 . 分
(1,e] ……………………………………………………………………… (13 )
16. 如图 取AD的中点O 连接OPOB.
(1) , , ,
因为三角形PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形 不妨设AD
, =2,
则PA PO 1AD . 分
=2, = =1 …………………………………… (2 )
2
因为AO OD BC 1AD OD BC
= = = =1, ∥ ,
2
所以四边形ODCB为平行四边形 所以BO BO CD.
, =1, ∥
数学试卷参考答案与详解 第 页 共 页
5 ( 8 )因为CD AD 所以BO AOAB .
⊥ , ⊥ , =2
因为 PAB 则ΔPAB为等边三角形.得PB .
∠ =60°, =2
又BO PO 所以PO2 BO2 PB2 所以PO OB. 分
=1, =1, + = , ⊥ …………………………………… (3 )
又PO ADAD OB OADOB 平面ADCB 则PO 平面ADCB
⊥ , ∩ = , , ⊂ , ⊥
所以平面PAD 平面ABCD. 分
⊥ …………………………………………………………………… (7 )
过E作EF AD.因为BC AD 所以EF BC.所以EFBC共面.平面EFBC 平面PAB BF.
(2) ∥ ∥ , ∥ ∩ =
又CE 平面PAB 所以EC BF.
∥ , ∥
所以四边形BCEF为平行四边形EF BC 1ADE为PD中点. 分
, = = , ………………………… (9 )
2
建立如图所示的空间直角坐标系.设AD
=2,
则O B D A C P .
0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,-1,0 , 1,1,0 , 0,0,1
因为E为PD的中点 所以E 1 1 .
, 0, ,
2 2
所以CE→ 1 1 PB→ PC→ . 分
= -1,- , , = 1,0,-1 , = 1,1,-1 ……………………………… (11 )
2 2
PB→ n x z
设平面PBC的法向量为n xyz 则 · = - =0,
= ,, ,
PC→ n x y z .
· = + - =0
取x 得n . 分
=1, = 1,0,1 ………………………………………………………………………… (13 )
设直线CE与平面PBC的夹角为θ
,
1
-1+
则 θ nCE→ 2 3.
sin= cos< , > = =
1 1 6
1+ + ×2
4 4
所以 θ 2θ 33 分
cos= 1-sin = …………………………………………………………………… (15 )
6
c a2 c2 b2 c ac B c B
17. 因为 + - 所以 2 cos cos
(1) a c=a2 b2 c2 , a c=ab C=b C.
2 - + - 2 - 2 cos cos
b B B
即 cos sin 分
a c= C= A C. ………………………………………………………………… (4 )
2 - cos 2sin -sin
所以 B C A B C B 即 B C B C A B
sincos =2sin cos -sincos , sincos +cossin =2sin cos .
所以 A A B 故 B 1
sin =2sin cos . cos = .
2
因为 B 所以B π 分
0< <π, = . ……………………………………………………………………… (6 )
3
ac ab bc A C A B B C
根据正弦定理 得 - - sin sin -sin sin -sinsin 分
(2) , b2 = 2B ………………………… (8 )
sin
4 A A π 3 A 3 A π
= sin sin( + )- sin - sin( + )
3 3 2 2 3
数学试卷参考答案与详解 第 页 共 页
6 ( 8 )
4 3 A A 1 2A 3 A 33 A
= sin cos + sin - cos - sin
3 2 2 4 4
3 A 1 A A A 1
= sin2 - cos2 -cos -3sin +
3 3 3
2 A π A π 1 分
= sin2 - -2sin + + .………………………………………………………… (10 )
3 6 6 3
令x A π 则 A π x π 因为 A 2π 所以π x 5π
= + , 2 - =2 - , 0< < , < < .
6 6 2 3 6 6
所以 A π x π 2x
sin2 - =sin2 - =2sin -1.
6 2
所以2 A π A π 1 2 2x x 1
sin2 - -2sin + + = 2sin -1 -2sin +
3 6 6 3 3 3
4 2x x 1 4 x 3 2 13 分
= sin -2sin - = (sin - )- . ………………………………………………… (13 )
3 3 3 4 12
因为π x 5π 所以1 x
< < ,
