文档内容
山东师大附中 2023 级高三阶段检测
数学试卷
2025.10
命题：房华 审题：舒美玉
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数单调性及对数函数单调性解不等式，再由交集运算即可.
【详解】由 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
2. 已知 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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学科网（北京）股份有限公司C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数函数的性质得到“ ”的充要条件是“ ”，再结合幂函数的性质得到“
”的充要条件是“ ”，最后利用充分、必要条件的判定即可求解.
【详解】因为 在 上单调递减， 等价于 ，所以 ，即“
”的充要条件是“ ”；
因为 在 上单调递增， 等价于 ，所以 ，即“ ”的充要条件是
“ ”.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
3. 若直线 是曲线 的一条切线，则 （ ）
A. -4 B. 4 C. 3 D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数 的导数，利用给定的切线求出切点坐标及 值.
【详解】设直线 与曲线 相切的切点为 ，
函数 ，求导得 ，则 ，解得 ，则切点为 ，
因此 ，所以 .
故选：B
4. 设函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 大小为（
的
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得 为偶函数，且在 上为增函数，由此可得 ，然后利用对数函数
和指数函数的性质比较 的大小，从而可比较出 ， ， 的大小
【详解】解：因为 ，所以 为偶函数，
所以 ，
当 时， 在 上为增函数，
因为 ， ，
所以 ，
因为 在 上为增函数，
所以 ，
所以 ，
故选：A
【点睛】此题考查对数函数和指数函数 的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于
基础题.
5. 对于响应变量 ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减
去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份 与该月的对应销量 （单位：万件）整理成如下表格：
月份
1 2 3 4 5
x
销量
0.5 1 1.4
y
建立y与x的线性回归方程为 ，则第2个月和第4个月的残差和为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. -0.919 B. -0.1 C. 0.1 D. 0.919
【答案】C
【解析】
【分析】先求平均值，将其代入回归方程，故 ，将2，4代入线性回归方程，根据残差概念计算
即可.
【详解】由题意可得 ， ，
将其代入回归方程，得 ，故 ，
将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为 ，
，
故第2个月和第4个月的残差和为 .
故选：C.
6. 若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式恒成立，确定 ，且 ，再由基本不等式即可求解.
【详解】当 时， 不可能对任意的 恒成立，不满足要求，
当 时， 开口向下，不满足题意，
所以 ，
令 ，得 ，
当 时，不等式 对任意的 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，且 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4.
故选：B.
7. 已知 是定义在 上的函数，且 为偶函数， 是奇函数，当 时，
，则 等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的性质得到 ，再由奇函数的性质得到 ，从而推
导出 ，再由所给解析式及周期性计算可得.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
即 ，
所以 ，
又 是奇函数，所以 ，
即 ，所以 ，
则 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
又当 时， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求出函数值.
8. 若函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得出存在 ，使 成立，即存在 ，使 成
立，构造函数 ， ，求出 的最值即可解决问题.
【详解】因为函数 在 上存在单调递增区间，
所以存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立，
令 ， ， 变形得 ，因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， ，所以 ，
故选：D．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在区间 上单调递减的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】去掉绝对值符号，判断A；根据复合函数的单调性的判断方法，一一判断BCD各选项，即可得答
案.
【详解】对于A，因为 ，故 ，在区间 上单调递减，A正确；
对于B，当 时， ，
令 ，则该函数在区间 上单调递减，而 在R上单调递增，
故 在区间 上单调递减，B正确；
对于C，当 时， ，且 在区间 上单调递减，
故 在区间 上单调递增，C错误；
对于D，当 时， ，令 ，则该函数在区间 上单调递减，
函数 在 上单调递增，故 在区间 上单调递减，D正确，
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知 的展开式中各项系数之和为256，则展开式中 的系数为108
B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次
取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为
C. 若随机变量 ，则
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学科网（北京）股份有限公司D. 若随机变量 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，令 ，求出 ，写出通项公式，得到答案；B选项，设出事件，利用条件概率公
式进行求解；C选项，由正态分布的对称性进行求解；D选项，先利用二项分布求方差公式得到
，再利用方差的性质进行计算.
【详解】对于选项A：令 ，则 ，
的系数为 ，A正确；
对于选项B：设“第一次取得红球”为事件 ，“第二次取得白球”为事件 ，
，B错误；
对于选项C：由题意知， ，
，C正确；
对于选项D： ，D正确.
故选：ACD
11. 已知等式 其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（ ， ），b为x
的函数，记为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 若方程 有4个不等的实根，则
D. 当 时，若 的两实根为 ， ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意求出 ，即可判断A选项；利用导数求出函数的单调性即可判断B选项；利
用 为偶函数，结合函数的单调性即可判断C选项；利用对数均值不等式即可判断D选项.
【详解】由题意知， ，故 即 ，
且 ，故 ，
对于A， ，故A正确；
对于B， 故 在 上， 单调递增；
在 和 上， 单调递减；
故 且 故 ，故B正确；
对于C， ，故 为偶函数，
则 有4个不等的实根，即 ， 有2个不等的实根，
且 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ，故C错误；
对于D，由 的单调性可知，当 时，若 的两实根为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， 且 ，故 ，
引入不等式 ，
证明过程如下：不妨设 ，
因为 ，
设 ， ，则问题转化为： ， ．
令 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增；所以 ，
故 ， 成立，所以 ．
故 ，
故 ，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知偶函数 满足：当 时， ，则 ______.
【答案】18
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据偶函数的性质，结合对数运算，可得答案.
【详解】因为 为偶函数，所以 .
故答案为： .
13. 现将 位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1
个学校，每个学校只去1人.已知 民警不能去甲学校， 两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法
共有__________种.
【答案】60
【解析】
【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数.
【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有 种，
其中将A民警安排在甲学校有 种不同的安排方法，
将民警B或C安排在乙学校有 种不同的安排方法，
又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有 ，
所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，
则不同的分派方法共有 种.
故答案为：60.
14. 已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实数根，则 的
取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】作出 的图象，由题意知 在 内有两个不等实根，再结合二次
方程根的分布列不等式即可求得m的范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】作出 的图象，
令 ，则方程 ，即为 ，
有4个不同的实数根，则 在 内有两个不等实根，
所以 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 .
故答案为： .
四.解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 是定义在 上的奇函数.
（1）求 和实数 的值；
（2）当 时，若 满足 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）0；2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数的性质，即可求得答案；
（2）判断函数 的单调性，根据函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，即可
求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意知函数 是定义在 上的奇函数，
故 ，且 ，
则 ，
即得 ，则 ，故 ，
则 ，（ 舍）；
【小问2详解】
由（1）可得 ，
函数 在 上单调递减，
时，函数 在 上单调递增，
故 在 上单调递减，
由 可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
16. 已知函数 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若函数 为增函数，求实数 的取值范围；
（2）若函数 ，求函数 的单调区间.
【答案】（1） ；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，由题设有 恒成立，结合判别式列不等式求参数范围；
（2）对函数求导，分类讨论参数，研究导数符号确定对应单调区间即可.
【小问1详解】
因为 为增函数，所以 在 上恒成立，
所以 ，则 ，可得 .
【小问2详解】
，
所以 ，
当 时，则 增区间为 ，无减区间；
当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 增区间为 和 ，减区间为 ；
当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 增区间为 和 ，减区间 ；
综上：
当 时， 增区间为 和 ，减区间为 ；
当 时， 增区间为 ，无减区间；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 增区间为 和 ，减区间为 .
17. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，
保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质
量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成
以下五组： ，得到如下频率分布直方图.规定：口
罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于
130的为一级口罩.
（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为 ，
求 的分布列及方差.
【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125；
（2）分布列见解析，方差为 .
【解析】
【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在 内，设其为 ，列出
方程，求出答案；
（2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，
的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差.
【
小问1详解】
该厂商生产口罩质量指标值的平均数为
；
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学科网（北京）股份有限公司，
故第60百分位数落在 内，设其为 ，
则 ，
解得 ，故第60百分位数为125；
【小问2详解】
一级口罩与二级口罩的个数比为 ，
现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，
则一级口罩有 个，二级口罩有 个，
再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为 ， 的可能取值为0,1,2，
， ， ，
故 的分布列如下：
0 1 2
数学期望为 ，
方差为
18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答
对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计
答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为 ，假设甲、乙两人每次答题相互独立，
且互不影响．
（1）当 时，设 为乙答题的道数，求 的分布列及期望；
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，求甲乙获得纪念品 的概率的最小值．
【答案】（1）分布列见详解，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据X的取值逐一分情况计算即可得到答案；
（2）求解出甲乙获得纪念品的概率表达式，对 变形后得到 ，代入概率表达式化简
再应用均值不等式即可求解．
【小问1详解】
X的可能取值为0,1,2，
当 时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题，
所以 ，
当 时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题，
甲前2道题只答对1道题的概率为 ，乙答错第3题的概率为 ，
所以 ，
当 时，有2种情况，
①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题，
概率为 ，
②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，分布列如下，
0 1 2
P
期望 ．
【小问2详解】
两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况：
①甲答对1题，乙答对2题，概率为 ；
②甲答对2题，乙答对1题，概率为 ；
③甲答对2题，乙答对2题，概率为 .
所以获得纪念品的概率 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
对P进行变形，
，
由 可得 ，即 ，所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
所以P的最小值 .
综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司19. 设函数 ， .
（1）求 的极值；
（2）已知实数 ，若存在正实数x使不等式 成立，求a的取值范围；
（3）已知不等式 对满足 的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值
范围.
【答案】（1）极小值 ，无极大值；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的极值；
（2）问题化为 ， 使 成立，导数研究 的性质，结合 得
到 ，进而有 ，导数求右侧最大值，即可得范围；
（3）令 ，问题化为 在 上恒成立，利
用导数研究右侧的范围，即可得参数范围.
【小问1详解】
由题设 ，
时， ，即 在 上递减，
时， ，即 在 上递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 有极小值 ，无极大值.
【小问2详解】
由 且 ，则 ，
所以，问题化为 ， 使 成立，
令 ，则 ，且 时 ，
时 ，即 在 上递减，对应值域为 ；
时 ，即 在 上递增，对应值域为 ；
由于 ，于是 ，即 ，此时 ，
对于 且 ，则 ，
故 时 ，即 在 上递增，
时 ，即 在 上递减，
所以 ，故 .
【小问3详解】
由题设，令 ，而 ，
所以 在 上恒成立，
令 在 上递增，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
故 上 ，即 在 上递减；
上 ，即 在 上递增；
所以 ，
综上 ，故只需 .
【点睛】关键点点睛：第三问，应用换元法将问题化为 在
上恒成立是关键.
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学科网（北京）股份有限公司
