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辽宁省丹东市2025届高三总复习质量测试（一）
数学试卷
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ，则 与 的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
3．圆 关于 轴对称的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．2
7．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知圆台的上，下底面的直径分别为2和6，母线与下底面所成角为 ，则圆台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数z，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 的虚部为 D．若 ，则
10．已知函数 ，其中相邻的两条对称轴间的距离为 ，且经过点
，则（ ）
A． B． 在区间 上单调递增
C． D． 在 上有4个解
11．设正实数 满足 ，则（ ）
A． 有最大值为1 B． 有最小值为4
C． 有最小值为5 D． 有最大值为
三、填空题
12．已知实数 满足 ，则 ．
13．将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的排法有 种．（用数字作答）
14．已知 为椭圆 的左右焦点，直线 与 相切于点 （点 在第一象限），过 作 ，垂足分别为 ， 为坐标原点， ，则 ，
的方程为 ．
四、解答题
15．为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了200名居民进行调查，得到如下表格：
购买倾向
合计
新能源车 燃油车
男 64 36 100
女
46 54
性
合
90 200
计
(1)求 ；
(2)根据小概率值 的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？
(3)从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人，再从这5人中任选2人，求选中男性的人数的分布列
和期望．
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)证明：当 时， ；
(3)若 在 上单调递增，求整数 的最大值．17．记 为数列 的前 项和， ．
(1)求 ；
(2)求证：数列 是常数列；
(3)设 ，求数列 的前 项和 ．
18．如图，在三棱锥 ，点 是边长为 的等边 的重心， ， ，点 在
棱 上，且 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)设过点 的平面为 ， 与此三棱锥的面相交，交线围成一个多边形．
（ⅰ）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由），并求出 将三棱锥分成两部分的几何体体积之
比；
（ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值．
19．记 为坐标原点，点 在抛物线 上， 在第一象限， 两点位于 轴上，已知圆
经过点 ，且圆 内切于 ．
(1)求拋物线的准线方程；
(2)若 ，求点 的坐标及 的长；
(3)求 面积的最小值．参考答案
1．D
【详解】由一元二次方程可得
又 ，
所以 .
故选：D
2．C
【详解】由题， .
又 ，则 .
故选：C
3．A
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心坐标为 ，
若题干所求圆与圆 关于 轴对称，则所求圆的圆心也与圆 的圆心关于 轴对称，
故与圆 关于 轴对称的圆的圆心坐标为 .
故选：A.
4．B
【详解】根据题意， ，
所以 ，
所以 .
故选：B
5．C
【详解】因为函数 在 上单调递增，所以 ，又 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C
6．A
【详解】设双曲线 的实半轴、虚半轴、半焦距分别为 ，
由双曲线的定义可知 ，结合题干条件 ，
解得 ，又 ， ，
由勾股定理可得 ，解得离心率 .
故选：A.
7．A
【详解】由于
，故 .
从而 .
故选：A
8．B
【详解】如图，设圆台的上下底面的圆心分别为 ，半径分别为 ，
母线为 ，高为 ，由题干知 ， ，
因为 ，所以母线长为 ，高 ，
设圆台外接球的半径为 ，球心到下底面的距离为 ，若球心位于下底面的下面，则有 ，解得 （舍
去），
若球心位于上下底面之间，则有 ，解得 ，
所以圆台的外接球的表面积为 .
故选：B.
9．BD
【详解】设复数 ，其中 ， 为虚数单位，
对于A： ，只能得到 ，有无数组解满足方程，
而不是只有选项A所述的 ，故A错误；
对于B： 为一个新的复数，若 ，
表示这个新的复数可以和 比较大小，故 ，解得 ，
此时 ，故B正确；
对于C： ，若 ，则 ，
解得 ，此时 ，虚部为 ，故C错误；
对于D： ，
由复数的几何意义可知在复平面内复数 对应的点的集合为圆心在坐标原点的单位圆，
而 表示该单位圆的点到点 的距离，
可知单位圆上的点到点 的距离最小为 ，最大为 ，所以 ，故D正确.
故选：BD.
10．BCD【详解】由题意， ，则 ，即 ，
此时 ，
又 ，则 ，
因为 ，所以 ，故A错误；
则 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上单调递增，故B正确；
由 ，得 ，
而 ，
所以 ，故C正确；
画出函数 和 在 上的图象，
由图可知，函数 和 在 上有4个交点，所以 在 上有4个解，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【详解】对于A，由基本不等式， ，当且仅当 时取等号，故A正
确；
对于B， ，由A， ，则
，即最小值为2，当且仅当 时取等号，故B错误；
对于C， ，当且仅当 ，
则 ，即 时取等号，故C正确；
对于D， ，
又 ，则、当且仅当 ，即 时取等
号，则 ，即 有最大值为 .
故选：ACD
12．1
【详解】由 ，两边同时取 次幂，得 ，
化简得 ，可知 .
故答案为： .
13．15
【详解】采用插空法，5个1有六个空，将两个0插入其中可得 .
故答案为：1514．
【详解】
因为 ，
所以由两直线垂直斜率关系可设 方程为 ，
所以由 可得 ，
同理可得 ，
又 ，即 ，即 ，①
又 ，即 ，即 ，
所以 .
联立曲线和直线 方程可得
，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，
化简可得 ，由①得 ，
又由椭圆的性质可得 ，所以 ，所以椭圆方程为 .
故答案为： ； .
15．(1)
(2)与性别有关
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由表格数据可算得 ；
（2）由 列联表中的数据，可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，故可以认为居民的购车倾向与性别有关；
（3）从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取 人，则男性有 人，
女性有 人，设选中男性的人数为 ，则 的取值分别为 ，
所以 ， ， ，
则 的分布列为
0 1 2
期望 .
16．(1)
(2)证明见解析
(3)1
【详解】（1）因为 ，所以 在 处的切线的斜率为 ，且 ，
则 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2）证明：因为 ，
令 ，
在 上恒成立，
即 在 上单调递增，所以 ，
即 时， 成立；
（3）由 ，得 ，
由（2）可知，当 时， ，则 在 上单调递增，
，由零点存在定理可知 ，使得
，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，满足 ，即 ，所以整数 的最大值为 .
17．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）当 时， ，所以（2）当 时，
得 ，即
同乘 得，
所以
所以数列 是常数列．
（3）由（2）知 ，所以 ，则
所以 ．
18．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）作图见解析， ；（ⅱ）
【详解】（1）证明：因为点 是等边 的重心，连接 并延长交 于点 ，
所以 是 的中点，连接 ，在 中， ，
所以 ，
平面 平面 ，所以 平面 ．
（2）（ⅰ） 是等边三角形， 为重心， 是 的中点，所以 三点共线，连
接 ，所以 的三边是 与三棱锥的面的交线，
则两部分的几何体分别为三棱锥 和四棱锥 ，
设 ，三棱锥 的高为 ，
则 ，
，
所以 ，即 ，
所以三棱锥 的体积与四棱锥 的体积之比为 ．
（ⅱ）取 的中点 ，连接 ， 平面
，
所以 平面 平面 ，则平面 平面 ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
可知 轴在平面 内．
，设 ，解得 ，
所以 ，
由 ，得 ，
因为 ，
设平面 的法向量 ，由 ，
可得 ，可取 ，
设平面 的法向量 ，由 ，
可得 ，可取 ，
所以 ，设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
19．(1)
(2) ，
(3)32
【详解】（1）圆 经过 ，有 ，则 ，所以抛物线的准线方程为．
（2）
解法1：
因为 ，由题意可知，点 位于点 的上方，则直线 的倾斜角为 ，
设 与圆 切于点 ，所以由直角三角形中 角所对直角边等于斜边的一半可得 与
轴的交点为 ，
设 联立 ，得 ，则 或 （舍），
所以点 的坐标为 ，
过点 作 轴，垂足为 ， ，所以 是等腰直角三角形，
则 ，所以 ，所以 ，且有 ，
，
所以 ，即 .
解法2：因为 ，由题意可知，点 位于点 的上方，则直线 的倾斜角为
设 与圆 切于点 ，所以 与 轴的交点为 ，
设 联立 ，得 ，则 或 （舍），
所以点 的坐标为 ，则 ，
在 中， ，
则 ，
因为 ，所以 ，且有 ，
，
所以 ，即 .
（3）设 ，不妨设 ，
直线 ，圆心 到直线 的距离为2， ，整理得
，
同理直线 ，得 ，
所以 是方程 的两个根，则有 ，
则 ，所以 ，
所以 面积 ，
令 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 积的有最小值为32．
