2024 年北京高考数学
一、单选题
1．已知集合M ={x|−3<x<1}，N ={x|−1≤x<4}，则M ∪N =（ ）
A． { x −1≤x<1 } B． { x x>−3 }
C．{x|−3<x<4} D． { x x<4 }
z
2．已知 =−1−i，则z=（ ）．
i
A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i
3．圆x2+y2−2x+6y=0的圆心到直线x− y+2=0的距离为（ ）
A． 2 B．2 C．3 D． 3 2
( )4
4．在 x− x 的展开式中，x3的系数为（ ）
A．6 B．−6 C．12 D．−12
( )( )
5．设 a，b是向量，则“ a+b · a−b =0”是“a=−b或a=b”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
π
6．设函数 f (x)=sinωx(ω>0) .已知 f (x )=−1， f (x )=1，且 x −x 的最小值为 ，则ω=（ ）
1 2 1 2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
S−1
7．生物丰富度指数 d = 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.
lnN
生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 变为N ，
1 2
生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3N =2N B．2N =3N
2 1 2 1
C．N2 =N3 D．N3 =N2
2 1 2 1
8．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC =PD=2 2，该棱锥的高
为（ ）.
A．1 B．2 C． 2 D． 3
9．已知(x,y )，(x ,y )是函数y=2x的图象上两个不同的点，则（ ）
1 1 2 2
y +y x +x y +y x +x
A．log 1 2 < 1 2 B．log 1 2 > 1 2
2 2 2 2 2 2y +y y +y
C．log 1 2 <x +x D．log 1 2 >x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
10．已知M = {(x,y)| y=x+t ( x2−x ) ,1≤x≤2,0≤t≤1 } 是平面直角坐标系中的点集.设d是M 中两点间距离的最大值，
S是M 表示的图形的面积，则（ ）
A．d =3，S <1 B．d =3，S >1
C．d = 10，S <1 D．d = 10，S >1
二、填空题
11．抛物线y2 =16x的焦点坐标为 ．
π π
12．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈
,
，则cosβ的最
6 3
大值为 ．
13．若直线y=k(x−3)与双曲线
x2
−y2 =1只有一个公共点，则k的一个取值为 ．
4
14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均
可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm，且斛量器
的高为230mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为 mm．
15．设{a }与{b }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合M = { k|a =b ,k∈N*} ，给出下列4个结论：
n n k k
①若{a }与{b }均为等差数列，则M中最多有1个元素；
n n
②若{a }与{b }均为等比数列，则M中最多有2个元素；
n n
③若{a }为等差数列，{b }为等比数列，则M中最多有3个元素；
n n
④若{a }为递增数列，{b }为递减数列，则M中最多有1个元素.
n n
其中正确结论的序号是 .
三、解答题
3
16．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∠A为钝角，a=7，sin2B= bcosB．
7
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求ABC的面积．
13 5
条件①：b=7；条件②：cosB= ；条件③：csinA= 3．
14 2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC =1，AD=3,点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．(1)若F 为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．
(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并
整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6
万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望E(X)；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数
学期望估计值与（i）中E(X)估计值的大小．（结论不要求证明）
x2 y2
19．已知椭圆E： + =1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点
a2 b2
(0,t)( t > 2 ) 且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B，过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点
为D．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
20．设函数 f (x)=x+kln(1+x)(k ≠0)，直线l是曲线y= f (x)在点(t, f (t))(t >0)处的切线．
(1)当k =−1时，求 f (x)的单调区间.
(2)求证：l不经过点(0,0)
.
(3)当k =1时，设点A ( t, f (t))(t >0)，C ( 0, f (t)) ，O(0,0)，B为l与y轴的交点，S 与S 分别表示△ACO与
ACO ABO
ABO的面积．是否存在点A使得2S
△ACO
=15S
△ABO
成立？若存在，这样的点A有几个？
（参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95）
21．已知集合M = {(i, j,k,w)i∈{1,2}, j∈{3,4},k∈{5,6},w∈{7,8},且i+ j+k+w为偶数 } ．给定数列A:a,a ,,a ，
1 2 8
和序列Ω:T,T ,T ，其中T =(i, j,k ,w )∈M(t=1,2,,s)，对数列A进行如下变换：将A的第i, j,k ,w 项均加1，
1 2 s t t t t t 1 1 1 1其余项不变，得到的数列记作T (A)；将T (A)的第i , j ,k ,w 项均加1，其余项不变，得到数列记作TT (A)；……；
1 1 2 2 2 2 2 1
以此类推，得到T TT (A)，简记为Ω(A)．
s 2 1
(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出Ω(A)；
(2)是否存在序列Ω，使得Ω(A)为a +2,a +6,a +4,a +2,a +8,a +2,a +4,a +4，若存在，写出一个符合条件的
1 2 3 4 5 6 7 8
Ω；若不存在，请说明理由；
(3)若数列A的各项均为正整数，且a +a +a +a 为偶数，求证：“存在序列Ω，使得Ω(A)的各项都相等”的充要条
1 3 5 7
件为“a +a =a +a =a +a =a +a ”．
1 2 3 4 5 6 7 8
