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2011年天津高考文科数学试题及答案详细解析
（天津卷）
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式V = Sh
P(AÈB) = P(A)+P(B) 其中S表示棱柱的底面面积。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1-3i
1．i是虚数单位，复数 =
1-i
A．2-i B．2+i C．-1-2i D．-1+2i
ìx³1,
ï
2．设变量x，y满足约束条件íx+ y-4£0, 则目标函数z =3x- y的
ï
x-3y+4£0,
î
最大值为
A．-4 B．0
4
C． D．4
3
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为-
4，则输出 y的值为
A．,0．5 B．1
C．2 D．4
4．设集合A=xÎR|x-2>0,B=xÎR|x<0，
C =xÎR|x(x-2)>0，
则“xÎAÈB”是“xÎC”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
5．已知a =log 3.6,b=log 3.2,c=log 3.6则
2 4 4
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
x2 y2
6．已知双曲线 - =1(a >0,b >0)的左顶点与抛物线y2 = 2px(p >0)的焦点的距
a2 b2
离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-
1），则双曲线的焦距为（ ）
A．2 3 B．2 5 C．4 3 D．4 5
7．已知函数 f(x) = 2sin(wx+j),xÎR，其中w>0,-p1.
f(x) =(x2 -2)Ä(x-1),xÎR。若函数y = f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点
，则实数c的取值范围是 （ ）
A．(-1,1]È(2,+¥) B．(-2,-1]È(1,2] C．(-¥,-2)È(1,2]D．[-2，-1]
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知集合A= xÎR| x-1 <2 ,Z 为整数集，则集合
AÇZ 中所有元素的和等于________
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几
何体的体积为__________m3
11．已知a 为等差数列，S 为其前n项和，nÎN*，
n n
若a =16,S = 20,则S 的值为_______
3 20 10
12．已知log a+log b³1，则3a +9b的最小值为_______
2 2
___
13．如图已知圆中两条弦 AB与CD相交于点F ，E是AB延长
线上一点，且DF =CF = 2,AF:FB:BE =4:2:1.
若CE与圆相切，则CE的长为__________
14．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ÐADC =900,AD=2,BC =1,
uuur uuur
P是腰DC 上的动点，则 PA+3PB 的最小值为____________
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第2页 | 共12页15．编号为A,A ,×××,A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
1 2 16
运动员编号
A A A A A A A A
1 2 3 4 5 6 7 8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号
A A A A A A A A
9 10 11 12 13 14 15 16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
区间
10,20 20,30 30,40
人数
（Ⅱ）从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率
．
16．
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=C,2b= 3a. P
（Ⅰ）求cosA的值；
p
（Ⅱ）cos(2A+ )的值．
4 M
17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为
平行四边形，ÐADC =450，AD= AC =1，O为AC中点，
D C
PO^平面ABCD， PO=2，
O
M 为PD中点． A B
（Ⅰ）证明：PB//平面ACM ；
（Ⅱ）证明：AD^平面PAC ；
（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD所成角的正切值．
18．（本小题满分13分）
x2 y2
设椭圆 + =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F ，F 。点P(a,b)满足
a2 b2 1 2
| PF |=| FF |.
2 1 2
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF 与椭圆相交于A，B两点，若直线PF 与圆
2 2
5
(x+1)2 +(y- 3)2 =16相交于M，N两点，且|MN |= | AB|，求椭圆的方程
8
。
19．（本小题满分14分）已知函数 f(x)=4x3 +3tx2 -6tx+t-1,xÎR，其中tÎR．
（Ⅰ）当t =1时，求曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）当t ¹0时，求 f(x)的单调区间；
第3页 | 共12页（Ⅲ）证明：对任意的tÎ(0,+¥), f(x)在区间(0,1)内均存在零点．
20．（本小题满分14分）
已知数列{a }与{b }满足
n n
3+(-1)n-1
b a +b a =(-2)n +1,b = ,nÎN*,且a = 2.
n+1 n n n+1 n 2 1
（Ⅰ）求a ,a 的值；
2 3
（Ⅱ）设c = a -a ,nÎN*，证明{c }是等比数列；
n 2n+1 2n-1 n
S S S S 1
（Ⅲ）设S
n
为{a
n
}的前n项和，证明
a
1 +
a
2 +
L
+
a
2n-1 +
a
2n £ n-
3
(nÎN*).
1 2 2n-1 2n
参考答案
第4页 | 共12页一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分。
1. 【答案】A
1-3i (1-3i)(1+i) 4-2i
【解析】 = = =2-i.
1-i (1-i)(1+i) 2
2. 【答案】D
【解析】可行域如图：
y
x+y-4=0
4
x-3y+4=0
3
2
1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
x
x=1
ìx+ y+4=0 ìx = 2
联立í 解得í 当目标直线z =3x- y移至（2.2）时，z =3x- y有最大
îx-3y+4=0 îy = 2
值4.
3. 【答案】C
【解析】当x=-4时，x= x-3 =7；
当x=7时，x= x-3 =4
当x=4时，x =| x-3|=1<3，
∴y =2¢=2.
4. 【答案】C
【解析】∵A= xÎk x-2>0 ，B= xÎk x<0，
∴AÈB= x x<0，或x>2，又∵C = xÎk x(x-2)>0= xÎk x<0或x>2，
∴AÈB=C，即“xÎAÈB”是“xÎC”的充分必要条件.
5. 【答案】B
【解析】∵a =log3.6 >log2 =1，又∵y =logx为单调递增函数，
2 2 4
∴log3.2 1
ìx2 -2,-1£ x £ 2
= í
îx-1,x < -1,或x > 2
则 f(x)的图象如图，
y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
x
-1
-2
-3
∵函数y = f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴函数y = f(x)与y =c的图象有两个交点，由图象可得-20)，因为| PF |=| FF |，
1 2 2 1 2
2
æcö c c
所以 (a-c)2 +b2 = 2c，整理得2 + -1=0,得 = -1（舍）
ç ÷
èaø a a
c 1 1
或 = ,所以e = .
a 2 2
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a = 2c,b = 3c，可得椭圆方程为3x2 +4y2 =12c2，直线FF
2
的方程为y = 3(x-c).
ìï3x2 +4y2 =12c2,
A，B两点的坐标满足方程组í 消去 y并整理，得5x2 -8cx =0。
ïîy = 3(x-c).
ì 8
x = c,
8 ìï x =0, ï ï 2 5
1
解得x =0,x = c，得方程组的解í í
1 2 5 ïî y = - 3c, ï 3 3
1 y = c.
ïî 2 5
æ8 3 3 ö
不妨设Aç c, c÷，B(0,- 3c)，所以
ç ÷
5 5
è ø
第9页 | 共12页æ8 ö 2 æ3 3 ö 2 16
| AB|=
ç
c
÷
+ç
ç
c+ 3c÷
÷
= c.
è5 ø è 5 ø 5
5
于是|MN |= | AB|= 2c.
8
|- 3- 3- 3c| 3|2+c|
圆心 -1, 3 到直线PF 的距离d = = .
2
2 2
2
æ|MN |ö 3
因为d2 + = 42，所以 (2+c)2 +c2 =16.
ç ÷
è 2 ø 4
26
整理得7c2 +12c-52=0，得c = - （舍），或c = 2.所以椭圆方程为
7
x2 y2
+ =1.
16 12
（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、
函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分
。
（Ⅰ）解：当t =1时， f(x) = 4x3 +3x2 -6x, f(0) =0, f ¢(x) =12x2 +6x-6
f ¢(0) = -6.所以曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y = -6x.
t
（Ⅱ）解： f ¢(x) =12x2 +6tx-6t2，令 f ¢(x) =0，解得x = -t或x = .
2
因为t ¹ 0，以下分两种情况讨论：
t
（1）若t <0,则 < -t,当x变化时， f ¢(x), f(x)的变化情况如下表：
2
x
æ t ö æ t ö -t,+¥
-¥, ,-t
ç ÷ ç ÷
è 2ø è2 ø
+ - +
f ¢(x)
f(x)
æ t ö æ t ö
所以， f(x)的单调递增区间是 -¥, ,-t,+¥; f(x)的单调递减区间是 ,-t 。
ç ÷ ç ÷
è 2ø è2 ø
t
（2）若t >0,则-t < ，当x变化时， f ¢(x), f(x)的变化情况如下表：
2
x
-¥,t æ t ö æ t ö
-t, ,+¥
ç ÷ ç ÷
è 2ø è2 ø
+ - +
f ¢(x)
f(x)
第10页 | 共12页æ t ö æ t ö
所以， f(x)的单调递增区间是-¥,-t, ,+¥ ; f(x)的单调递减区间是 -t, .
ç ÷ ç ÷
è2 ø è 2ø
æ t ö æ t ö
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t > 0时， f(x)在
ç
0,
÷
内的单调递减，在
ç
,+¥
÷
è 2ø è2 ø
内单调递增，以下分两种情况讨论：
t
（1）当 ³1,即t ³ 2时， f(x)在（0，1）内单调递减，
2
f(0) =t -1>0, f(1) = -6t2 +4t +3£ -6´4+4´2+3<0.
所以对任意tÎ[2,+¥), f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
t æ t ö æ t ö
（2）当0< <1,即00.
æ t ö
所以 f(x)在 ,1 内存在零点。
ç ÷
è2 ø
æ t ö 7 7
若tÎ(1,2), f = - t3 +t -1< - t3 +1<0.
ç ÷
è2ø 4 4
f(0) =t -1>0
æ t ö
所以 f(x)在 0, 内存在零点。
ç ÷
è 2ø
所以，对任意tÎ(0,2), f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意tÎ(0,+¥), f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
（20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证
能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
3+(-1)n-1 ì2,n为奇数,
（Ⅰ）解：由b = ,nÎN*，可得b = í
n 2 n î1,n为偶数,
又b a +b a
=-2n
+1，
n+1 n n n+1
3
当n =1时,a +2a = -1,由a = 2,可得a = - ;
1 2 1 2 2
第11页 | 共12页当n = 2时,2a +a =5,可得a =8.
2 3 3
（Ⅱ）证明：对任意nÎN*
a +2a = -22n-1 +1 ①
2n-1 2n
2a +a = 22n +1 ②
2n 2n+1
c
②-①，得a -a =3´22n-1,即c =3´22n-1,于是 n+1 = 4
2n+1 2n-1 n c
n
所以{c }是等比数列。
n
（Ⅲ）证明：a = 2，由（Ⅱ）知，当kÎN*且k ³ 2时，
1
a = a +(a -a )+(a -a )+(a -a )+ +(a -a )
2k-1 1 3 1 5 3 7 5 L 2k-1 2k-3
2(1-4k-1)
= 2+3(2+23 +25 + +22k-3) = 2+3´ = 22k-1
L
1-4
故对任意kÎN*,a = 22k-1.
2k-1
1
由①得22k-1+2a = -22k-1 +1,所以a = -22k-1,kÎN*
2k 2k 2
k
因此，S =(a +a )+(a +a )+ +(a +a ) = .
2k 1 2 3 4 L 2k-1 2k 2
k -1
于是，S -1= S -a = +22k-1.
2k 2k 2k 2
故
k -1 k
+22k-1
S S 2 2 k -1+22k k 1 k
2k-1 + 2k = + = - =1- - .
a a 22k-1 1 22k 22k -1 4k 4k(4k -1)
2k-1 2k -22k-1
2
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