2011年高考数学试卷（理）（四川）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2011·高考数学真题

2011 年全国高等学校招生统一考试
四川卷（理数）
1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上
2．本部分共12小题，每小题5分，共60分．
一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l
[31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在
[31.5，43.5)的概率约是
1 1 1 2
(A) (B) (C) （D）
6 3 2 3
1
2．复数-i+ =
i
1
(A)-2i （B） i （C）0 （D）2i
2
3．l ，l ，l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
1 2 3
(A)l ^l ，l ^l Þl l
1 2 2 3 1P 3
（B）l ^l ，l l Þ l ^l
1 2 2 P 3 1 3
[来源:Zxxk.Com]
(C)l l l Þ l ，l ，l 共面
2 P 3 P 3 1 2 3
（D）l ，l ，l 共点Þ l ，l ，l 共面
1 2 3 1 2 3
uuur uuur uuur
4如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF =
[来源:Zxxk.Com]
uuur uuur uuur
(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF
5函数， f(x)在点x= x 处有定义是 f(x)在点x= x 处连续的
0 0
(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也
不必要的条件
第1页 | 共10页6.在DABC中．sin2 £sin2 B+sin2C-sinBsinC.则A的取值范围是
p p p p
(A)(0， ] (B)[ ，p) (c)(0， ] (D) [ ，p)
6 6 3 3
1
7．已知 f(x)是R上的奇函数，且当x 0时， f(x)=( )x +1，则 f(x)的反函数的图像
f
2
大致是
8.数列a 的首项为3，b  为等差数列且b =a -a (nÎN*) .若则b =-2，
n n n n+1 n 3
b =12，则a =
10 8
[来源:Z§xx§k.Com]
（A）0 （B）3 （C）8 （D）11
9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量
为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.
拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1
名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大
利润
（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元
10.在抛物线 y = x2 =ax-5(a≠0)上取横坐标为x =-4，x =2的两点，过这两点引一
1
2
条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2 +5y2 =36相切，则抛物线顶点
的坐标为
（A）(-2,-9) （B）(0,-5) （C）(2,-9) （D）(1,-6)
11. 已 知 定 义 在 0,+¥上 的 函 数 f(x)满 足 f(x)=3f(x+2)， 当 xÎ0,2时 ，
f(x)=-x2 +2x.设 f(x)在2n-2,2n上的最大值为a (nÎN*)，且a 的前n项和为
n n
S ，则limS =
n n
n®¥
5 3
（A）3 （B） （C）2 （D）
2 2
12.在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=(a,b).
第2页 | 共10页从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行
m
四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为 m，则 =
n
4 1 2 2
（A） （B） （C） （D）
15 3 5 3
注意事项：
1. 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先
用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.
2. 本部分共10小题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
1 - 1
13.计算(lg -lg25)¸100 2= .
4
x2 y2
14.双曲线 - =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离
64 36
是 .
15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求
的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .
16.函数f（x）的定义域为A，若x，x ÎA且f（x）=f（x ）时总有
1 2 1 2
x =x ，则称f（x）为单函数.例如，函数f（x）=2x+1（xÎR）是单
1 2
函数.下列命题：
① 函数f（x）=x2（xÎR）是单函数；
② 若f（x）为单函数，x，x ÎA且x ¹ x ，则f（x）¹f（x ）；
1 2 1 2 1 2
③ 若f：A®B为单函数，则对于任意bÎB，它至多有一个原象；
④ 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
7π 3π
17．已知函数 f(x)=sin(x+ )+cos(x- )，x∈R.
4 4
(1)求函数的最小正周期和最小值；
4 4 π
(2)已知cos(b-a)= ，cos(b+a)=- ，0<a<b£ .求证：[f(β)]2－2＝0.
5 5 2
18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准
是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的
部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、
1 1
乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
4 2
第3页 | 共10页1 1
， ；两人租车时间都不会超过四小时．
2 4
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
19．(本小题共l2分)
如图，在直三棱柱AB-ABC 中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA =1．D是棱CC 上的一
1 1 1 1 1 [来源:学+科+网Z+X+X+K]
P是AD的延长线与AC 的延长线的交点，且PB∥平面BDA．
1 1 1
(I)求证：CD=CD：
1
(II)求二面角A-AD-B的平面角的余弦值；
1
(Ⅲ)求点C到平面BDP的距离．
1
20．(本小题共12分)
1
设d为非零实数，a = [C1 d+2C2d2+…+(n—1)Cn-1d n-1+nCndn](n∈N*).
n n n n n
n
(I) 写出a a a 并判断{a}是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
1, 2, 3 n
(II)设b=nda (n∈N*)，求数列{b}的前n项和S．
n n n n
21．(本小题共l2分)
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，
并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
3
(I)当|CD | = 2时，求直线l的方程；
2
(II)当点P异于A、B两点时，求证：OP·OQ 为定值。
22．(本小题共l4分)
第4页 | 共10页2 1
已知函数f(x)= x + , h(x)= x ．
3 2
(I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值；
3 3
(Ⅱ)设a∈R，解关于x的方程log [ f(x-1)- ]=1og h(a-x)一logh (4-x)；
4 2 2
2 4
100 1
(Ⅲ)试比较 f(100)h(100)-åh(k)与 的大小.
6
k=1
2011 四川高考数学(理科)参考答案
参考答案
1．B 2．A 3．B 4． D 5．B 6．C 7． A 8．B 9．C 10．A 11． D
12．B
13．答案：－20
.
14．答案：16
15．答案：2πR2
16．答案：②③
17．解：
(1)∵
7p 3p p p p p
f(x)=sin(x+ -2p)+sin(x- + )=sin(x- )+sin(x- )=2sin(x- )．
4 4 2 4 4 4
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
4
(2)由已知得cosbcosa+sinbsina= ，
5
4
cosbcosa-sinbsina=- .
5
两式相加得2cosβcosα＝0.
π π
∵0<a<b£ ，∴b= .
2 2
π
∴[f(b)]2 -2=4sin2 -2=0.
4
1 1
18．解：(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 ， .
4 4
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
1 1 1 1 1 1 5
P(A)= ´ + ´ + ´ = .
4 2 2 4 4 4 16
5
故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .
16
(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.
第5页 | 共10页1 1 1
P(x=0)= ´ = ；
4 2 8
1 1 1 1 5
P(x=2)= ´ + ´ = ；
4 4 2 2 16
1 1 1 1 1 1 5
P(x=4)= ´ + ´ + ´ = ；
2 4 4 2 4 4 16
1 1 1 1 3
P(x=6)= ´ + ´ = ；
2 4 4 4 16
1 1 1
P(x=8)= ´ = .
4 4 16
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ 0 2 4 6 8
1 5 5 3 1
p
8 16 16 16 16
1 5 5 3 1 7
所以Ex=0´ ＋2´ ＋4´ ＋6´ ＋8´ = .
8 16 16 16 16 2
19．解：法一：(1)连结AB 与BA 交于点O，连结OD.
1 1
∵PB ∥平面BDA ，PB ⊂平面AB P，平面AB P∩平面BDA ＝OD，
1 1 1 1 1 1
∴OD∥PB .
1
又AO＝B O，∴AD＝PD.
1
又AC∥C P，∴CD＝C D.
1 1
(2)过A作AE⊥DA 于点E，连结BE.
1
∵BA⊥CA，BA⊥AA ，且AA ∩AC＝A，
1 1
∴BA⊥平面AA C C.
1 1
由三垂线定理可知BE⊥DA .
1
∴∠BEA为二面角A－A D－B的平面角．
1
1 5
在Rt△A C D中，AD= ( )2 +12 = .
1 1 1 2 2
1 1 5 2 5
又S AAD= ´1´1= ´ ×AE，∴AE = .
V 1 2 2 2 5
2 5 3 5
在Rt△BAE中，BE = 12 +( )2 = ，
5 5
AE 2
∴cosÐBEA= = .
BE 3
2
故二面角A－A D－B的平面角的余弦值为 .
1
3
(3)由题意知，点C到平面B DP的距离是点C到平面DB A的距离，设此距离为h.
1 1
第6页 | 共10页∵VC－DB A＝VB －ACD，
1 1
1 1
∴ S ×h= S ×B A .
3 VDB 1 A 3 VACD 1 1
由已知可得AP= 5，PB = 5，AB = 2 ，
1 1
∴在等腰△AB P中，
1
1 1 3
S = AB AP2 -( AB )2 = .
VAB 1 P 2 1 2 1 2
1 3
∴S = S = .
VDB 1 A 2 VAB 1 P 4
1 1 S ×B A 1
又S = AC×CD= ，∴h= VACD 1 1 = .
VACD 2 4 S 3
VDB
1
A
1
故C到平面B DP的距离等于 .
1
3
法二：如图，以A 为原点，A B ，A C ，A A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空
1 1 1 1 1 1
间直角坐标系A －B C A，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，B(1,0,1)．
1 1 1 1 1 1
(1)设C D＝x，
1
C P C D x
∵AC∥PC ，∴ 1 = 1 = .
1
AC CD 1-x
x
由此可得D(0,1，x)，P(0,1+ ,0)，
1-x
uuur uuuur uuur x
∴AB=(1,0,1)，AD=(0,1,x)，BP=(-1,1+ ,0)．
1 1 1 1-x
设平面BA D的一个法向量为n ＝(a，b，c)，
1 1
uuur
ì ïn ×AB=a+c=0
则í 1 1 ，令c＝－1，则n ＝(1，x，－1)．
uuuur 1
ïî n ×AD=b+cx=0
1 1
∵PB ∥平面BA D，
1 1
uuur x
∴n ×BP=1´(-1)+x×(1+ )+(-1)´0=0.
1 1 1-x
1
由此可得x= ，故CD＝C D.
1
2
1
(2)由(1)知，平面BA D的一个法向量n =(1, ,-1)．
1 1 2
又n ＝(1,0,0)为平面AA D的一个法向量，
2 1
n·n 1 2
∴co〈s n，n〉= 1 2 = = .
1 2 |n ||n | 3 3
1 2 1´
2
第7页 | 共10页2
故二面角A－A D－B的平面角的余弦值为 .
1
3
uuur uuur 1
(3)∵PB =(1,-2,0)，PD=(0,-1, )，
1 2
设平面B DP的一个法向量n ＝(a ，b ，c )，
1 3 1 1 1
uuur
ìn ×PB =a -2b =0
ï 3 1 1 1 1
则í
ïn × u P u D ur =-b + c 1 =0
，令c
1
＝1，可得n
3
=(1,
2
,1)．
î 3 1 2
uuur 1
又DC =(0,0, )．
2
uuur
|DC×n | 1
∴C到平面B DP的距离d = 3 = .
1
|n | 3
3
20．解：(1)由已知可得a ＝d，a ＝d(1＋d)，a ＝d(1＋d)2.
1 2 3
k
当n≥2，k≥1时， Ck =Ck-1.
n n n-1
n k n n-1
因此a =å Ckdk =åCk-1dk =dåCk dk =d(d +1)n-1.
n n n n-1 n-1
k=1 k=1 k=0
由此可见，当d≠－1时，{a }是以d为首项，d＋1为公比的等比数列；
n
当d＝－1时，a ＝－1，a ＝0(n≥2)，此时{a }不是等比数列．
1 n n
(2)由(1)可知，a ＝d(d＋1)n－1，从而b ＝nd2(d＋1)n－1，
n n
S ＝d2[1＋2(d＋1)＋3(d＋1)2＋…＋(n－1)(d－1)n－2＋n(d＋1)n－1]．①
n
当d＝－1时，S ＝d2＝1.
n
当d≠－1时，①式两边同乘d＋1得
(d＋1)S ＝d2[(d＋1)＋2(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－1＋n(d＋1)n]．②
n
①②式相减可得
(d +1n -1
-dS =d2[1+(d +1)+(d +1)2 +×××+(d +1)n-1-n(d +1)n]=d2[ -n(d +1)n]
n d
．
化简即得S ＝(d＋1)n(nd－1)＋1.
n
综上，S ＝(d＋1)n(nd－1)＋1.
n
21．解：(1)因椭圆焦点在y轴上，
y2 x2
设椭圆的标准方程为 + =1 (a>b>0)，
a2 b2
y2
由已知得b＝1，c＝1，所以a= 2，椭圆方程为 +x2 =1.
2
直线l垂直于x轴时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得
(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
设C(x ，y )，D(x ，y )，
1 1 2 2
2k 1
则x＋x =- ，x ×x =- ，
1 2 k2 +2 1 2 k2 +2
2 2(k2 +1)
CD = k2 +1× (x +x )2 -4x x = ，
1 2 1 2 k2 +2
2 2(k2 +1) 3
由已知得 = 2 ，解得k =± 2.
k2 +2 2
第8页 | 共10页所以直线l的方程为y = 2x+1或y =- 2x+1.
(2)证明：直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，
1
所以P点坐标为(- ,0)．
k
设C(x ，y )，D(x ，y )，
1 1 2 2
2k 1
由(1)知x＋x =- ，x ×x =- .
1 2 k2 +2 1 2 k2 +2
y
直线AC的方程为y = 1 (x+1)，直线BD的方程为
x +1
1
y
y = 2 (x-1)，
x -1
2
x+1 y (x +1)
将两直线方程联立，消去y得 = 2 1 .
x-1 y (x -1)
1 2
x+1 y
因为－1＜x ，x ＜1，所以 与 2 异号．
1 2
x-1 y
1
-2k -1
1+ +
x+1 y 2(x +1)2 2-x 2 (x +1)2 (1+x )(1+x ) k2 +2 k2 +2 k-1
( )2 = 2 1 = 2 × 1 = 1 2 = =( )2
x-1 y2(x -1)2 2-x2 (x -1)2 (1-x )(1-x ) -2k -1 k+1
1 2 1 2 1 2 1- +
k2 +2 k2 +2
.
2(1-k)(1+k) 2(1+k)2 k-1
又y y =k2x x +k(x +x )+1= =- × ，
1 2 1 2 1 2 k2 +2 k2 +2 k+1
k-1 x+1 k-1
∴ 与y y 异号， 与 同号，
1 2
k+1 x-1 k+1
x+1 k-1
= ，解得x＝－k.
x-1 k+1
因此Q点坐标为(－k，y )．
0
uuur uuur 1
OP×OQ=(- ,0)×(-k,y )=1.
k 0
uuur uuur
故OP×OQ为定值．
2 1 4 x -3
22．解：(1)由F(x)= f(x)-h(x)= x+ - x (x≥0)知，F¢(x)= ，令
3 2 6 x
9
F′(x)＝0，得x= .
16
9
当xÎ(0, )时，F′(x)＜0；
16
9
当xÎ( ,＋¥)时，F′(x)>0.
16
9
故当xÎ[0, )时，F(x)是减函数；
16
9
当xÎ[ ,＋¥)时，F(x)是增函数．
16
第9页 | 共10页9 9 1
F(x)在x= 处有极小值且F( )= .
16 16 8
(2) 原 方 程 可 化 为 log (x － 1) ＋ log h(4 － x) ＝ log h(a － x) ， 即
4 2 2
1
log (x-1)+log 4-x =log a-x ，
2 2 2 2
ìx-1>0
ï
ï4-x>0
Û í ，
a-x>0
ï
ï î(x-1)(4-x)=a-x
ì1< x<4
ï
Û íx<a .
ï
îa=-(x-3)2 +5
①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3- 5-a ；
②当4＜a＜5时，原方程有x = x =3± 5-a ；
1 2
③当a＝5时，原方程有一解x＝3；
④当a≤1或a>5时，原方程无解．
100 100
(3)由已知得åh(k)=å k .
k=1 k=1
1
设数列{a }的前n项和为S ，且S = f(n)h(n)- (n∈N*)，
n n n 6
从而有a ＝S ＝1，
1 1
4k+3 4k-1
当2≤k≤100时，a =S －S = k - k-1.
k k k－1 6 6
1 1 (4k-3)2k-(4k-3)(k-1)
又a - k = [(4k-3) k -(4k-1) k-1]=
k 6 6 (4k-3) k +(4k-1) k-1
1 1
= >0，
6 (4k-3) k +(4k-1) k-1
即对任意的2≤k≤100，有a > k.
k
100 100
又因为a =1= 1，所以åa >å k .
1 k
k=1 k=1
100 1
故 f(100)h(100)-åh(k)> .
6
k=1
第10页 | 共10页