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湖北省高中名校联盟 届高三第一次联合测评
2026
数学试卷参考答案与详解
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
C A C D B A B D ABD ACD BC
答案
1.【 】C
解析 由题意A B A B 共 个元素 故
【 】 = -2,2 , = -3,-2,-1,0,1,2,3 , ∩ = -2,-1,0,1,2 , 5 ,
选
C.
答案
2.【 】A
z
解析 由 得z 1-i 故选
【 】z =1-i, = =-1-i, A.
+1 i
答案
3.【 】C
解析 变换过程为 fx x π y x π y x 2π 故选
【 】 ()=sin(4 + )⇒ =sin(2 + )⇒ =sin(2 + ) , C.
3 3 3
答案
4.【 】D
a
解析 由复合函数的单调性 得 解得a 故选
【 】 , - ≥2, ≤-4, D.
2
答案
5.【 】B
解析 因为要使得实际位移最短 所以实际速度的方向应该垂直于长江方向 结合向量的平行四边形
【 】 , .
法则 可知船长调整船头方向应该朝向北偏西 可算得实际速度为 故选
, 30°. 23m/s, B.
答案
6.【 】A
x b b
解析fx -2+ 是奇函数f -1 所以b .
【 】()= x +1 a ,(0)=a =0, =1
2 + +2
1 -1
又f f 所以-2+1 -2 +1 所以a .故选
(1)+ (-1)=0, 2 a + 0 a =0, =2 A.
2+ 2+
答案
7.【 】B
【
解析
】
因为OD
⊥
AB
,
且k
OD =
1
,
故AB的方程为y
=-2
x
+5
.
2
y x
联立方程 =-2 +5, 得y2 py p Δ p2 p 恒成立.
+ -5 =0,= +20 >0
y2 px
=2 ,
则y y pyy p.
1+ 2=- ,1 2=-5
y y
所以OA→ OB→ xx yy 5- 1 5- 2 yy 5yy 5y y 25 p 25
· = 1 2+ 1 2= · + 1 2= 1 2- 1+ 2 + =-5 + =5,
2 2 4 4 4 4
所以p 1 故选
= , B.
4
答案
8.【 】D
解析 因为B C 所以A C.
【 】 =2 , =π-3
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1 ( 7 )a b c C C C C
由正弦定理 有b 2sin2 c 2sin 所以b c 2sin2 +2sin .
A= B= C, = C,= C, + = C
sin sin sin sin3 sin3 sin3
因为 C C C C C C C C 2C C C 2C
sin3 =sin(2 + )=sin2cos +cos2sin =sin 2cos +cos2 =sin 4cos -1 ,
C C C
又 C C C C 所以b c 2sin 2cos +1 2 2cos +1 .
2sin2 +2sin =2sin 2cos +1 , + = C 2C = 2C
sin (4cos -1) 4cos -1
C π
0< < ,
2
因为 ABC是锐角三角形 所以 C π
△ , 0<2 < ,
2
C π.
0<π-3 <
2
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2 ( 7 )
所以π C π 所以 C 2 3 .
< < , cos ∈ ,
6 4 2 2
所以b c 2 2 2 即b c的取值范围是 故选
+ = C ∈ , , + 3+1,22+2 , D.
2cos -1 3-1 2-1
答案
9.【 】ABD
解析 当n 时a S S 1 t 1 t 1.
【 】 ≥2 ,n = n - n -1=- n+ - - n -1+ = n
2 2 2
已知a 为等比数列 则a 1a 1t T 1 1 正确 错误
n , 1= ,n = n,=1,n = n(n +1)= n ( n +1),ABD ,C .
2 2
2
2 (2)
答案
10.【 】ACD
解析 由三条侧棱OAOBOC两两垂直 则该模型为 墙角 模型 如图所示 外接球半径R
【 】 , , , “ ” , , =
1 2 2 2 3 正确
3+3+3 = 3,A .
2 2
过P作三个侧面的垂线 连接相应的线段构成如图所示的长方体BCD均可通过该长方体进行计
, , ,,
算 则算得 2 2 2 2 AOP 2 BOP 2 COP 2α 2β
, sin∠1+sin∠2+sin∠3=sin∠ +sin∠ +sin∠ =2,sin +sin +
2γ 即 错误 正确
sin =1 B ,C .
对于 在该长方体中d2 d2 d2 OP2 则OP P点的轨迹为以O为球心 半径为
D, ,1 + 2 + 3 = =5, =5, , 5
的球面被三角形面ABC所截得的圆弧.又d
O - ABC = 3,
则截面圆半径r
=
OP2
-
d2
= 5-3=
.而 ABC内切圆半径为 6 6 因此轨迹为三段圆弧 求得弧长l 正确
2 △ , <2, , =2π,D .
2 2
答案
11.【 】BC
b a
解析 因为ln +2 ln +1 而 x x x
【 】 b = a , ln +1< (>1),
+1
b b b b
所以ln +1 ln +2 ln +2 ln +1.
b 1 , <0, 1,+
所以b a b a 所以b2 a2 b a 所以 正确.
> > > , > > > , BC
.答案 1
12【 】-
2
解析 由λa b ma λ b m
【 】 + = [+(2 -1)]( <0),
λ m
得 = , 解得λ 舍去 或λ 1.
m λ . =1( ) =-
1= (2 -1) 2
x2 y2
.答案
13【 】 + =1
9 4
【 解析 】 设P x , y , M 0, yM , N x N,0 .
由题意 , MP→ =3 MN→ , 则MP→ = x , y - yM =3 MN→ = 3 x N,-3 yM ,
x y
所以x N = , yM =- .
3 2
x2 y2
又 MN
=1=
x2N
+
y2M
,
所以曲线C的方程为
+ =1
.
9 4
.答案 3
14【 】
16
解析 恰有两位同学检查本班课室卫生 也就是有 位同学不检查自己所在班的课室
【 】“ ” 4 ,
记n个同学不检查自己所在班课室卫生的情况总数为a
n,
任意一人可检查的班有n 个 假设此人检查i班 考虑i班的学生代表的选择
-1 , , :
如果i班的学生代表与此人交换检查 那么剩余n 人不检查自己所在班课室卫生 情况总数
, -2 ,
为a
n -2;
如果i班的学生代表不与此人交换检查 那么可以理解为n 人不检查自己所在班课室卫生 情况
, -1 ,
总数为a .所以a n a a n
n -2 n =(-1)(n -1+ n -2),=3,4,…
于是a a a a .
1=0,2=1,3=2,4=9
C2
所以恰有两位同学检查本班课室卫生的概率是 6×9 3.
A6 =
6 16
.解析 根据散点图 可判断两个变量是线性相关. 分
15【 】(1) , …………………………………………… (2 )
12x
i
12
yi
根据题目所给数据 得x i∑ =1 348 y i∑ =1 264
, = = =29,= = =22,
12 12 12 12
n
x iyi nxy
所以r i∑ =1 - 7793-12×29×22 137 . .
= n n = = ≈095
x i2 nx2 yi2 ny2 24×6 144
i∑ - i∑ -
=1 =1
由于r接近于 故相关性较强. 分
1, ………………………………………………………………… (6 )
n
x iyi nxy
因为^b i∑ =1 - 7793-12×29×22 137 . ^a y ^bx 137 .
(2) = n x i2 nx2 = 24 2 = 576 ≈024,=-=22- 576 ×29≈1510,
i∑ -
=1
所以经验回归方程为^y .x . . 分
=024 +1510 ……………………………………………………… (10 )
当x 时^y . . . 即树高的预测值大约为 . . 分
=45 ,=024×45+1510=259, 259m ………………… (13 )
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3 ( 7 ).解
16【 】
因为平面PAD 平面ABCDAB AD 平面PAD 平面ABCD AD
(1) ⊥ , ⊥ , ∩ = ,
AB 平面PAD.
∴ ⊥
AB 平面PAB 平面PAD 平面PAB. 分
∵ ⊂ ,∴ ⊥ ………………………………………………… (6 )
取AD中点O点 连接PO.
(2) ,
PAD是正三角形 PO AD.
∵△ ,∴ ⊥
平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD
∵ ⊥ , ∩ = ,
PO 平面ABCD. 分
∴ ⊥ ……………………………………………………………………………… (8 )
以A为坐标原点AB所在直线为x轴AD所在直线为y轴 过A作PO的平行线为z轴 建立空间
, , , ,
直角坐标系 则A B C D P E .
, (0,0,0), (2,0,0),(2,4,0), (0,4,0), (0,2,23), (1,1,3)
于是AE→ AC→ .
=(1,1,3), =(2,4,0)
设平面EAC的法向量为n xyz
= ,, ,
AE→ n x y z
则 · =0,即 + +3 =0,取z 得n .
AC→ n x y
=1, = -23,3,1
· =0, 2 +4 =0,
又平面ACD的法向量为m . 分
=(0,0,1) ………………………………………………………… (11 )
于是 mn 1.
cos< ,>=
4
设平面EAC与平面ABCD的夹角为θ则 θ mn 1.
, cos= cos< ,>=
4
所以平面EAC与平面ABCD夹角的余弦值为1. 分
…………………………………………… (15 )
4
常规方法 酌情给分
( , )
.解
17【 】
x x x
由题意fx π π 2π 1 x 1 x
(1) =sin ·cos -sin = sinπ - 1-cosπ
2 2 2 2 2
1 x x 1 2 x π 1. 分
= sinπ +cosπ - = sinπ + - …………………………… (3 )
2 2 2 4 2
由fx 得 x π 2.
=0, sinπ + =
4 2
所以 x π k π或 x π k 3πk Z.
π + =2π+ π + =2π+ ,∈
4 4 4 4
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4 ( 7 )即x k或x k 1k Z 取其中的正数构成递增数列a
=2 =2 + ,∈ , n ,
2
知a 的前 项为1 5 9 . 分
n 6 ,2, ,4, ,6 ……………………………………………………………… (7 )
2 2 2
(2) 由 (1) 知b n =2 n , 所以c n = -1 n ·2 n · 2 2 n -2 = n ·(-2) n.
所以S n =1×(-2)+2×(-2) 2 +3×(-2) 3 +…+ n ·(-2) n. ①
-2 S n =1×(-2) 2 +2×(-2) 3 +3×(-2) 4 +…+( n -1)·(-2) n + n ·(-2) n +1. ②
①-②, 得 3 S n =-2+(-2) 2 +(-2) 3 +…+(-2) n - n ·(-2) n +1
n
-2 1- -2 n n +1
= - ·(-2)
1-(-2)
2 n 1 n +1.
=- - + · -2
3 3
n
所以S
n =-
2
-
3 +1
· -2
n +1.
……………………………………………………………… (15
分
)
9 9
.解
18【 】
c
因为离心率e 所以c2 a2 而c2 a2 b2 所以b2 a2.
(1) =a=5, =5 , = + , =4
x2 y2
所以双曲线的方程为 .
a2-a2=1
4
将点 代入双曲线方程 得2 4 所以a2 b2 .
2,2 ,a2-a2=1, =1, =4
4
y2
所以C的方程为x2 . 分
- =1 ……………………………………………………………………… (4 )
4
直线MN过定点 . 分
(2)(ⅰ) 2,0 ………………………………………………………………… (5 )
由双曲线C的方程可知A B 设Mx y Nx y .
(-1,0), (1,0), 1,1 , 2,2
方法一 由OQ→ OP→ 可设P t Q t 则直线AM 即AP 的方程为y tx .
: =3 , 0, , 0,3 , ( ) = (+1)
y tx
= (+1),
联立
y2
x2
- =1,
4
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5 ( 7 )
整理得 t2x2 t2x t2 .由题设知 t2 且Δ .
4- -2 - -4=0 4- ≠0, =64>0
t2 t2
由韦达定理 得 x - -4 所以x +4.
, -1 · 1= t2 , 1= t2
4- 4-
t2 t t2 t
所以y t +4 8 即M +4 8 . 分
1= ( t2+1)= t2 , t2 , t2 …………………………………………… (7 )
4- 4- 4- 4-
又直线BN 即BQ 的方程为y tx
( ) =-3(-1),
t2 t
同理可得N9 +4 -24 . 分
t2 ,t2 …………………………………………………………………… (8 )
9 -49 -4
t t
当x x 时y y 即 8 -24
1= 2 ,1=- 2, t2=t2 ,
4- 9 -4
解得t2 4x x .
= ,1= 2=2
3
t t
-24 8
y y t2 - t2 t
当x x 时 直线MN的斜率k 2- 1 9 -4 4- 8 分
1≠ 2 , MN =x x= t2 t2 =- t2 ,……………… (10 )
2- 1 9 +4 +4 4-3
t2 - t2
9 -4 4-t t t2
直线MN的方程为y 8 8 x +4
- t2=- t2(- t2) ,
4- 4-3 4-
t
化简整理得y 8 x .
=- t2 (-2)
4-3
所以直线MN过定点 . 分
2,0 …………………………………………………………………… (11 )
y2
x2
方法二
:
设直线MN的方程为x
=
my
+
n
,
联立
-
4
=1,
x my n
= + ,
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6 ( 7 )
整理得 m2 y2 mny n2 .
4 -1 +8 +4 -4=0
mn n2
则y y 8 yy 4 -4.
1+ 2=- m2 ,1 2= m2
4 -1 4 -1
所以 n2 y y mnyy. 分
1- 1+ 2 =2 1 2 ……………………………………………………………… (7 )
y y
直线AMy 1 x .令x 得P 1 .
:=x (+1) =0, 0,x
1+1 1+1
y y
直线BNy 2 x .令x 得Q - 2 . 分
:=x (-1) =0, 0,x ………………………………………… (8 )
2-1 2-1
y y
由OQ→ OP→ 得 - 2 31
=3 ,x =x ,
2-1 1+1
即y x y x 所以y my n y my n
2 1+1 +31 2-1 =0, 2 1+ +1 +31 2+ -1 =0,
即 myy n y n y . 分
4 1 2+ +1 2+3 -1 1=0 ………………………………………………………… (9 )
因为 n2 y y mnyy
1- 1+ 2 =2 1 2,
所以 n2 y y nn y nn y .
2 1- 1+ 2 + +1 2+3 -1 1=0
整理可得n n y n n y .
-1 -2 1- -2 +1 2=0
所以n 所以直线MN过定点T . 分
=2, 2,0 ……………………………………………………… (11 )
由 知 直线MN过定点T
(ii) (i) , 2,0 ,
则S S 1 AT BT y y 1 y y y y .
1- 2= - 1- 2 = × 3-1 1- 2 = 1- 2
2 2
m
由 知y y 16 yy 12 . 分
(i) 1+ 2=- m2 ,1 2= m2 …………………………………………………… (13 )
4 -1 4 -1
所以S S y y y y 2 yy 4
m2
+3 .
1- 2= 1- 2 = 1+ 2 -41 2=4 m2 2
4 -1
又点M N在双曲线C的右支上C的渐近线方程为x 1y
, , =± ,
2
所以 1 m 1. 分
- < < ………………………………………………………………………………… (15 )
2 2
u
令u m2 则u 于是 S S fu 4 . 分
=4 +3, ∈[3,4), 1- 2 = =4 u 2= ………… (16 )
-4 u 16
+u-8
因为fu 在 单调递增 所以 当u 即m 时 S S 取得最小值 .
[3,4) , , =3, =0 , 1- 2 43
所以S S 的取值范围是 . 分
1- 2 [43,+∞) ……………………………………………………… (17 ).解
19【 】
a
由fx x a x 得f'x x .
(1) ()=sin - ln +1 , ()=cos -x
+1
由题意f' a 得a . 分
(0)=1- =0, =1 ………………………………………………………………… (3 )
由fx x x x 得f'x x 1 .
(2) ()=sin -ln(+1)(0≤ ≤1), ()=cos -x
+1
设gx x 1 x 则g'x 1 x.
()=cos -x (0≤ ≤1), ()=x 2-sin
+1 (+1)
则g'x 在 单调递减g' g' 1
() [0,1] , (0)=1>0, (1)= -sin1<0,
4
所以存在唯一零点x 使得g'x .
0∈(0,1), (0)=0
得f'x 在 x 单调递增 在x 单调递减. 分
() (0,0) , (0,1) ……………………………………………… (7 )
π
又f' 1 1 f'
(1)=- +cos1>- +cos =0, (0)=0,
2 2 3
所以f'x 在 上恒成立 所以fx 在 上单调递增.
()>0 (0,1) , () [0,1]
所以fx f 即fx 的最小值为 . 分
()min= 0 =0, () 0 ………………………………………………… (9 )
因为 sin x x x2 bx b Z 对 x 恒成立
(3) e -ln + - -1>0 ∈ ∀ ∈(0,1] ,
令x 则 sin1 b由 知 所以 ln2 sin1 1 .
=1, e > , (2) sin1>ln2, 2=e 0 ∀ ∈(0,1] …………… (13 )
由 知 x x 则 sin x x
(2) sin >ln(+1), e > +1,
于是hx x x2 x x x2 x x.
()> +1+ -2 -1-ln = - -ln
x x
设Gx x2 x xx 则G'x x 1 (2 +1)(-1)
()= - -ln ,∈(0,1], ()=2 -1-x= x ≤0,
所以Gx 在 上单调递减.
() (0,1]
所以Gx G 所以hx 在 上恒成立b 满足题意.
()≥ (1)=0, ()>0 (0,1] ,=2
综上所述 整数b的最大值为 . 分
, 2 ………………………………………………………………… (17 )
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