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2023级高三学年上学期九月份月考 数 的取值范围是（ ）
数 学 试 题
A． B． C． D．
考试时间：120分钟 分值：150分
8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，
有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知复数 ，则 的虚部是（ ） 已知 ，P为弧AC（含端点）上的一点，则 的范围为（ ）
A． B． C． D． A． B．
2．已知 ， ：“ ”， ：“ ”，则 是 的
C． D．
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知 ，则
3． 的展开式中 的系数为15，则 （ ）
A．函数 的最小正周期为
A．7 B．6 C．5 D．4
4．函数 的单调递减区间是（ ）
B．将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称
A． B． C． D．
C．函数 在区间 上单调递减
5．已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
D．若 ，则
A．9 B．12 C．18 D．24
10．已知等边 的边长为4，点D，E满足 ， ， 与CD交于点 ，则
6．已知平面内的向量 在向量 上的投影向量为 ，且 ，则 的值为（ ）
（ ）
A． B．1 C． D．
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，其中e是自然对数的底数.若 ，则实
11． 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 ，，下列选项正确的是
16．已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线；
A．
B．若 ，则 只有一解
(2)讨论 的单调性；
C．若 为锐角三角形，则 取值范围是
17．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差
D．若 为 边上的中点，则 的最大值为 （零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：
54 58 60 63 64
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 ）
12．已知锐角 满足 ，则 =_______
件数（单位：件） 5 25 45 20 5
13．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面
(1)求样本质量差的平均数 ；假设零件的质量差 ，其中 ，用 作为 的近似
都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一
个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经
证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､ 值，求 的值；
正十二面体､正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件
外接球与内切球的表面积的比为 ．
数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是
相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
14．已知函数 ， 在区间 上单调，且满足 ，若函数
（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写 参考数据：若随机变量 ，则 ，
出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 ． 在 三 角 形 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 已 知
，
．
18．已知函数 ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
（Ⅰ）求角 的大小；
一个作为已知，使函数 存在且唯一确定．
（Ⅱ）若 且 ，求 的取值范围．
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若不等式 在区间 内有解，求 的取值范围．
条件①： ；
条件②： 的图象可由 的图象平移得到；
条件③： 在区间 内无极值点，且 ．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
19．已知函数 在定义域内存在实数 和非零实数 ，使得 成立，
则称函数 为 “伴和函数”.
(1)判断是否存在实数 ，使得函数 为 “伴和函数”？若存在，请求出 的范围；若不
存在，请说明理由；
(2)证明：函数 在 上为“ 伴和函数”；
(3)若函数 在 上为“ 伴和函数”，求实数 的取值范围.
