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2023级高三学年上学期九月份月考
数学答案
一、选择题（1-8每小题5分，9-11每小题6分共58分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B B C D A C A ACD ABD ABD
二、填空题（每小题5分，共15分）
12. 13. 3:1 14.
三、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）解：（Ⅰ）由正弦定理， ，即 ，
由余弦定理， ，
又 ， ．
（Ⅱ）因为 ，且 ，由正弦定理得 ，得 ， ，
可得 ，
， ， ，
16．（15分）解：（1）当 时，函数 ，则 ，切点坐标为 ，
，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所求切线方程为 ，即 .
（2） ，函数定义域为R，
，① ， 解得 或 ， 解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
② ， 解得 或 ， 解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
③ ， 恒成立， 在 上单调递增.
综上，当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增.
17．（15分）解：（1）由题意可知: ，
则 ，
所以
（2）（i）设事件 表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
事件 表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
事件 表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则 ， ， ， ，
所以 ；
（ii）因为 ，所以 ，所以
．18．（17分）解：因为 ，所以 ，
选择条件①： ，则 ，即 ，
此时 不唯一，不符合题意；
选择条件②： 的图象可由 的图象平移得到，
因为 的图象可由 的图象平移得到，所以 的最小正周期为 ，
因为 ，所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
因为 ，所以 ，
因为不等式 在区间 内有解，即 在区间 内有解，
所以 ，即 ，所以 的取值范围是 ；
选择条件③： 在区间 内无极值点，且 ；
（Ⅰ）因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 分别在 ， 时取得最大值、最小值，
所以 的最小正周期 ，
因为 在区间 内无极值点，
所以 的最小正周期 ，
所以 ．因为 ，所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
因为 ，所以 ，
因为不等式 在区间 内有解，
即 在区间 内有解，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围是 ．
19．（17分）（1）解：不存在，理由如下：若 ，则 ，
整理得 ，因为 ，该方程无解，
所以，不存在实数 使得函数 为“ 伴和函数”.
（2）证明：由 ，得 ，整理得
，
设 因为 在 内连续不断，且 ， ，则
，
所以， 在 内存在零点，所以， 在 内存在零点，
即方程 在 内存在实根，故函数 在 上为“ 伴和函数”.
（3）解：若函数 在 上为“ 伴和函数”，则 ，即 ，整理得 ，
令 ，则 ，所以， .
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以， ，所以， ，
即 ，所以，实数 的取值范围为 .
