2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学文科
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分
150分。
试卷总评：总体来说2012湖南文科数学试题相对于2010，2011维持的稳定的命题趋势，
试题注重层次叠进，沿用了2011的命题思路，文理同题，注重了对文理科考试内容和层次
差别的处理。选择题、填空题的布局合理，注重对考生基础知识，基本技能的全面考查，为
学生的能力考查提供了一个良好的环境。总体来说，试卷有利于课改，有利于中学教学，
有利于高校选拔人才。
一选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的。
1. 设集合M ={-1,0,1}，N ={x|x2 = x}，则MÇN= （ ）
A.{-1,0,1} B. {0,1} C. {1} D. {0}
2. 复数z =i(i+1)（i为虚数单位）的共轭复数是 （ ）
A.- 1- i B.- 1+ i C.1- i D.1+ i
第1页 | 共12页4. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
5. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据
一组样本数据(x,y ) (i =1,2, ,n)，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，
i i L
则下列结论不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(x,y)
C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
x2 y2
6. 已知双曲线C: - =1的焦距为10，点P(2,1)在的渐近线上，则C的方程为（ ）
a2 b2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A． - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
20 5 5 20 80 20 20 80
7. 设a> b> 1，c< 0，给出下列三个结论：
c c
① > ；②ac< bc；③log (a- c)> log (b- c).
a b b a
第2页 | 共12页其中所有的正确结论的序号是（ ）
A.① B. ①② C. ②③ D.①②③
8. 在DABC中，AC= 7，BC= 2，B= 60o，则BC边上的高等于 （ ）
3 3 3 3+ 6 3+ 39
A. B. c. D.
2 2 2 4
9. 设定义在R上的函数 f(x)是最小正周期为2p的偶函数，f¢(x)是f(x)的导函数，
[来源:学科网]
p p
当xÎ[0,p]时，0< f(x)<1；当xÎ(0,p)且x¹ 时，(x- )f '(x)>0.
2 2
则函数y = f(x)-sinx在[-2p,2p]上的零点个数为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 8
第3页 | 共12页二填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题
卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第10、11二题中任选一题作答，如果全做，则按第一题记分）
10. 在极坐标系中，曲线C :r( 2cosq+sinq)=1与曲线C :r=a(a>0)的一个交点在
1 2
极轴上，则a= .
11. 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为
29oC: 63oC，精确度要求±1oC.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要
的最少试验次数为 .
二、必做题（12~16题）
12．不等式x2 - 5x+ 6£ 0的解集为 。
13．图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五
场比赛中得分的方差为 .
1
(注：方差s2 = [(x - x)2 + (x - x)2 + L + (x - x)2]，
n 1 2 n
其中x为x,x,L ,x 的平均数）
1 2 n
第4页 | 共12页34
【答案】
5
8+9+10+13+15
【解析】由茎叶图的数据可知，样本平均数为x= =11，再由方差公式
5
1 34
可得s2 = [(8-11)2 +(9-11)2 +(10-11)2 +(13-11)2 +(15-11)2] = .
5 5
【考点定位】茎叶图和方差.
14．如果执行如图3所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i= .
15．如图4，在平行四边形ABCD中，AP^ BD，垂足为P，且AP= 3，则
uuur uuur
AP×AC = .
第5页 | 共12页16．对于nÎ N*，将n表示为n= a´ 2k+ a ´ 2k-1 + L + a´ 21 + a´ 20，当
k k-1 1 0
i= k时， a = 1，当0£ i£ k- 1时，a为0或1.定义b如下：在n的上述表示中，
i i n
当a,a,aL ,a中等于1的个数为奇数时，b = 1；否则b = 0.
0 1 2 k n n
(1)b +b +b +b = ;
2 4 6 8
(2)记c 为数列{b }中第m个为0的项与第m+ 1个为0的项之间的项数，则c 的
m n m
最大值是 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
[来源:Z#xx#k.Com]
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市
购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
第6页 | 共12页一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上
顾客数（人） x 30 25 y 10
[来源:学科网]
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
p
18. 已知函数 f(x)= Asin(wx+j)(xÎR,w>0,0<j< )的
2
部分图象如图5所示，
（1）求函数 f(x)的解析式；
p p
（2）求函数g(x)= f(x- )- f(x+ )的单调递增区间.
12 12
第7页 | 共12页1 3 p
=2sin2x-2( sin2x+ cos2x)=sin2x- 3cos2x=2sin(2x- ).
2 2 3
p p p p 5p
由2kp- £2x- £2kp+ ，得kp- £ x£kp+ ,kÎZ .
2 3 2 12 12
p 5p
所以函数g(x)的单调递增区间是[kp- ,kp+ ],kÎZ .
12 12
【考点定位】三角函数的图像与性质.
[来源:Z+xx+k.Com]
19. (本小题满分12分)
如图6，在四棱锥P- ABCD中，PA^ 平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，
AD//BC，AC^ BD.
(1)证明：BD^ PC；
（2）若AD= 4,BC= 2，直线PD与平面PAC所成的角为30o，求四棱锥P- ABCD
的体积.
第8页 | 共12页20. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，
将其投入生产，到当年年底资金增长了50%. 预计以后每年资金年增长率与第一年
的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部
投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a 万元.
n
(1)用d表示a,a，并写出a 与a 的关系式；
1 2 n+1 n
（2）若公司希望经过m(m³ 3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每
年上交资金d的值（用m表示）.
【解析】（I）由题意得a =2000(1+50%)-d =3000-d ，
1
3 5
a =a (1+50%)-d = a -d =4500- d ，
2 1 2 1 2
3
a =a (1+50%)-d = a -d.
n+1 n 2 n
（II）由（I）得
3 3 3 3 3
a = a -d = ( a -d)-d =( )2a - d -d =
n 2 n-1 2 2 n-2 2 n-2 2 L
第9页 | 共12页1
21.(本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆E
2
的一个焦点为圆 C:x2 + y2 - 4x+ 2= 0的圆心.
(1)求椭圆E的方程；
1
（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为 的直线l,l.当直线l,l都与圆C相
2 1 2 1 2
切时，求P的坐标.
第10页 | 共12页22. （本小题满分13分）
已知函数 f(x)=ex -ax，其中a>0.
(Ⅰ)若对一切xÎR, f(x)³1恒成立，求a的取值集合；
（Ⅱ）在函数f(x)的图象上取定两点A(x , f(x )),B(x , f(x ))(x < x )，记直线AB的
1 1 2 2 1 2
斜率为k，证明：存在x Î(x ,x )，使 f '(x )=k成立.
0 1 2 0
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