文档内容
追根溯源 突破瓶颈
——2024年数学学科复习备考的思考
陕西延安中学 蔺治萍教育部关于做好普通高校招生工作的通知
2021 2022 2023
8.持续深化考试内容改革。高考
9.深化考试内容改革。
7.深化考试内容改革。2022年高
命题坚持以习近平新时代中国特色
2021年高考价命题值要引坚持领、
考命
素
题坚
养
持
导
以习
向
近平
、
新时
能
代中
力
国
为
特
重、知识为基
社会主义思想为指导，全面贯彻党
立德树人，加强对学生 色社会主义思想为指导，贯彻党的
的教育方针，落实立德树人根本任
德智体美劳全面发展的 教育方针，落实立德树人根本任务，
充分发挥高考命题的育人功能和积 务，服务人才培养质量提升和现代
考查和引导。要优化情
变中求稳 稳中有进 稳中求进
极导向作用，构建引导学生德智体 化建设人才选拔，引导学生德智体
境设计，增强试题开放
美劳全面发展的考试内容体系。依 美劳全面发展。高考命题体现基础
性、灵活性，充分发挥
据高校人才选拔要求和国家课程标
性、综合性、应用性和创新性，注
高考命题的育人功能和
准，优化试题呈现方式，加强对关
重考查关键能力、学科素养和思维
积极导向作用，引导减
键能力和学科素养的考查，引导减
品质，注重考查学生对所学知识的
少死记硬背和“机械刷
少死记硬背和“机械刷题”现象。
融会贯通和灵活运用。
题”现象。2024年高考命题预测
1.以高考评价体系为指南；
2.以“三线和任务”为框架，深刻理解“无价值，
不入题” “无思维，不命题” “无情境，不成题”
“无任务，不出题”命题思想；
3.坚持稳中求进，加大试题区分度，增强高考选拔
功能；
4.有效引导教学，打破以纲定考，强化以考促教
5.授人以鱼不如授人以渔。
三线：核心价值金线，能力素养银线，情境载体串联线近年高考命题特点
重能
力
重综
高考强调 重情
合
境
基础扎实
高考命
融会贯通
重创
题特征
重基
学以致用
新
础
创新意识
反押
破套
创新思维
题
路目
目
录
录 追根溯源
精选专题
明方向
破瓶颈追根溯源
明方向高考命题的几点体会
原创
1.考纲 是命题的唯一依据
（课标+高考评价体系）
（体现国家育人目标）
2.教材是命题的唯一参考
（贴紧）
3.试题完全原创
（不猜题押题）
4.高考试题题根：
高中教材、经典问题、数学史话、
往年高考真题、大学教材等
（溯源）
5.试题命制、排序有随机性
(反押题）
6.压轴试题高观点的命题构想
（创新人才）
7.重情境、重思维
（解题转向解决问题）1. 选课本原题或变式题
题目生长点：教材中的经典问题
课本题:
2011年陕西
原题、仿编 高考数学
课本原题
类题、生成
变题、合成
2012年陕西高考数学:三垂线定理
题、改变设
问的方向、
引进讨论参
改编题
数、设置隐
含条件2
已
斜
2
设
的
（
0
0
第
1
知
率
第
1
O
垂
1
（
于
9
7
）
年
点
之
（
（
限
1
年
为
线
求
2 ）
O
问 1
全
A
积
） 1
2
，
（
（
问
全
坐
，
点
设
Q
来
国 卷
− ， ( 2 , 0 )
1
为 −
2
求 C
） 过 坐
⊥ P E
） 证 明 i
） 求 i i
来 自 人
国 卷
标 原 点
垂 足 为
P 的
Q 点
的 直 线
自 人
2 理 科
B ( 2 ,
记 . M
的 方 程
标 原
轴 ， x
△ ：
△ P Q
教 A
2 文 理
， 动
N ，
轨 迹 方
在 直 线
C l 过
教 版 A
2
， 0 )
的
，
点
垂
P
G
版
科
点
点
程
x
的
教
1 题
动
轨
并
的
足
Q
面
教
2
M
P
；
左
材
迹
直
G
材
0
点 M
为 曲
说 明
线 交
为 ， E
是 直
积 的 最
4 1
题
在 椭
满 足
3 上
焦 点
页 4 1
( x , y
线
是 C
C
连
角
大
页 例
C 圆
u u u r
N P
， 且
. F
例
)
C
于
结
三
值
2
满
什
3
：
uO
.
角
足 直
么 曲
， P Q
并 Q E
形 ；
.
，
2 x
2
u u
2 N
u ur u u
P P
线
线
uM
uQ
两
延
y
u r
r
A
；
点
长
2
.
M
1
，
交
1
.
与
证
点
上
C
B
，
明
P
于
M
：
在
点
过
的
过
第
M
G
点
一
.
做
P
象
x
且
轴
垂 直
课本中的经典题改编
伸缩变换
逆命题也成立
第三定义（
坐
（
若
2
标
(
Ⅱ
能
Ⅰ
0 1
轴
）
，
)
5
证
，
若
求
全
明
国
l
l
此
与
：
过
时
卷
C
直
点
Ⅱ
l
有
线
(
的
理
m
3
两
O
斜
,
2
个
M
m
率
0 ）
交
的
) ，
，
已
点
斜
延
若 不
知
A
率
长
能
椭
，
与
线
，
圆
B
l
段
的
说
C
，
O
斜
明
:
线
M
9
率
理
x
段
与
2
的
由
A
C
乘
。
B
y
交
积
2
的
于
为
中
m
定
点
点
2
值
P
( m
为
；
，
M
四
0
．
边
) ,
形
直
O
线
A
l
P
不
B
过
能
原
否
点
为
O
平
且
行
不
四
平
边
行
形
于
？
课本经典题的改编
2
2 b
b
k k
k k
BA BC 2 OM AB a 2 C
a
第三定义逆命题 类比：周角定理及垂径定理2
y
A
0
轴
．
2 2
对
全
2
称
3
k
甲
．
A
理
Q
若
1
直
0
k
．
线
B
椭
Q
A
B
圆
P
．
C
, A
:
Q
2
2
x
a
1
4
2
2
的
斜
y
b
率
2
2
之
C
b
a
1
积
(
．
2
2
a
为
1
2
1
4
b
，
0
则
) 的
C
左
的
D
顶
离
．
点
心
1
3
为
率 为
A ，
（
点 P ，
）
Q 均 在 C 上 ， 且 关 于
课本中的经典题改编
变式课本经典题的改编
C
B
A
E D
包络线
第 1 问源自：《人教 A·选修 2－1》P49 习题 2.2A 组第 7 题)
如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上
任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当
点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是什么？为什么？
Q O
E
A
Q
A
E B
r
r2
O
A
0
.
2
D
0
全
1
4
O
,
3
0
E
理
，
5 .
则
设
C
O
的
为
焦
坐
点
标
坐
原
B
标
点
.
为
，
1
2
（
直
, 0
线
x
）
2 与 抛 物 线 C
C
：
. ( 1
y
,
2
0
)
2 p x ( p 0 ) 交 于
D .
D
(
，
2 , 0
E
)
两 点 ， 若
课本中的经典题改编
逆命题也成立
内接直角三角形斜边
过定点2,从往年高考经典真题中变出新试题
题目生长点：切线最短
高考试题题源：高
中教材、经典问题、
命题构想：推陈出新
数学史、往年高考真
题、竞赛试题、大学
教材。通过对往年高
考真题等价变换，改
头换面，推陈出新，
成为新试题。从往年高考经典真题中变出新试题
题目生长点：圆锥曲线内接直角三角形
定点问题新（2020 新高考 1 卷）22.已知椭圆 C：
x
a
2
2
y
b
2
2
1 ( a b 0 ) 的离心率为
2
2
从往年高考经典真题中变出新试题
，且过点 A（2，1）．
（1）求 C的方程：
（2）点 M，N在 C上，且 AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值．b2x
k 0
a2 y
0
k
b
a
2
2
x
y
0
0
从往年高考经典真题中变出新试题
题目生长点：圆锥曲线共轭弦性质
类比与推广
双曲线
椭圆从往年高考经典真题中变出新试题从往年高考经典真题中变出新试题
原
题
新
题
伴侣点 角分线（斜率和为0）
F,M是伴侣点
( m , 0 )
( m , 0 )
题目生长点：圆锥曲线伴侣点
伴侣点
y2 8x
类比与推广
a2
F(c,0),M(n,0) n
c从往年高考经典真题中变出新试题
题目生长点：彭赛列闭合定理
原题
设而不求 直线同构
B C x 轴2 p 1
定点（2p, 0)
2
点
(
(
关
0
1
2
2
，
)
)
系
1
求
设
且
，
全
抛
A
并
甲
O
1
P
物
,
⊥
A
说
2
线
2
0
O
, A
明
. 抛
Q .
C ,
是
3
理
已
圆
物
由
C
知
线
M
。
上
点
的
C
的
方
的
M (
三
程
顶
2 ,
个
0
点
)
点
,
为
且
，
坐
圆
直
标
线
M
原
与
A
点
1
A
l
2
,
O
相
A
，
1
切
A
焦
3
.
均
点
与
在
圆
x
M
轴
x
相
上
切
，
2
，
直
2
判
线
断
l
y
直
：
2
线
x
= 1
A
1
2
交
A
3
与
C
圆
于
M
P ，
的
Ω
位
两
置
从往年高考经典真题中变出新试题
新题
设而
不求
同构
彭赛列闭合定理
（ x
1
, y
1
)
（x , y )
2 2
（x , y )
3 33.用排除法寻找原创空间
命题构想：增加干扰曲线
在命制某一类问
题时，若要使命
制的试题在题材
2015陕西
和内容上具有—
定的新意，必须
对该类问题做一
梳理，目的是为
找出从未考过的
平面解析几何创新：
题材和内容，进
一是载体曲线的变化
而寻找新的命题
二是经典名题的背景
空间 。用排除法寻找原创空间
经典名题：阿基米德三角形
角分线
D
定点用排除法寻找原创空间
面积最值
高考中阿基米德三角形：2005江西、2006全2、
2007江苏、2008山东、2013广东、2019全3
文理、2021全国乙卷
极点极线用排除法寻找原创空间
极点极线
P
P
M
P
P
配极原理：
Q
若P关于二次曲线c的极线过M，则M
自极三角形
关于该二次曲的极线过P。用排除法寻找原创空间
逆命题成立
N
H
S B
T
2 1 1
A
M
P是极点，AB是极线，则P,M ,S, N成调和点列，
PS PM PN
P
AP,AM,AS,AN是调和线束 MH平行AP交AN,AB,AM与H,T,M，则T是MH的中点
平面内若一条直线与调和线束中的其中一条平行且与其余三条相交，则相交线段被平分用排除法寻找原创空间
自极三角形
M
x
9
的
2
极
y
线
2
：
x
1
0
9
x
0 y 1 ， 且 过 点 P ( 6 , m )
题目生长点：配极原理
M
N
3 3
所以x ,CD恒过（ ，0）
0
2 2用排除法寻找原创空间
2023年全
国新2卷
4gx 0gy
1， x 1
4 9
配极秒杀
X=-1用排除法寻找原创空间
题目生长点：极点极线定理
y
N
O x
B
C
T
M
H
P
A
P,M,C,N是调和点列
P与AB是极点极线用排除法寻找原创空间
2023年全
国乙卷
（理）
H
C
平面内若一条直线与调和线束中的其中一条
平行且与其余三条相交，则相交线段被平分4. 从高等背景中编拟原创题从高等背景中编拟原创题
x 1从高等背景中编拟原创题
高观点：泰勒展式
高等方法：泰勒展式
初等方法：构造函数
起点高
落点低
2
A
0
.
2 1
a
全
乙
b
1 2
c
. 设 a 2 l n 1 . 0
B
1
.
，
b
b
c
l n
a
1 . 0 2 ， c 1 . 0
C
4
.
b
1
．
a
则
（
c
）
D . c a b从高等背景中编拟原创题
题目生长点：泰勒展式，弦切不等式
2022全甲
理12题从高等背景中编拟原创题
端点效应
微场景分析
（先必要后充分）
2
（
（
0
F
2
1
2
0
）
）
( x
全
当
当
)
国
a
x
=
≥
e
1
1
0
x
理
时
时
a
2
，
，
x
1 .
讨
f
2
已
（
论
知
x
x
）
函
f （
≥
1
2
数
x
1
2
）
x
f
x
3
(
的
3 +
x
单
1
1
)
，
,
调
x
求
e
性
x
0
a
；
的
a x
取
2
值
x
范
.
围 .
1 1 1
a 时，ex 1 x x2 x3
2 2 2
a
7
4
e 2
泰勒展式
而
所
F
以
( 0
F
)
( 0
0
)
,
所
0
以
，
F
有
(
a
0
)
0
1
2
, 而
.
F ( 0 ) 0 ，从高等背景中编拟原创题
构建函数生长点：
重要不等式从高等背景中编拟原创题
当 x 1 时 ， l n x
1
2
( x
1
x
)
1.确定一个放缩不等式
2.设定一个函数
当 x 1 时 ， f ( x ) = 2 l n x x
1
x
当x 1时，f(x)=2xln x x2 1
当
含
x
参
：
1 时
当
，
x
f
(
1
x
时
) =
，
x e
f
1
x
( x
)
e
=
x
x
2 x l n x a x 2 1
3.考查一个问题
题
题
目
目
1
2
.
.
求
求
证
证
：
：
当
当
x
x
1
1
时
时
，
，
2
x e
l n
1
x
x
e
x
x
x
0
1
x
0
（1）证明一个不等式
（2）不等式恒成立问题
题目：当x 1时，2xln xax2 1 0恒成立，求a 的取值范围.
（3）拐点偏移问题
题
求
目
证
：
：
已
x
1
知
x
f
2
(
x )
2
=
.
2 l n x x
1
x
, 若 存 在 x
1
, x
2
满 足 f ( x
1
) f ( x
2
) 0 .从高等背景中编拟原创题
l n x x 1 , l n x x 1 0
确定一个不等式
设定一个函数
考查一个问题
e l n x
g
( l
l
l
n
n
n
x
g
x
x
)
(
x )
e
x
g
l n
(
a
l
e
1
n
x
x
a
1
l
n
x
x
l
a
n
a
1 )
x 15.利用图像，形成原创题的命题构想
函数原创
题来源
1.高等背景
2.载体函数
3.图像背景
1 x
x 1 ln x
e ex
e x 1 ( x 1 l n x ) e x 1利用图像，形成原创题的命题构想
1.图像的位置关系（一曲、两曲、一斜一曲、一平一曲）
2.图像的凸凹（二阶导，上切线、下切线）
二次、三次、指数、对数
3.图像增长的快慢、趋势利用图像，形成原创题的命题构想
题目生长点：指数函数与幂函数图像变化
2013陕西
x 2
e mx
m
e
x
x
2利用图像，形成原创题的命题构想
推广利用图像，形成原创题的命题构想
x
e
a
x 2
a
e
x
x
2利用图像，形成原创题的命题构想
转化：指对互化
一平一曲
a
x
x
a
指对函数相互依存相互转化
a 1
x
a
1
a
x
指数找基友
a 1
对数单身狗
（
（
2
1
2
0
）
）
1 7
讨
若
全
论
f
1
(
f
x
理
(
)
x
有
2
)
1
的
两
. （
单
个
1
调
零
2 分
性
点
）
；
，
已
求
知
a
函
的
数
取 值
（f
范
x )
围
.
a e 2 x + ( a ﹣ 2 ) e x ﹣ x .（
（
( 2
1
2
0
）
）
1 2
证
设
陕
明
x
西
n
是
：
理
f
f
n
2
n
(
(
1
x
x
)
)
)
设
在
在
函
（
区
数
间
1
2
,
f
1
（
n
(
）
x
1
2
)
内
,
=
1
的
）
x n
零
内
+ x
点
存
-
，
1
在
判
唯
( n
断
一
∈
数
的
N
+
列
零
, n
x
点
2
,
2
；
x
)
3
, . . . , x
n
, . . . 的 增 减 性 .
利用图像，形成原创题的命题构想
x
n
1 x
题目生长点：
幂函数图像特征
f (x ) f (x ) f (x )
n n1 n1 n1 n n利用图像，形成原创题的命题构想
（ 2 0
e
g
1
x
3
新
m
x
课
+
标
1 ，
l
2
n
）
x
m
f
+
x
1
x
l
e
n
的
x
(
x
单
l n
+
调
2
x
)
性
m
l
n
，
(
当
x
m
+
2
m
时
)
， 这 么 f ( x ) > 0 .
题目生长点：共切线的指对函数利用图像，形成原创题的命题构想
2
（
（
0 2
1
2
2
）
）
全
当
若
乙
a
f
理
1
x
2
1
时
在
.
，
已
区
求
知
间
曲
函
线
数
1 ,
y
0
f
,
x
f
0
,
x
l
n
在
1
点
各
恰
x
0
,
有
f
一
a
x
0
个
e
零
x
处
点
的
，
切
求
线
a
方
的
程
取
；
值 范 围 ．
题目生长点：共切线的双超越函数
构想一、两曲关系
-ax
h(x) ln(1 x), s(x)=
x
e
a=-1
a=-2利用图像，形成原创题的命题构想
2022 全乙理 21. 已知函数 f x l n 1 x a x e x
（1）当 a 1 时，求曲线 y f x 在点 0 , f 0 处的切线方程；
（2）若 f
x
在区间
1,0,0,
各恰有一个零点，求 a的取值范围．
h ( x ) e
x
l n ( 1 x ) , s ( x ) = - a x
构想二、一斜一曲关系
转 换 函 数 ： g ( x ) e x f ( x ) e x l n ( 1 x ) + a x利用图像，形成原创题的命题构想
题目生长点：共切线的正弦函数与对数函数6.设置真实情境实现原创
题目生长点：科技发展
用真实情境
(生活
编拟
实践情境)
无情境
试题，考查考生
不成题
阅读、理解、提
取信息的能力，
体现数学科学价
值、应用价值、
文化价值、审美
以中国科技发展为背景，考查学生综合应用数列、不等式、函数
价值。
知识解决问题的能力及逻辑推理素养设置真实情境实现原创
题目生长点：数学史话
21
年
乙
反刷
卷
题
以中国数学文化为背景，考查学生三角形相似、比例性质及恒等变形能力做教材的改编者
做高考的追随者
做日常生活的有心人
做学术论著的阅读者
做最新科技和社会新闻的关注者精选专题
破瓶颈二轮复习的指导思想
翻烧饼
巩固：巩固第一轮学习成果，形成网络、强化记忆；
完善：查漏补缺，进一步完善强化知识体系；
综合：增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；
不再单纯强调“多做”，而是强调“多思”;
提高：思维能力、概括能力、分析问题、解决问题的能力。二轮复习着力点及目标
逻辑推理是数学的“命根子”,计算能力是数学的“童子功”
综合考点 知识成体系
把握重点
做强“命根 方法成系列
子”，夯实
关注热点
“童子功” 解题成程序
查找漏点
复习形式：以专题复习和综合训练相结合二轮复习的实施
二轮复习的指导思想
偏难怪、满堂灌、
因材施教、以学定教
研究学情
流水账、资料绑架、
不总结方法、弱点
找准方向、提高效率 冷点易错点的补救
研究高考
不到位、试卷讲解
随意性大
聚焦重点、精讲精练
研究资料
夯实基础、做到四会
研究教材 会叙述书中每一个概念
会证明书中每一个定理公式
加强互动、培养能力
研究教法
会做书中例题及典型习题
会梳理书中知识的网络结构
错题重做、找弱补差
研究错题
（适度拓展）复习环节
制作留白留 先做后讲
定时定量
划分微专
三讲：疑点、难点；
空的学案 训练（针对
题（纵横
规律、方法；知识
练+高考分
考纲+教材再
结合）
迁移、思路点拨。
类汇编）
梳理+网络，
重点、热点
三不讲：过易、过 准确、规范、
杂乱变清晰
难点、弱点 迅速
偏、过难 专题：重点突破，局部超越
纵向
函数不
六大主干板块
等式
三角
数 列
函数
高中数学
专题 瓶颈
六大板块
立体
高观点解题策略
设置
几何
概率
统计
解析几何
选考
横向
板块
思想方法交汇主干板块：通性通法
一题多解 一题多变 多题归一
激活思维
激活思维 激活思维
的变通性
的发散性 的收敛性
研究真题：解一题，会一类，通一片解 三 角 形
1.已知一角A，可求类似cosC+cosB的取值范围；
2.已知一角A及对边a，可求周长、面积、2b+c等的范围；
3.已知一角A及邻边b，可求边a、周长、2b+c、面积等的范围；
4.如果有锐角三角形限制，转化为角有利于求解；
5.中线、角分线、高三线问题处理策略
（向量、面积、多个三角形联立）思想方法: 融会贯通
最值问题
距 离 向量基本定理
1.函数最值
1.一维向量基本定理
1.立体几何的距离
2.三角函数最值
2.二维向量基本定理
2.解析几何的距离
3.立体几何最值
3.三维向量基本定理
3.向量的距离。 4.解析几何最值
”维数“观念 5.概率统计最值
“最短”的含义
“代数与几何”观点
纵向一条线，横向成一片，横纵成一体突破瓶颈：居高临下
克莱因：基础数学教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视、理
解数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。
用高等数学的知识、思想和方法来透视、剖析和解决初等数学问题。
浅化
深化
初等数学 链结点 高等数学
内容：向量、概率统计、导数、数列、解析几何、不等式等突破瓶颈——微专题
三角函数一角一边问题
泰勒展式与不等式问题
三角函数参数 问题
洛必达法则与范围问题
向量极化恒等式问题
图像与端点效应问题
立体几何切接问题
隐零点问题
极点极线问题
函数零点的取点问题
阿基米德三角形问题居高临下，方可直击本质
1.在不脱离中学教材的前提下，可以对重要的概念和知识做必要
的拓宽。若能站在高等数学的角度，沟通初等数学与高等数学的联
系，居高临下地去释疑，将会更有利于学生深刻领悟数学概念的精
髓及其后续发展。
2.加强高初结合的专题研究，多运用高观点分析和处理高中数学问
题，并在高等数学与初等数学的衔接上尝试着用高等数学知识编一
些不脱离中学实际的“高观点”题。 重视教材，寻找高考真题的源和流
文化情境
例题习题
知识联系
舍得花时间： 题在书外，理在书中研读概念、公式，探寻其生成与发展
弄 清 回 归 方 程 b 、的 相 关 系
r
r数
2
、
i
n
1
相
x
i
2
n
i
关
1
n
x
i
x
指
y
2
i
n
n
i
R数
1
x
2
y
y
的
i
2
关
n y
2
系
集合、复数、映射、反函数、数学归纳法、二项式定理、导数；三角
函数39个公式、立体几何公式、方差与标准差公式、常见结论等等
2022全
乙
特别关注冷点研读概念、公式，探寻其生成与发展
差比数列求和:Sn=（An+B）qn-B研读例习题，探寻知识的生长点、关联点、延申点
椭圆第一
定义
椭圆第二
定义
椭圆第三
定义69
重视“情境”，抓住数学关键模型
建模分析 阅读理解 建立模型
生活实践情境
通过阅读，
现实情境 会用恰当
课程学习情境
找出关键词、
说了怎样 的数学方
关键句
一件事 法求解
探索创新情境情境素材
情境素材：优秀传统文化、社会经济发展、科技发展与进步（生活、学术
论著、社会热点、建筑几何、新定义、跨学科）
素材加工注意事项
选材原则
普适性（公平性）
思想性（正面性）
贴近性（切合性）
时代性（新颖性）
科学性（权威性）平时教学
对教材要“多挖 要引导学生“再创 数学文化要“常渗
掘”：对“章头、 造”：爱因斯坦说， 透”：重视数学知
阅读与思考，探究 提出一个问题比解 识与其他学科知识
与发现，信息技术 决一个问题更重要。 的联系与整合，重
应用”等栏目要鼓 平时教学，要引导 视理论联系实际，
励学生探究、发现； 学生去发现、去创 重视知识的理解与
造、去总结。 运用。一孔之见 敬请指导
感谢倾听！
