文档内容
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 II 卷）
数学
本试卷共10页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若 ，则 .
故选：C.
.
2 已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题
C. p和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
.
3 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即
可得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
从而 .
故选：B.
4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并
整理如下表
[1150
[900， [950， [1000， [1050， [1100，
亩产量 ，
950） 1000） 1050） 1100） 1150）
1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【解析】
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计
算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, ,
所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于 的频数为 ，
所以低于 的稻田占比为 ，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为 ，最小为 ，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均值为
，故D错误.
故选；C.
5. 已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段 ， 为垂足，则线段
的中点M的轨迹方程为（ ）
A. （ ） B. （ ）
C. （ ） D. （ ）
【答案】A
【解析】
【分析】设点 ，由题意，根据中点的坐标表示可得 ，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点 ，则 ，因为 为 的中点，所以 ，即 ，
又 在圆 上，
所以 ，即 ，
即点 的轨迹方程为 .
故选：A
6. 设函数 ， ，当 时，曲线 与 恰有一个
交点，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，
结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即可得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均 为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
7. 已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC所成角的正切值为
（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高 ，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求
得 ，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台 补成正三棱锥
， 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，根据比例关系可得 ，进而可
求正三棱锥 的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取 的中点 ，则 ，
可知 ，
设正三棱台 的为 ，
则 ，解得 ，
如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ，
则 ， ，
可得 ，
结合等腰梯形 可得 ,即 ，解得 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值为 ；
解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ，
则 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，
因为 ，则 ，
可知 ，则 ，
设正三棱锥 的高为 ，则 ，解得 ，
取底面ABC的中心为 ，则 底面ABC，且 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值 .
故选：B.
8. 设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C【解析】
【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符
号分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而
可得 的符号，即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨
论，结合符号性分析判断.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于函数 和 ，下列说法中正确的有（ ）
A. 与 有相同的零点 B. 与 有相同的最大值
C. 与 有相同的最小正周期 D. 与 的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
10. 抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作 的一条切线，Q为切点
过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A. l与 相切
B. 当P，A，B三点共线时，
C. 当 时，
D. 满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，抛物线准线为 ，根据圆心到准线的距离来判断；B选项， 三点共线时，先
求出 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 先算出 的坐标，然后验证 是否成
立；D选项，根据抛物线的定义， ，于是问题转化成 的 点的存在性问题，此时
考察 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设 点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，
当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，
不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，
于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.
故选：ABD
11. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 有三个零点
B. 当 时， 是 的极大值点
的
C. 存在a，b，使得 为曲线 对称轴
D. 存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存
在这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可
利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三
次函数的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ________.【答案】95
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出 ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列 为等差数列，则由题意得 ，解得 ，
则 .
故答案为： .
13. 已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，则
_______.
【答案】
【解析】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 ，再缩小 的范围，最后结合同角
的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得 ，
因为 ， ，
则 ， ，
又因为 ，
则 ， ，则 ，
则 ，联立 ，解得 .
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,， ，
则
故答案为： .
14. 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法
在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
【答案】 ①. 24 ②. 112
【解析】
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，
即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有 种选法；
每种选法可标记为 ， 分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，，
，
所以选中的方格中， 的4个数之和最大，为 .
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列
举法写出所有的可能结果.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A．
（2）若 ， ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同
角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【小问1详解】
方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
【小问2详解】
由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
16. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得 ，进而
利用导数求 的单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等式即可.
【小问1详解】
当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
解法一：因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，
可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，所以a的取值范围为 ；
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 .
17. 如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ， ，点
E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．（1）证明： ；
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得 ，利用勾股定理的逆定理可证得 ，则
，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明 ，建立如图空间直角坐标系 ，
利用空间向量法求解面面角即可.
【小问1详解】
由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
【小问2详解】
连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一
名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第
二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，
各次投中与否相互独立．
（1）若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】（1）
（2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【解析】
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出 ， ，再作差因式分解即可判断；
(ii)首先得到 和 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【小问1详解】
甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率 .
【小问2详解】
（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
，
，，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为 ，则 ， ，
则 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大
小关系，最后得到结论.
19. 已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ．按照如下方式依次构
造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，
记 的坐标为 .
（1）若 ，求 ；（2）证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3）设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出 的坐标即可；
（2）根据等比数列的定义即可验证结论；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.思路二：使用
等差数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.
【小问1详解】
由已知有 ，故 的方程为 .
当 时，过 且斜率为 的直线为 ，与 联立得到 .
解得 或 ，所以该直线与 的不同于 的交点为 ，该点显然在 的左支上.
故 ，从而 ， .
【小问2详解】
由于过 且斜率为 的直线为 ，与 联立，得到方程.
展开即得 ，由于 已经是直线
和 的公共点，故方程必有一根 .
从而根据韦达定理，另一根 ，相应的
.
所以该直线与 的不同于 的交点为 ，而注意到 的横坐标亦
可通过韦达定理表示为 ，故 一定在 的左支上.
所以 .
这就得到 ， .
所以
.
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
【小问3详解】
方法一：先证明一个结论：对平面上三个点 ，若 ， ，则.（若 在同一条直线上，约定 ）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有.
而又有 ， ，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明 的取值是与 无关的定值，所以 .
方法二：由于上一小问已经得到 ， ，
.
故
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有.
这就得到 ，
以及 .
两式相减，即得 .
移项得到 .
故 .
而 ， .
所以 和 平行，这就得到 ，即 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.
