南开中学（高三上学期）第二次月考（数学）2025-2026学年试卷(1)_2026年1月_260103天津市南开中学2025-2026学年高三上学期第二次月考

2026 届高三年级第二次质量检测 数学试卷 2025-12 一 、选择题（共 9小题，每题 5分，共 45分） A 0,1,2,3,4 ，B x∣x2  A ð B   1. 已知集合 ，则 R （ ）         A. 0,1,2,3 B. 0,1,2 C. 2,3,4 D. 3,4 2. 设S 为数列  a  的前n项和，“  a  是递增数列”是“  S  是递增数列”的（ ）． n n n n A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 函数 f (x)的部分图象如图所示，则 f (x)的解析式可能是（ ） 2x3 2x 2x3 2  x2 1  A. f(x) B. f(x) C. f(x) D. f(x) 1 x x2 1 x2 1 x2 1 4. 已知一组样本数据 x,y ， x,y  ，  x ,y  ，，  x ,y  ，画出相应散点图，发现变量x，y有 1 1 2 2 3 3 12 12 较强的线性关系，利用最小二乘法得其回归方程为 yˆ 2x6 ．若 y  y  y  y  24 ，则 1 2 3 12 x x x x （ ） 1 2 3 12 A. 24 B. 4 C. 15 D. 48 5. 已知平面，，直线a,b，则下列结论正确的是（ ） A. 若a，b//a，则b// B. 若//,a,b，则a//b   C. 若a//，b，则ab D. 若//,a//，则a// 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司2 lg 2 6. 设alog 4log 2,bln ln3,c10 3，则a,b,c的大小关系为（ ） 5 5 3 A. a bc B. ca b C. a cb D. bac 7. 已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则eba eb1的最小值为（ ） A. 2e2 B. 2e C. 2 e D.2 8. 已知数列  a  的前n项和为S ,a a,a 2a,a 2a ，则S （ ） n n 1 2 n2 n 2n A. 2n12 B. a  2n12  C. 22n 2 D. a  22n 2   π   9. 已 知 函 数 f  x 2sin x  0  在 区 间  ,  上 有 且 仅 有 一 个 零 点 ， 且  3  2   2025 i f  3 2f  ，则  f   （ ）  2   2  i1 A.2 B. 2 3 C.  3 D.1 二、填空题：（共 6小题，每题 5分，共 30分） 10 10. 已知复数z  （i为虚数单位），则 z  _____． (3i)2 2 11. 在(x )5的展开式中，x1的系数是________．（用数字作答） x2 12. 已知函数 f  x  ex 1 ,g  x  f  x1 1， a  g   1  g   2  g   2n1   nN ，则数 ex 1 n n n  n    列 a 的通项公式为____________． n π 13. 如图，在直角梯形ABCD中，AB  BC,BAD  , AB  AD  2．若M 、N 分别是AD、BC上 3       的动点，满足AM AD,BN   1 BC ，其中 0,1  ，则ANBM 的最大值为____________． 14. 一质点从ABC 的顶点A出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点4次运动过程中 仅1次经过顶点B的条件下，第4次回到顶点A的概率P ____________，记质点4次运动过程中经过顶点 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司B的次数是X ，则E  X ____________． 15. 已知方程 4x2 2ax1ax2 x0有且仅有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是 __________. 三、解答题（共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 16. 在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c．已知a 2 3，b3c，cosA ． 3 （1）求c的值； （2）求sinC的值； （3）求sin  2AC  的值． 17. 在如图所示的五面体ABCDFE中，底面ABCD是边长为2的正方形，AE 平面ABCD，DF//AE， 1 且DF  AE 1，N 为BE 的中点，M 为CD的中点． 2 （1）求证：FN//平面ABCD； （2）求直线CN 与平面NMF 所成角的正弦值； （3）求平面NMF 与平面MFD夹角的余弦值． 18. 已知数列  a  的前n项和为S ，a 1,na  S n  n1  nN ． n n 1 n n （1）求数列  a 的通项公式； n   2a   2 a n 1   n （2）求数列 的前n项和为T ； a a n  n n1      （3）求数列 a 16 的前n项和W ． n n   19. 在 数 列 a 中 ， 按 照 下 面 方 式 构 成 “ 次 生 数 n 列 ”  b  :b a ,b min  a ,a  ,b min  a ,a ,a  ,,b min  a ,a ,,a  n2  ， 其 中 n 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n 1 2 n 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司min  a ,a ,,a  2in  表示数列a ,a ,,a ，中最小的项． 1 2 i 1 2 i （1）若数列  a  中各项均不相等且只有4项，a 1,a  2,3,4  n1,3,4  ，请写出  a  的所有“次生 n 2 n n   数列” b ； n a  （2）若  a  满足a 2,a 64，且 n为等比数列，  a  的“次生数列”为  b  ． n 1 4  n  n n （i）求b b 的值； 3 10  10  9S 20 （ii）设  b 的前n项和S ，若对任意的nN，不等式 27 18n  2n 恒成立，求实数 n n  n  a n 的取值范围． 20 已知函数 f xx1lnxax1． .   （1）当a 0时，求 f x 在x1处的切线方程； （2）证明：当x0时，  x1  ex cosx； （3）当a0时，令g  x  f  x 2  a1  xa2，记g  x  的唯一零点为x ，若x a sinx ，证 0 1 1 明：ex 1  x ． 0 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司