22.8湘豫名校理数答案_2023年7月_01每日更新_23号_2023届湘豫名校联考高三8月入学摸底考试_湘豫名校联考2023届高三上学期开学摸底理数试卷

湘 豫 名 校 联 考
!"!!年#月高三秋季入学摸底考试
数学!理科"参考答案
一#选择题$本题共!#小题%每小题$分%共%&分$在每小题给出的四个选项中%只
有一项符合题目要求$
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充分性成立(反之亦成立!所以&&(!’是&’(!’成立的充要条件!故选,!
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由题意得 解得*/##./’或*/$#./&$舍去%!
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数学!理科"参考答案!第!!!!!页!共"页"
书书书#"
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又函数图象过点 #0# #所以#456#8 3! /0#!
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#
不同的分配方案!故选+!
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2# 2## 2#
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2# 2!
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2! 276# #
)$!% )$76槡#% )$76槡#%
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2! 276槡# 槡#
不等式有#和$#共#个!故选+!
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!
即为-145的外接圆!
设圆6
!
的半径为,#则",#/%"#解得,/槡%!
因为-145为等边三角形#所以1/4/5/%&7#14/45/15!
14
由正弦定理可得 /#,#解得14/’槡#!
456%&7
所以0 / ! 14*15*4561/ ! 8$’槡#%# 8 槡’ / *槡’ !
-145 # # # #
如图#当6
!
#6#8三点共线时#三棱锥80145的体积最大#最大值为*槡’#此时86 !(平面145#三棱锥的
! *槡’
高9最大#且有 8 89/*槡’#解得9/%!
’ #
)
设球6的半径为:#在:;-66
!
1中#$%0:%#3,#/:##解得:/
#
!
( ( !)"’ ’(’
所以球6的体积;/ ":’/ 8 "/ "!故选.!
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#
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因为8是"%的中点#"<
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数学!理科"参考答案!第!!!!#页!共"页"所以""8"/"%8"/#*#"<
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所以"<
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槡’
因为直线?的斜率为 #
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#>#/#*#!
所以离心率为槡#!故选,!
二#填空题$本题共(小题%每小题$分%共#&分!
!’!槡!&!&解析’因为!1"#所以’8#0&/&#解得&/%!所以"/$%##%#!0"/$0’#0!%#所以"!0""/
槡$0’%#3$0!%#/槡!&!
!(!%!&解析’方法一+过点1#4#"分别向抛物线的准线作垂线#垂足分别为1
!
#4
!
#"
!
#因为点"的横坐标
为##所以""" !"/’!所以"14"/"1<"3"4<"/"11 !"3"44 !"/#""" !"/%!
方法二+设点1#4的横坐标分别为#
!
##
#
#则#
!
3#
#
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"
/(#由过抛物线的焦点的弦长公式#知"14"/
#
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所以/
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& &3 3!&
&
*
因为&,#2#所以&3 3%#当且仅当&/’时&/’成立!
&
/3! ! ! !
所以 & / % !故2的最小值为 !
$&3*%$/3#% * !% !%
& &3 3!&
&
!%!$&#2,!&解析’不等式2#3*76#3#*3#可变形为2#0#3#*0*76#/2*76#0*76#!
因为*#&且##!#所以*76##&!
令)$B%/2B0B$B#&%#则)-$B%/2B0!#&!所以函数)$B%在$&#39%上单调递增!
不等式2#0#32*76#0*76#等价于)$#%3)$*76#%#所以#3*76#!
#
因为##!#所以*% !
76#
# 76#0!
设3$#%/ $##!%#则3-$#%/ !
76# $76#%#
当#,$!#2%时#3-$#%&&#函数3$#%在$!#2%上单调递减(
当#,$2#39%时#3-$#%#&#函数3$#%在$2#39%上单调递增!
所以3$#%
?56
/3$2%/2#所以&&*%2!故正实数*的取值范围是$&#2,!
数学!理科"参考答案!第!!!!’页!共"页"三#解答题$共)&分$解答应写出文字说明#证明过程或演算步骤$第!)!#!题为
必考题%每个试题考生都必须作答$第##$#’题为选考题%考生根据要求作答$
!一"必考题$共%&分$
!)!&解析’$!%)$#%/’3#槡’456#@=4#0%@=4##/0’$#@=4##0!%3槡’456##/
! ""
0’@=4##3槡’456##/#槡’456##0 !………………………………………………………………… ’分
’
%" "& " % #"& ! ""
因为#, # #所以##0 , &# #所以&%456##0 %!!
% # ’ ’ ’
! ""
所以&%#槡’456##0 %#槡’#即&%)$#%%#槡’!
’
所以函数)$#%的值域为-&##槡’,!…………………………………………………………………………… %分
! "" ! "" 槡’
$#%因为)$4%/#槡’456#40 /’#所以456#40 / !
’ ’ #
" " " #" " "
因为&&4& #所以0 &#40 & #所以#40 / !
# ’ ’ ’ ’ ’
"
所以4/ ! ………………………………………………………………………………………………… "分
’
"
在-145中#因为4/ #所以/#/*#3>#0#*>@=44/$*3>%#0’*>!
’
因为//槡)#*3>/$#所以)/$#0’*>#解得*>/%!
! ! " ’槡’
所以0 / *>4564/ 8%8456 / !………………………………………………………… !#分
-145 # # ’ #
!"!&解析’$!%在直三棱柱14501
!
4
!
5
!
中#因为-145为正三角形#分别取15#1
!
5
!
的中点6#6
!
#连接
64#66
!
!则64(65#66 !(65#66 !(64!
如图#以6为原点#分别以64#65和66
!
所在直线为#轴.C轴和D轴#建立空间直角坐标系60#CD!
因为14/15/11/##6为15的中点#所以1$&#0!#&%#4$槡’#&#&%#5$&#!#&%#1$&#0!##%#4$槡’#
! ! !
&##%#5$&#!##%!
!
………………………………………………………………………………………………………………… ’分
因为点(#E分别为1
!
4
!
#45的中点#所以( !槡
#
’ #0 !
#
## " #E !槡
#
’ # !
#
#& " !
数学!理科"参考答案!第!!!!(页!共"页"所以1 //. E/ !槡 # ’ # ’ # #& " #1 // 5 . ! /$&####%#( // 5 . ! / ! 0 槡 # ’ # ’ # #& " !
设$/$##C#D%为平面1E5
!
的法向量#
#$*1 //. E/&# *槡’ #3 ’ C/&#
由 得)# #
//.
$*15/&#
! +#C3#D/&!
不妨取#/槡’#可得C/0!#D/!!则$/$槡’#0!#!%!…………………………………………………… $分
设直线(5
!
与平面1E5
!
所成的角为’#
//.
则456’/"@=4/( // 5 . ! #$0"/ " " ( // ( 5 . 5 !" ! * * $ "$ " " / 槡’8 ’ 槡$ / 槡 $ !$ !
槡!$
所以直线(5 与平面1E5 所成角的正弦值为 !…………………………………………………… )分
! ! $
$#%因为1$&#0!#&%#4$槡’#&#&%#5$&#!##%#
!
//. //.
所以14/$槡’#!#&%#45/$0槡’#!##%!
!
设%/$#
!
#C! #D
!
%为平面145
!
的法向量#
//.
#%*14/&# *槡’#
!
3C! /&#
由 得)
//.
%*45 ! /&# +0槡’# ! 3C! 3#D ! /&!
不妨取#
!
/!#可得C! /0槡’#D
!
/槡’#则%/$!#0槡’#槡’%!…………………………………………… !&分
由$!%知$/$槡’#0!#!%为平面1E5 的一个法向量#
!
%*$ ’槡!&$
所以@=4/%#$0/ / ! …………………………………………………………………… !!分
"%"*"$" ’$
由图知二面角40150E的平面角为锐角#
!
’槡!&$
故二面角40150E的余弦值为 !……………………………………………………………… !#分
! ’$
!*!&解析’$!%根据表中数据#计算可得+
)
!3#3’3(3$3%3)
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#/ /(#C/F/! / /(’!……………………………………………………… #分
) ) )
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所以4$#
F
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F/!
)
又因为 F 4 / ) ! $# F 0#%$CF 0C%/!!##所以G//F 4 /! $# 4 ) F 0 $# # F 0 %$ # CF %# 0C% / ! # ! " # /(!………………………………… (分
F/!
所以G*/C0G/#/(’0(8(/#)!
所以C关于#的线性回归方程为G C/(#3#)!
当#/"时#得G C/(8"3#)/$*!
所以预测该商超下周的利润为$*万元!…………………………………………………………………… %分
$#%该客户所获得的代金券总额H的所有可能取值有&##&#’&#(&#$&#%&! …………………………… )分
! ! ! ! ! ! ! ! !
($H/&%/ 8 / #($H/#&%/#8 8 / #($H/’&%/#8 8 / #
( ( !% # ( ( ( ( "
! ! ! ! ! ! ! ! !
($H/(&%/ 8 / #($H/$&%/#8 8 / #($H/%&%/ 8 / !
# # ( # ( ( ( ( !%
数学!理科"参考答案!第!!!!$页!共"页"代金券总额H的分布列如下表+
H & #& ’& (& $& %&
! ! ! ! ! !
(
!% ( " ( ( !%
! ! ! ! ! !
所以I$H%/&8 3#&8 3’&8 3(&8 3$&8 3%&8 /’$$元%!……………………… !#分
!% ( " ( ( !%
#&!&解析’$!%由题意知#直线#0C0(/&与圆##3C#//#相切#
(
所以圆心$&#&%到直线#0C0(/&的距离./ /#槡#//#即//#槡#!
槡#
> !
因为J/ / #*#/>#3/##//#槡##
* ’
所以*/’#>/!!
## C#
故椭圆5的标准方程为 3 /!! ……………………………………………………………………… (分
* "
$#%因为直线?过点<
#
$!#&%且与#轴不重合#所以可设直线?的方程为#/’C3!!
*#/’C3!#
联立方程#得)##
C#
化简并整理得$"’#3*%C#3!%’C0%(/&!
3 /!#
+* "
!%’ %(
设"$#
!
#C! %#%$#
#
#C# %#则C! 3C# /0
"’#3*
#C!C# /0
"’#3*
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!"
所以#
!
3#
#
/’$C! 3C# %3#/
"’#3*
##
!
#
#
/$’C! 3!%$’C# 3!%/’#C!C# 3’$C! 3C# %3!/
0)#’#3*
!…………………………………………………………………………………………………… %分
"’#3*
设存在点($=#&%#则直线("与(%的斜率分别为2 /
C!
#2 /
C#
#
(" #0= (% #0=
! #
%(
0
所以2 *2 /
C!C#
/
C!C#
/
"’#3*
/
(" (% $#0=%$#0=% ##0=$#3#%3=# 0)#’#3* !"
! # ! # ! # 0=* 3=#
"’#3* "’#3*
0%(
!
$"=#0)#%’#3*0!"=3*=#
令"=#0)#/&#解得=/0’或=/’!……………………………………………………………………… !&分
(
当=/0’时#5’,"#2
("
*2
(%
/0
*
(
!%
当=/’时#5’,"#2
("
*2
(%
/0
*
!
因此#满足条件的点(的坐标为$0’#&%和$’#&%! ……………………………………………………… !#分
!
#!!&解析’$!%)$#%的定义域为$&#39%#)-$#%/76#3!!令)-$#%/&#可得#/ !
2
! !
当&&#& 时#)-$#%&&#)$#%单调递减(当## 时#)-$#%#&#)$#%单调递增#所以)$#%的单调递增区
2 2
%! "
间为 #39 ! …………………………………………………………………………………………… ’分
2
数学!理科"参考答案!第!!!!%页!共"页"%! "
因为函数)$#%在$*#39%上单调递增#所以$*#39%6 #39 !
2
! %! "
所以*3 !故实数*的取值范围为 #39 !………………………………………………………… %分
2 2
!
$#%因为##&#所以要证#76#3!3##2!0##只需证明76#3 3#2!0#成立! ………………………… )分
#
! ! ! #0!
令3$#%/76#3 #则3-$#%/ 0 / !
# # ## ##
令3-$#%/&#得#/!#当&&#&!时#3-$#%&&#3$#%单调递减(当##!时#3-$#%#&#3$#%单调递增#所以
3$#%
?56
/3$!%/!!…………………………………………………………………………………………… *分
令9$#%/#2!0##则9-$#%/$!0#%2!0##
令9-$#%/&#得#/!#当&&#&!时#9-$#%#&#9$#%单调递增(当##!时#9-$#%&&#9$#%单调递减#所以
9$#% /9$!%/!!
?<A
因此3$#%39$#%#即)$#%3##2!0##当且仅当#/!时等号成立!……………………………………… !#分
!二"选考题$共!&分$请考生在第##$#’题中任选一题作答’如果多做’则按所做
的第一题计分$
* 槡#
#/#3 @=4!’
#
##!(解析)!!"因为曲线5的参数方程为) !!为参数"’
槡#
C/#3 456!
+ #
!
所以消去!可得曲线5的普通方程为!#0#"#3!C0#"#/ !………………………………………… #分
#
’
因为直线?的斜率为2/;<6 "/0!’且过点1!0!’&"’所以直线?的方程为C/0!#3!"’即#3C3!/&!
(
将#/(@=4’’C/(456’代入上式’可得直线?的极坐标方程为(@=4’3(456’3!/&’
! "" 槡#
即(456’3 /0 !
( #
! ! "" 槡#
因此’曲线5的普通方程为!#0#"#3!C0#"#/ ’直线?的极坐标方程为(456’3 /0 ! … $分
# ( #
"#3#3!" $ 槡#
!#"点5!#’#"到直线?的距离为./ / # ’所以直线?与曲线5相离!如图’
槡# 槡# #
当(1与曲线5相切时’0(14最大’此时设直线(1的方程为C/2-!#3!"’
即2-#0C32-/&’
"#2-0#32-" 槡# )
所以 / ’解得2-/!或2-/ !
槡2-#3! # !)
)
当2-/ 时’0(14最小’不满足条件’因此2-/!!…………………………… "分
!)
又因为直线?的斜率为0!’所以(1(14!
槡# $槡#
连接15’则"15"/槡!’’"(5"/ ’"15"#/"(5"#3"1("#’所以"1("/ !
# #
! $
又因为4!&’0!"’所以"14"/槡#’所以-(14的面积为 "14"*"1("/ !……………………… !&分
# #
数学!理科"参考答案!第!!!!)页!共"页"*0%’#%0!’
#’!(解析)!!"由题意知)!#"/"#3!"0"#0$"/)##0(’0!&#&$’…………………………………… #分
+%’#3$!
当#%0!时’)!#"/0%’不等式)!#"#’不成立*
) )
当0!&#&$时’令##0(#’’解得## ’所以 &#&$*
# #
当#3$时’)!#"/%’不等式)!#"#’恒成立!
# )+
综上所述’不等式)!#"#’的解集为 #"## !………………………………………………………… $分
#
!#"方法一,
证明,由!!"知)!#"
?<A
/%’所以*3//%!
因为 ! 3 ! / ! !*3/" !! 3 !" / !!/ 3 * 3# " 3 ! 8 ! #槡/ 8 * 3# " / # ’当且仅当*///’
* / % * / % * / % * / ’
时取等号’
! ! !!! !"# ! !#"# #
所以 3 3 3 3 8 / ’当且仅当*///’时取等号!
*# /# # * / # ’ *
! ! #
故有 3 3 ! ………………………………………………………………………………………… !&分
*# /# *
方法二,
证明,由!!"知)!#"
?<A
/%’所以*3//%!
! ! !!! !" !!! ! / *" !!# # " # !
因为 3 / 3 !*3/"/ 3 3 3 3 3 / 8 ’当且仅当*//
*# /# % *# /# % * / *# /# % 槡*/ 槡*/ ’ 槡*/
/’时取等号’
# ! # # #
又因为 8 3 8 / ’当且仅当*///’时取等号’
’ 槡*/ ’ *3/ *
! ! #
所以 3 3 ! ………………………………………………………………………………………… !&分
*# /# *
方法三,
证明,由!!"知)!#"
?<A
/%’所以*3//%!
! ! !! !" !*3/"# ! ! / * /# *# " ! " #
所以 3 / 3 * / 8 #8 3#8 3 3 3# 3 8!(3#3#"/ / ’
*# /# *# /# ’% ’% * / *# /# ’% ’% *
当且仅当*///’时取等号!……………………………………………………………………………… !&分
数学!理科"参考答案!第!!!!"页!共"页"