文档文本内容
2023 年高考考前押题密卷（北京卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、先选择题共10小题，每小题4分，分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A={x∣x2−4x≤0,x∈Z}，B={x∣−1≤x<4}，则A∩B=（ ）
A．[−1,4] B．[0,4) C．{0,1,2,3,4} D．{0,1,2,3}
2．若z=1−i，则|z2−2z+i|=（ ）
A．5 B．❑√5 C．❑√3 D．3
3．已知抛物线y2=4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．(1+x+x2)(1−x) 6的展开式中x2的系数为（ ）
A．9 B．10 C．24 D．25
5．已知的f(x)=sinx+❑√3cosx图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关
于y轴对称，则|φ|的最小值为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
6．已知a>1，b>1，a3b=100，则log 10+3log 10的最小值为（ ）
a b
A．4 B．6 C．8 D．12
7．定义：|⃗a×⃗b|=|⃗a||⃗b|sinθ，其中θ为向量⃗a与⃗b的夹角．若|⃗a|=2，|⃗b|=5，⃗a⋅⃗b=−6，则|⃗a×⃗b|等于
（ ）
A．6 B．−6 C．−8 D．8
8．已知正实数x，y，z满足log x=log y=log z≠0，则（ ）
2 3 5
A．x>y>z
B．x<y<z
C．x，y，z可能构成等比数列
学科网（北京）股份有限公司D．关于x，y，z的方程x+ y=z有且只有一组解
9．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影
子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4
个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的
离心率e等于（ ）
2 3 4 7
A． B． C． D．
3 4 5 9
10．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面
体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体
ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若P、Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为4
C．勒洛四面体ABCD的体积是8❑√6π
D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4−❑√6
第Ⅱ卷
二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。
1
11．已知函数y=f(x)满足：当−2≤x≤2时，f(x)=− x2+1，且f(x)=f(x+4)对任意x∈R都成立，
4
则方程16f(x)=4|x|+1的实根个数是______．
12．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位kw⋅h）与气温x（单位：℃）之间的关系，
随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
学科网（北京）股份有限公司气温x 18 13 10 −1
用电量y 24 34 38 64
若上表中的数据可用回归方程y=−2x+b(b∈R)来预测，则当气温为−4℃时该小区相应的用电量约为
______kw⋅h．
13．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若3bcosC+3ccosB=5asinA，且A为锐角，则当
a2 a
取得最小值时， 的值为___________．
bc 2b+c
14．已知抛物线C：y2=2px，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在
第一象限），且AF=6，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为
________．
15．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，
其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5
发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚
时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前
两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么P¿___________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，盐酸步骤或证明过程。
16.（13分）如图，AC为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A,C重合的点，连接
PB,PC,AB,BC，作AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N.
(1)求证：∠ASN是二面角A−PC−B的平面角；
(2)若∠ACB=30∘,∠PCA=45∘，求二面角A−PC−B的正弦值.
学科网（北京）股份有限公司1
17.（14分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinB= ，且______．
3
(1)求△ABC的面积；
❑√2
(2)若sin AsinC= ，求b．
3
在①a2−b2+c2=2，②⃗AB⋅⃗BC=−1这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（13分）某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设x表示第i天
i
的平均气温，y表示第i天参与活动的人数，i=1,2,⋯,20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：
i
20 20 20
∑(x −x) 2=80，∑(y −y) 2=9000，∑(x −x)(y −y)=800．
i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)根据所给数据，用相关系数r（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；
3
(2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为 ，B家庭3位成员每轮每人
10
1 1 1
套住小白兔的概率分别为 , , ，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个
3 4 6
小白免价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪
个家庭损失较大？
n
∑ x y −nx y
i i
附：相关系数r= i=1
．
√ n n
❑∑(x −x) 2∑(y −y) 2
i i
i=1 i=1
❑√2 x2 y2
19.（15分）已知离心率为 的椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为F，左、右顶点分别为A 、A ，
2 a2 b2 1 2
上顶点为B，且△A BF的外接圆半径大小为❑√3．
1
(1)求椭圆C方程；
(2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P,Q两点（P,Q位于x轴的两侧），记直线A P、A P、A Q、A Q的
1 2 2 1
学科网（北京）股份有限公司5
斜率分别为k 、k 、k 、k ，若k +k = (k +k )，求△A PQ面积的取值范围．
1 2 3 4 1 4 3 2 3 2
20.（15分）已知函数 .
(1)若 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)设 ，在（1）的条件下，若满足 ，求证： .
a +a +⋯+a
21.（15分）已知数列{a }，设m = 1 2 n(n∈N∗)，若{a }满足性质Ω：存在常数c，使得对于
n n n n
任意两两不等的正整数i､j､k，都有(i− j)m +(j−k)m +(k−i)m =c，则称数列{a }为“梦想数列”.
k i j n
(1)若b =2n(n∈N∗)，判断数列{b }是否为“梦想数列”，并说明理由；
n n
(2)若c =2n−1(n∈N∗)，判断数列{c }是否为“梦想数列”，并说明理由；
n n
(3)判断“梦想数列”{a }是否为等差数列，并说明理由.
n
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
