定远育才学校 2025-2026 学年高三（上）1 月考试卷
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ，则 ( )
z(1+i)=i2025 z=
1 1 1 1 1 1 1 1
A. + i B. - + i C. - i D. - - i
2 2 2 2 2 2 2 2
2.已知命题p:∃x∈R,ax2+2x+3≤0为假命题，则实数a的取值范围是( )
A. { | 1} B. { | 1}． C. { | 1} D. { | 1}
a 0<a≤ a a> a a≥ a 0<a<
2 3 3 3
3.设P、Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P,x∉Q}为P、Q的“差集”，已知
{ 2 } ，那么 等于( )
P= x|1- <0 ,Q={x||x-2|<1} P-Q
x
A. {x|0<x<1} B. {x|0<x≤1} C. {x|1≤x<2} D. {x|2≤x<3}
π 4 π 12 π
4.已知sin(α+ )= ，cos(β- )= ，α，β∈(0, )，则cos(α+β)=( )
6 5 6 13 6
63 33 16 56
A. B. C. D.
65 65 65 65
5.函数 的部分图象大致为( )
f(x)=excosx
A. B.C. D.
6.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB // DC，AD=DC=2，AB=4，以四条边为直径向外
⃗ ⃗
作四个半圆，点M是这四个半圆弧上的一个动点，则 的最大值是( )
AM⋅AB
12√5
A. 8 B. 16 C. 12+ D. 12+4√2
5
7.已知点 ( 5)，圆 ，点 是 上的动点，过 作圆 的切线，切点分别
E -2, O:x2+ y2=16 F l:2x- y+16=0 F O
2
为A，B，直线AB与OF交于点M，则|ME|的最小值为( )
√5 √5 √5 3√5
A. B. C. D.
8 4 2 2
8.如图，直四棱柱ABCD-A B C D ，点M，N，P分别为A B ，BC和AD的中点，底面ABCD为菱
1 1 1 1 1 1
形，∠DAB=60∘且AB=√2A A .记MN与A A 所成的角为α，MN与平面ABCD所成的角为β，二面角
1 1
M-PN-B的平面角为γ，则( )A. α>β>γ B. β>γ>α C. γ>α>β D. α>γ>β
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数 ，则下列说法正确的是( )
f(x)=(x-1)(x+2) 2
A. x=-2是f(x)的极大值点
1
B. 当-2<x<- 时，f(2x+1)>-4
2
C. 当 时，
0<x<1 f(x)<f(x2 )
D. 若关于x的方程f(x)-m=0恰有3个不等的实根，则m的范围是(-4,0)
10.大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，
可以从高处俯瞰油城景色.某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的
位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过t分钟
后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0，
π
ω>0，|φ|≤ ).下列说法正确的有( )
2
π π
A. 求摩天轮转动一周的解析式H(t)=62sin( t- )+83
15 2
B. 游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米
C. 游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米
D. 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后
开始计时，17.5分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同
11.如图，类似“心形”的曲线E，可以看成由上部分曲线C :y=√-x2+2|x|，下部分曲线
1y2 x2
C : + =1(y≤0)构成，过曲线C 的焦点F(0,-1)的直线l与曲线C 交于M，N两点，P(x,y)是
2 a2 b2 2 2
“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是( )
y2 x2
A. C 的方程为 + =1(y≤0)
2 5 4
B. 的最大值为
x2+(y-1) 2 1+√5
C. 直线y=x+m与曲线E有4个交点，则m的取值范围为(0,√2-1)
D. △OMN面积的最大值为√5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆x2 y2 上一点 关于原点的对称点为 ， 为椭圆的右焦点，若 ，设
+ =1(a>b>0) A B F AF⊥BF
a2 b2
，且 [ π π]，则该椭圆离心率的最大值为 ．
∠ABF=α α∈ ,
12 4
13.如图几何体是圆锥的一部分，其中∠AOB=120 ∘，OA=OB=2，PO=2√3 且PO与底面垂直，从
点A出发沿曲面运动到B的最短路线的距离是 ．14.已知函数 的定义域为 ，对于任意 当 时，
f(x) (0,+∞),f(3)=3e3 x,x∈(0,+∞), x>x
其中 为自然对数的底数 ，若 ，则实数 的取值范围为
x f (x )-x f (x )>x x (ex 1-ex 2)( c ) f(lna)<alna a
2 1 1 2 1 2
__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)在▵ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足
√3bsinC+bcosC=a+c．
(1)求角B；
(2)若b=√3，求▵ABC面积的最大值；
ac-ab-bc
(3)求 的取值范围．
b2
16.(本小题15分)
已知数列 的前 项和为 ，且对任意的 有 ．
{a } n S n∈N* S =2a +n-3
n n n n
证明：数列 为等比数列；
(1) {a -1}
n
(2) 求数列{ a n }的前 n 项和 T ．
a -1 n
n+1
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥D-ABC中，平面DAB⊥平面ABC，AB⊥AC，AB⊥AD，AB=AC=AD=2，E，
F分别为DA，DC的中点．(1)求BC与平面BEF所成角的正弦值；
3√10
(2)线段BF的延长线上是否存在点M，使得平面BEF与平面ACM夹角的余弦值为 ？若存在，求出
10
BM
的值，若不存在，说明理由．
BF
18.(本小题17分)
已知点 在双曲线
x2 y2
上， 是 的左 右顶点， 是 的右焦点，
P(3,√15) C: - =1(a>0,b>0) A,B C ､ F C
a2 b2
|PB|=|PF|，且|PB|是整数．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F的直线与C的右支交于M,N两点，直线MA与直线NB交于点D．
(i)证明：点D在定直线上； (ii)若直线MB与直线NA交于点H，求▵DFH面积的最小值．
19.(本小题17分)
1
已知a∈R，函数f(x)=log ( +a).(其中e=2.71828)
e x
(1)当a=2时，解不等式f(x)>0；
(2)若关于x的方程f(x)-log [(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；
e
1
(3)设a>0，若对任意t∈[ ,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，求a的
2
取值范围．答案
1.A 2.B 3.B 4.D 5.B 6.D 7.C 8.C 9.ABD 10.ACD 11.AC
√6
12. 13.4√3 14.(1,e3)
3
15.【解】(1)因为√3bsinC+bcosC=a+c，
根据正弦定理得：√3sinBsinC+sinBcosC=sin A+sinC，
且sin A=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
可得√3sinBsinC+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，
即√3sinBsinC-cosBsinC=sinC，
又因为C∈(0,π)，则sinC≠0，
π 1
可得√3sinB-cosB=1，整理可得sin(B- )= ，
6 2
π π 5π
且B∈(0,π)，则B- ∈(- , )，
6 6 6
π π π
可得B- = ，解得B= ；
6 6 3
1
(2)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-2ac× ，
2
可得a2+c2=3+ac⩾2ac，解得ac⩽3，
当且仅当a=c=√3时等号成立，
1 √3 3√3
所以△ABC的面积：S = acsinB= bc⩽ ，
△ABC 2 4 4
3√3
故△ABC面积的最大值为 ；
4
π
(3)由(1)得B= ，
3
ac-ab-bc sinAsinC-sinAsinB-sinBsinC
根据正弦定理得： =
b2 sin2B
4 √3 √3
= [sin Asin(A+B)- sin A- sin(A+B)]
3 2 2
4 √3 1 3 3√3
= ( sin AcosA+ sin2A- cosA- sin A)
3 2 2 4 4
√3 1 1
= sin2A- cos2A-cosA-√3sin A+
3 3 32 π π 1
= sin(2A- )-2sin(A+ )+ ，
3 6 6 3
π π π
令x=A+ ，则2A- =2x- ，
6 6 2
π π
可得sin(2A- )=sin(2x- )=-cos2x=2sin2x-1，
6 2
ac-ab-bc 2 1 4 1
将原式化为： = (2sin2x-1)-2sinx+ = sin2x-2sinx- ，
b2 3 3 3 3
2π π π 5π 1
因为A∈(0, )，则x=A+ ∈( , )，可得sinx∈( ,1],
3 6 6 6 2
根据二次函数的图象性质得到，
当 3时，原式取得最小值，ac-ab-bc 4 3 2 3 1 13；
sinx= = ×( ) -2× - =-
4 b2 3 4 4 3 12
ac-ab-bc 4 1
当sinx=1时，原式取得最大值， = ×12-2×1- =-1；
b2 3 3
ac-ab-bc 13
故 的取值范围为：[- ,-1]．
b2 12
16. (1)证明：当n=1时，a =S =2a -2，解得a =2，
1 1 1 1
当n⩾2时，a =S -S =2a -2a +1，
n n n-1 n n-1
整理得 ，即 ，
a =2a -1 a -1=2(a -1)
n n-1 n n-1
又因为a -1=1≠0，
1
所以{a -1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
n
由 可得 ，即 ，
(2) (1) a -1=(a -1)qn-1=2n-1 a =2n-1+1
n 1 n
则 a 2n-1+1 1 1 ，
n = = +
a -1 2n 2 2n
n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故T =( + )+( + )+⋯+( + )=( + +⋯+ )+( + +⋯+ )
n 2 2 2 22 2 2n 2 2 2 2 22 2n1
1-
n 1 2n n+2 1
= + × = - ．
2 2 1 2 2n
1-
2
17.【解】(1)因为平面 DAB⊥ 平面 ABC ，平面 DAB∩ 平面 ABC=AB ， AB⊥AC ， AC⊂ 平
面 ABC ，
所以 AC⊥ 平面 DAB ，
因为 AB,AD⊂ 平面 DAB ，
所以 AC⊥AB ， AC⊥AD ，
又AB⊥AD，
因为 ，所以 ．
AB=AC=2 BC=√AC2+AB2=2√2
以A为原点，AB、AC、AD为 x,y,z 轴正方向建系，如图所示，
则 B(2,0,0),E(0,0,1),C(0,2,0),F(0,1,1) ，
所以 ⃗ ⃗ ⃗ ，
BC=(-2,2,0),BE=(-2,0,1),BF=(-2,1,1)
设平面 的法向量 ⃗ ，
BEF n=(x,y,z)
{⃗ ⃗
则 n⋅BE=0 ，即 {-2x+z=0 ，
⃗ ⃗ -2x+ y+z=0
n⋅BF=0
令
x=1
，则
z=2,y=0
，所以 ⃗
n=(1,0,2)
，
设 BC 与平面 BEF 所成角为 θ ，
则 | ⟨⃗ ⃗ ⟩| |-2| √10 ，
sinθ= cos n,BC = =
√8×√5 10√10
所以 BC 与平面 BEF 所成角的正弦值 ．
10
BM
(2)假设存在点M，设
BF
=λ(λ>1) ，则
B
⃗
M=λB
⃗
F=(-2λ,λ,λ)
，
所以 ⃗ ⃗ ⃗ ， ⃗ ，
AM=AB+BM=(2-2λ,λ,λ) AC=(0,2,0)
设平面
ACM
的法向量
m
⃗
=(x ,y ,z )
，
1 1 1
则 { m ⃗ ⋅A ⃗ M=0 ，即 {(2-2λ)x +λ y +λz =0 ，
1 1 1
⃗ ⃗ 2y =0
m⋅AC=0 1
令 ，则 λ ，即 ⃗ ( λ ) ，
z =1 x = ,y =0 m= ,0,1
1 1 2λ-2 1 2λ-2
| λ |
+2
⟨⃗ ⃗⟩ 2λ-2 3√10
所以 cos m,n = = ，
√ ( λ ) 2 10
+1⋅√5
2λ-2
整理得 ( λ ) 2 8λ ，解得 λ 或 1 ，
7 - +1=0 =1
2λ-2 2λ-2 2λ-2 7
2
所以 λ=2 或 λ=- (舍)，
5
3√10 BM
所以存在点M使得平面 BEF 与平面 ACM 夹角的余弦值为 ，且 =2 ．
10 BF
18.【解】(1)设C的右顶点B(a,0)，右焦点F(c,0)，
9 15
由P(3,√15),|PB|=|PF|，得a+c=6，又c2=a2+b2, - =1，
a2 b2又 是整数，且 ，
|PB|=√(a-3) 2+15 0<a<3
x2 y2
所以a2=4,b2=12,c2=16，所以C的方程为 - =1；
4 12
(2)(i)证明：由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(4,0)，
由题意可设直线 的方程为 ， ，
MN x=my+4,M(x ,y ) N(x ,y )
1 1 2 2
{x=my+4
联立方程 ，得 ，
x2 y2 (3m2-1)y2+24my+36=0
- =1
4 12
则 ，
3m2-1≠0,Δ=(24m) 2-4(3m2-1)×36=144(m2+1)>0
24m 36
y + y =- ,y y = ，
1 2 3m2-1 1 2 3m2-1
直线MA的方程为(x +2)y= y (x+2),NB的方程为(x -2)y= y (x-2)，
1 1 2 2
设点 坐标为 ，所以x-2 y (x -2) y (my +2)
D (x,y) = 1 2 = 1 2
x+2 y (x +2) y (my +6)
2 1 2 1
=
m y
1
y
2
+2(y
1
+ y
2
)-2y
2=
36m-48m-2y
2
(3m2-1)
=
-[12m+2y
2
(3m2-1)]
=-
1，
m y y +6 y 36m+6 y (3m2-1) 3[12m+2y (3m2-1)] 3
1 2 2 2 2
3 y 3 y
所以 x=1,y= 1 ，即点 D 坐标为( 1, 1 )，所以点 D 在定直线 x=1 上 .
x +2 x +2
1 1
因为直线 与直线 交于点 3 y ，同理可得点 3 y ，
(ii) MA NB D(1, 1 ) H(1, 2 )
x +2 x +2
1 23 y 3 y 3 y 3 y 18(y - y )
|DH|=| 1 - 2 |=| 1 - 2 |=| 1 2 |
，
x +2 x +2 m y +6 m y +6 m2y y +6m(y + y )+36
1 2 1 2 1 2 1 2
(y - y ) 2=(y + y ) 2-4 y y =(-
24m
)
2
-
144
=
144(m2+1)，
1 2 1 2 1 2 3m2-1 3m2-1 (3m2-1) 2
所以
12√m2+1，
|y - y |=
1 2 |3m2-1|
36m2 144m2 36 ，
m2y y +6m(y + y )+36= - +36=-
1 2 1 2 3m2-1 3m2-1 3m2-1
216√m2+1
所以 |3m2-1| ，当且仅当 时取等号，
|DH|= =6√m2+1⩾6 m=0
36
| |
3m2-1
又点F(4,0)到直线x=1的距离为3，所以▵DFH面积的最小值为9．
1
19.【解】(1)当a=2时，f(x)=log ( +2)，
e x
1 1 1
由f(x)=log ( +2)>0=log 1，得 +2>1，即 >-1，
e x e x x
解得x>0或x<-1，
故x的范围为(-∞,-1)∪(0,+∞)；
(2)由f(x)-log [(a-4)x+2a-5]=0，
e
1
得log ( +a)-log [(a-4)x+2a-5]=0，
e x e1
即log ( +a)=log [(a-4)x+2a-5]，
e x e
1
即 +a=(a-4)x+2a-5>0，①．
x
则 ，
(a-4)x2+(a-5)x-1=(x+1)[(a-4)x-1]=0 ②
当a=4时，②的解为x=-1，代入①成立．
当a=3时，②的解为x=-1，代入①成立．
1
当a≠4且a≠3时，②的解为x=-1或x= ，
a-4
1
若x=-1是方程①的解，则 +a=a-1>0，即a>1，
x
1 1
若x= 是方程①的解，则 +a=2a-4>0，即a>2，
a-4 x
要使①有且仅有一个解，则1<a≤2．
若f(x)-log [(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，
e
则{a|1<a≤2，或a=3或a=4}．
1
(3)由复合函数单调性可知f(x)=log ( +a)在区间[t,t+1]上单调递减，
e x
且最大值与最小值的差不超过ln2，
1 1
即log ( +a)-log ( +a)≤ln2，
e t e t+1
1 1 1 2 1-t
即 +a≤2( +a)，即a≥ - = ．
t t+1 t t+1 t(t+1)
1 1-t r r
设1-t=r，则0≤r≤ ， = = ，
2 t(t+1) (1-r)(2-r) r2-3r+2
r
当r=0时， =0，
r2-3r+2r 1
1 =
当0<r≤ 时，r2-3r+2 2 ，
2 r+ -3
r
2 2 1 9
∵y=r+ 在(0,√2)上递减，∴r+ ≥ +4= ，
r r 2 2
r 1 1 2
∴ = ≤ =
r2-3r+2 2 9 3，
r+ -3 -3
r 2
2
∴实数a的取值范围是{a|a≥ }.
3
