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六安一中 2025 届高三年级第三次月考
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知复数 ，其中i是虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．54 B．63 C．72 D．135
3．已知平面向量 满足 ， ，且 ．则向量 与向量 的夹角是
（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列 中，已知 ， ， ，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知数列 满足 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11
D．-6
6．如图 是边长为1的正三角形， 是 上一点且
，则 （ ）
1
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．1
7．数列 的前n项和为 ，满足 ，则数列 的前n项积的最大值为（
）
A． B． C． D．
8．已知 是 所在平面内一点，且 , , ,则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 为复数，设 ， ， 在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则
（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等差数列{a }的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ，则下列说法正确的
n
是（ ）
A．当 时， 最大 B．使得 成立的最小自然数
C． D．数列 中最小项为
11．已知数列 是各项为正数的等比数列，公比为q，在 之间插入1个数，使这3个数成等
差数列，记公差为 ，在 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 ，在
之间插入n个数，使这 个数成等差数列，公差为 ，则下列说法错误的是（
）
A．当 时，数列 单调递减 B．当 时，数列 单调递增
C．当 时，数列 单调递减 D．当 时，数列 单调递增
2
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为 .
13．已知数列 中， ， ，则数列 前2024项的和为
.
14．在 中，内角A, B, C所对的边分别为 ( ).已知 ,则 的最
大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
设等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为数列 的前n项和，若 ，求m．
16．（本小题满分15分）
在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求角A；
（2）若 ，求 的长.
17．（本小题满分15分）
已知数列 的前n项和为 ， .
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）在数列 中， ，若 的前n项和为 ，求证： .
18．（本小题满分17分）
3
学科网（北京）股份有限公司设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列.
（1）求证： ，并求出数列 的通项公式（用 表示）；
（2）设 为实数，对满足 且 的任意正整数 ，不等式 都成立．求
证： 的最大值为 .
19．（本小题满分17分）
已知函数 .
（1）当 时，求证： ；
（2）若 ，且 在R上恒成立，求 的最大值；
（3）设 ，证明： .
六安一中 2025 届高三年级第三次月考
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C B A A B B AB ABD ABC
6．A
【详解】 ， ，且 ，
而 三点共线， ，即 ， ，
所以 .故选：A.
7．B
【详解】依题意， ， ，则 ，当 时， ，
4
学科网（北京）股份有限公司两式相减得 ，即 ，因此数列 是以512为首项， 为公比的等比数列，
于是 ，显然数列 单调递减，当 时， ，当 ， ，
所以当 或 时，数列 的前n项积最大，最大值为 .
故选：B
8．B
【详解】设 与 的夹角为 , 与 的夹角为 ，
的最大值为
或由
10．ABD
【详解】根据题意： ，即 ，
两式相加，解得： ，当 时， 最大，故A正确；
由 ，可得到 ，所以 ，
，所以 ，故C错误；
由以上可得： ，
，而 ，
当 时， ；当 时， ；
所以使得 成立的最小自然数 ，故B正确.
当 ，或 时， ；当 时， ；
5
学科网（北京）股份有限公司由 ，
所以 中最小项为 ，故D正确. 故选：ABD.
11．ABC
【详解】数列 是各项为正数的等比数列，则公比为 ，
由题意 ，得 ，
时， ，有 ， ，数列 单调递增，A选项错误；
时， ， ，若数列 单调递增，则 ， 即 ，由
，需要 ，故B选项错误； 时， ，解得 ，
时， ，由 ，若数列 单调递减，则 ， 即
，而 不能满足 恒成立，C选项错误； 时，
，解得 或 ，由AB选项的解析可知，数列 单调递增，D选
项正确.故选：ABC
12．91
13．2024
14． 【详解】由 得 ；
;令 ；则 ，
，可得 为 的极大值点， 的最大值为 .
15．（1） ；（2） .
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
6
学科网（北京）股份有限公司根据题意，有 ，解得 ，所以 ； ……………………6分
（2）令 ，所以 ， ……………………9分
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以 . ………………13分
16．(1) (2) 或
【详解】（1）由 得 ，
则由余弦定理得 ， ， .…………5分
（2）由 ，解得 ，
①
， ，则 ， …………9分
②
联立 可得， ，或 .
①②
， ，则 ，且 ，
所以 ，
当 时， ，则 长为 ；
当 时， ，则 长为 .
综上所述， 的长为 或 . ……………………15分
7
学科网（北京）股份有限公司17．（1）由题意： 又
∴数列{ }为等差数列.或由原式递推得 ……………6分
又 ，可证.
（2）由（1）知： ， ………………8分
∴ ∴
∴ . …………15分
18．
【详解】（1）由题意知： ，
，
化简，得： …………6分
，
当 时， ，适合 情形．
故所求 …………9分
（2） ， 恒成立．
又 且 ， ，故 ， …………15分
当 时， ，
，由基本等式可得 即 ，而 ，故 ，
故 ，故即 的最大值为 ． …………17分
19．
【详解】（1）令 ，所以 ，
8
学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 单调递增，则 ； …………5分
（2）令 ， ；由 得出 ；由 得出
；
令 , ； ,易得 是的 极大值点。
， 的最大值为 ； ………………11分
（3）由（1）知， ，令 ，则 ，即
，设 ，则满足 ，所以
，即 ，所以
所以
即 . ………………17分
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