山东省烟台市2025-2026学年高三上学期期末学业质量水平诊断数学试题B5(1)_2026年1月_260121山东省烟台市2025-2026学年度第一学期高三年级期末学业质量水平诊断（全科）

2025~2026学年度第一学期期末学业质量水平诊断 高三数学 注意事项: 1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写 的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求。 1. 设全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={4,5},则∁ U A  ∩∁ U B  = A. {1,2,3,5} B. {1,2,3} C. {1,5} D. {1} 1 2 2. 已知a> ，则a+ 的最小值为 2 2a-1 1 3 5 A. B. C. D. 3 2 2 2 2 3. 已知a>0且a≠1，则“log <1”是“a>1”的 a3 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线l:mx+y-2m+1=0,圆C:x-1  2+y2=4,当直线l被圆C截得的弦长最短时, 实数m的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 2   π 5. 已知菱形ABCD的边长为1,E,F分别是BC,CD的中点，∠ABC= ，则AE⋅BF= 3 5 3 3 5 A. - B. - C. D. 8 8 8 8 7 2 6. 若正三棱台ABC-ABC 的体积为 ，且AB=2，AB =4，则侧棱AA 的长度为 1 1 1 3 1 1 1 A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 7. 若函数fx  ωx π =cos - 2 6  ωx 3 cos - ω>0 2 4  π 3π 在区间 , 4 4  内无零点,则ω的取值范 围为 4 A. 0, 9  B.   4 ,2  9  8 C. 0, 9  D.   8 ,2  9  高三数学试题 第1页(共4页)8. 已知定义在R上的函数fx  的导函数为fx  ,fx+2  =f-x  ,x-1  fx  ≥0,且对任 意的x∈R,有f3-cos2x  ≤fmsin2x  ,则实数m的取值范围为 A. (-∞,-1] B. -1,1  C. 1,3  D. [3,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知函数fx  1 =2x3-3x2+ ,fx 2  为fx  的导函数，则 1 A. f 2  3 =- B. 函数fx 2  1 在 ,+∞ 2  上单调递增 C. 函数fx  1 1 的极大值为 D. 函数y=fx+ 2 2  为奇函数 10. 已知抛物线C:y2=mx经过点M1,1  1 ,其焦点为F,P为C上一动点,点N0, 2  ,则 5 A. MF= 4 B. 直线MN与抛物线C有两个公共点 C. 满足PM= 2PN的点P有两个 5 D. 点P到y轴的距离与其到点N的距离之和的最小值为 2 11. 如图,已知点P是棱长为 3的正方体ABCD-A B C D 表面上一动 1 1 1 1 点,则下列结论正确的有 A. 当点P在线段BD 上时，AC⊥AP 1 1 1 B. 当点P在线段BD 上时，AP⎳平面BDC 1 1 1 C. 当点P在面CDDC 上时，三棱锥P-ABD 外接球的表面积的最 1 1 1 大值为6π π D. 当点P在面CDDC 上时,若PB+PC=2+ 7,则点P的轨迹长度为 1 1 3 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 π 12. 已知sin -α 6  3 5π = ，则sin2α- 3 6  的值为 . x2 y2 13. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F ,F ,过F 的直线与C的左、 1 2 1 右两支分别交于点P,Q,若P为线段F 1 Q的中点,且PQ,QF 2,PF 2成等差数列,则双曲 线C的离心率的值为 . 14. 若数列a n  满足a +a ≥2a (n∈N*,当且仅当n为奇数时取“=”),则称a n+2 n n+1 n  为“T数 列”.设数列b n  A 1 D 1 P B 1 C 1 A D B C 为“T数列”,b ∈N*,b =2,b =5,则b 的最小值为 ；若b =2026，则 n 1 2 5 k 正整数k的最大值为 .(本小题第一空2分，第二空3分) 高三数学试题 第2页(共4页)四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2AD= 2,E,F分别为线段PB,BC的中点. (1)证明:平面AEF⊥平面PBC； (2)求二面角A-EF-D的余弦值. 16. (15分)   π 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B= ，点D满足BC=4BD. 3 (1)若AD=1，求△ABC面积的最大值； π (2)若∠CAD= ，求C. 3 17. (15分) 已知点P 1x 1 ,y 1  ,P 2x 2 ,y 2  ,⋯,P nx n ,y n  ,⋯均在抛物线x2=4y上，x =1，0b>0 a2 b2  2 的离心率为 ，其左、右焦点分别为F ,F，上顶点为 2 1 2 M,且△MFF的面积为1. 1 2 (1)求Γ的方程； 1 2 (2)设过点F的直线l 与过点F的直线l 相交于点P,l ,l 的斜率分别为k ,k，且 - =1 1 1 2 2 1 2 1 2 k k 1 2 (ⅰ)若Q为Γ上的动点，求PQ的最小值； (ⅱ)设O为坐标原点,若l 与Γ相交于点A,B,l 与Γ相交于点C,D,且直线OA,OB, 1 2 OC,OD的斜率之和为0,求点P的坐标. 19. (17分) 已知函数fx  axex = a∈R ex-1  . (1)当x>0时，fx  >1，求a的取值范围； (2)设a=1,exn+1=fx n  1 ,n∈N*，且x = . 1 2 (ⅰ)证明:数列x n  是递减数列； 1 (ⅱ)证明:exn-1< . 2n-1 高三数学试题 第4页(共4页)2025~2026学年度第一学期期末学业质量水平诊断 高三数学参考答案 一、选择题: 1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.C 8.A 二、选择题 9.ACD 10.AC 11.ABD 三、填空题 1 12.- 13. 13 14.16;86 3 四、解答题 15. 解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.1分 因为底面ABCD为矩形,所以BC⊥AB. 又PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,PA∩AB=A, 所以BC⊥面PAB,3分 因为AE⊂面PAB,所以BC⊥AE,4分 在△APB中,因为AP=AB,E为PB中点,所以AE⊥PB, 因为PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B, 所以AE⊥平面PBC. 5分 又AE⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC.6分   (2)以D为原点，DA,DC的方向分别作为x，y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标 系，D-xyz,则A1,0,0  ,B1,2,0  ,P1,0,2  ,E1,1,1  1 ,F ,2,0 2  ,7分  因为AE=0,1,1   1 ,AF=- ,2,0 2  , 设m=x 1 ,y 1 ,z 1  为平面AEF的一个法向量, y +z =0  1 1 则有 1 , - x +2y =0 2 1 1 令x 1 =4,得y 1 =1,z 1 =-1,此时m=4,1,-1  .9分  又DE=1,1,1   1 ,DF= ,2,0 2  ,设n=x 2 ,y 2 ,z 2  为平 面DEF的一个法向量, x +y +z =0  2 2 2 则有 1 x +2y =0 ,令x 2 =4,得y 2 =-1,z 2 =-3,所以n=4,-1,-3 2 2 2  z P E D C y F A B x .11分 设二面角A-EF-D的平面角的大小为θ,则cosθ=cos, 12分 m⋅n 16-1+3 3 13 又cos= = = . mn 18× 26 13 3 13 所以，二面角A-EF-D的余弦值为 .13分 13 高三数学试题 第1页(共4页)16. 解:(1)在△ABD中,由余弦定理得,AD2=AB2+BD2-2AB⋅BDcosB,1分 a 所以1=c2+ 4  2 a 1 ac ac ac -2c× × ≥ - = .3分 4 2 2 4 4 a 所以ac≤4，当且仅当“ =c”时取“=”, 4分 4 1 1 π 所以S = acsinB≤ ×4×sin = 3，即△ABC面积的最大值为 3. 6分 △ABC 2 2 3 3a 4 AD 3asinC (2)在△ACD中，由正弦定理得， = ，即AD= ，8分 π sinC π sin 4sin 3 3 a π asin 4 AD 3 在△ABD中,由正弦定理得, = ,即AD= ,10分 sin∠BAD π 4sin∠BAD sin 3 π π π 因为∠BAD+ + +C=π,所以∠BAD= -C, 3 3 3 π asin 3asinC 3 π 于是 = ,整理得4sinCsin -C π 4sin∠BAD 3 4sin 3  =1, 11分 π 又4sinCsin -C 3  3 1 =4sinC cosC- sinC 2 2  = 3sin2C+cos2C-1=1, π 即sin2C+ 6  =1, 13分 π π π 5π 因为00, n 4 n 因为圆P nx n ,y n  和圆P n+1x n+1 ,y n+1  外切且圆P 均与x轴相切, n 所以P n P n+1 =r n +r n+1 =y n +y n+1 ,2分 所以 x n -x n+1  2+y n -y n+1  2=y +y , n n+1 整理得x n -x n+1  x2x2 2=4y y = n n+1 ,3分 n n+1 4 x x 因为00时,fx  >1,即axex-ex+1>0, 令gx  =axex-ex+1,则gx  =exax+a-1  , 1分 当a≤0时,因为x>0,所以ax+a-1<0,即gx  <0在0,+∞  上恒成立,所以gx  在0,+∞  上单调递减,所以gx  0,所以当x∈0, a a  时,gx  <0,gx  1-a 单调递减,当x∈ ,+∞ a  时,gx  >0,gx  1-a 单调递增,则g a  0在0,+∞  上恒成立,所以 gx  在0,+∞  上单调递增,所以gx  >g0  =0恒成立,符合题意. 4分 综上，a的取值范围为[1,+∞).5分 (2)因为a=1，由(1)知，当x>0时，fx  >1. 1 (ⅰ)证明:因为x 1 = 2 >0,所以ex2=fx 1  >1,所以x >0. 2 因为x 2 >0,所以ex3=fx 2  >1,所以x 3 >0.以此类推,x n >0n∈N*  6分 x exn x 因为x -x =lnexn+1-x =ln n -lnexn=ln n ,8分 n+1 n n exn-1 exn-1 令gx  =x-ex-1  ,则gx  =1-ex,当x>0时,gx  <0,所以gx  在0,+∞  单减, 即gx  0  , x 所以00,只需证 exn n -1 -1< 2 exn-1  ,即证exn  2-2x exn-1>0.14分 n 令hx  =ex  2-2xex-1x>0  , 则hx  =2ex  2-2ex+xex  =2exex-x-1  , 由(ⅱ)知,当x>0时,ex-x-1>0,所以hx  >0,所以hx  在0,+∞  上单调递增,又 h0  =0,故对任意的x>0,hx  >0. 16分 所以hx n  1 >0,即exn+1-1< exn-1,n∈N*,原题得证.17分 2 高三数学试题 第4页(共4页)