山东省烟台市2025-2026学年高三上学期期末学业质量水平诊断数学试题B52(1)_2026年1月_260121山东省烟台市2025-2026学年度第一学期高三年级期末学业质量水平诊断（全科）

2025~2026学年度第一学期期末学业质量水平诊断
高三数学
注意事项:
1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写
的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目
要求。
1. 设全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={4,5},则∁ U A  ∩∁ U B  =
A. {1,2,3,5} B. {1,2,3} C. {1,5} D. {1}
1 2
2. 已知a> ，则a+ 的最小值为
2 2a-1
1 3 5
A. B. C. D. 3
2 2 2
2
3. 已知a>0且a≠1，则“log <1”是“a>1”的
a3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知直线l:mx+y-2m+1=0,圆C:x-1  2+y2=4,当直线l被圆C截得的弦长最短时,
实数m的值为
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
 
π
5. 已知菱形ABCD的边长为1,E,F分别是BC,CD的中点，∠ABC= ，则AE⋅BF=
3
5 3 3 5
A. - B. - C. D.
8 8 8 8
7 2
6. 若正三棱台ABC-ABC 的体积为 ，且AB=2，AB =4，则侧棱AA 的长度为
1 1 1 3 1 1 1
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
7. 若函数fx 
ωx π
=cos -
2 6

ωx 3
cos - ω>0
2 4

π 3π
在区间 ,
4 4
 内无零点,则ω的取值范
围为
4 A. 0,
9
 B.   4 ,2
 9
 8 C. 0,
9
 D.   8 ,2
 9

高三数学试题 第1页(共4页)8. 已知定义在R上的函数fx  的导函数为fx  ,fx+2  =f-x  ,x-1  fx  ≥0,且对任
意的x∈R,有f3-cos2x  ≤fmsin2x  ,则实数m的取值范围为
A. (-∞,-1] B. -1,1  C. 1,3  D. [3,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9. 已知函数fx 
1
=2x3-3x2+ ,fx
2
 为fx  的导函数，则
1
A. f
2

3
=- B. 函数fx
2

1
在 ,+∞
2
 上单调递增
C. 函数fx 
1 1
的极大值为 D. 函数y=fx+
2 2
 为奇函数
10. 已知抛物线C:y2=mx经过点M1,1 
1
,其焦点为F,P为C上一动点,点N0,
2
 ,则
5
A. MF=
4
B. 直线MN与抛物线C有两个公共点
C. 满足PM= 2PN的点P有两个
5
D. 点P到y轴的距离与其到点N的距离之和的最小值为
2
11. 如图,已知点P是棱长为 3的正方体ABCD-A B C D 表面上一动
1 1 1 1
点,则下列结论正确的有
A. 当点P在线段BD 上时，AC⊥AP
1 1 1
B. 当点P在线段BD 上时，AP⎳平面BDC
1 1 1
C. 当点P在面CDDC 上时，三棱锥P-ABD 外接球的表面积的最
1 1 1
大值为6π
π
D. 当点P在面CDDC 上时,若PB+PC=2+ 7,则点P的轨迹长度为
1 1 3
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
π
12. 已知sin -α
6

3 5π
= ，则sin2α-
3 6
 的值为 .
x2 y2
13. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F ,F ,过F 的直线与C的左、 1 2 1
右两支分别交于点P,Q,若P为线段F
1
Q的中点,且PQ,QF 2,PF 2成等差数列,则双曲
线C的离心率的值为 .
14. 若数列a
n
 满足a +a ≥2a (n∈N*,当且仅当n为奇数时取“=”),则称a
n+2 n n+1 n
 为“T数
列”.设数列b
n

A
1 D
1
P
B 1 C 1
A
D
B C
为“T数列”,b ∈N*,b =2,b =5,则b 的最小值为 ；若b =2026，则
n 1 2 5 k
正整数k的最大值为 .(本小题第一空2分，第二空3分)
高三数学试题 第2页(共4页)四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2AD=
2,E,F分别为线段PB,BC的中点.
(1)证明:平面AEF⊥平面PBC；
(2)求二面角A-EF-D的余弦值.
16. (15分)
 
π
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B= ，点D满足BC=4BD.
3
(1)若AD=1，求△ABC面积的最大值；
π
(2)若∠CAD= ，求C.
3
17. (15分)
已知点P 1x 1 ,y 1  ,P 2x 2 ,y 2  ,⋯,P nx n ,y n  ,⋯均在抛物线x2=4y上，x =1，0<x <x , 1 n+1 n
以点P 为圆心的圆P 与x轴相切,且圆P 与圆P 外切,n∈N*.
n n n n+1
(1)求数列x
n

P
E
D C
F
A B
的通项公式；
(2)设圆P 的面积为S ,T = S + S +⋯+ S ，求证:T < π.
n n n 1 2 n n
高三数学试题 第3页(共4页)18. (17分)
x2 y2
已知椭圆Γ: + =1a>b>0 a2 b2 
2
的离心率为 ，其左、右焦点分别为F ,F，上顶点为 2 1 2
M,且△MFF的面积为1.
1 2
(1)求Γ的方程；
1 2
(2)设过点F的直线l 与过点F的直线l 相交于点P,l ,l 的斜率分别为k ,k，且 - =1
1 1 2 2 1 2 1 2 k k
1 2
(ⅰ)若Q为Γ上的动点，求PQ的最小值；
(ⅱ)设O为坐标原点,若l 与Γ相交于点A,B,l 与Γ相交于点C,D,且直线OA,OB,
1 2
OC,OD的斜率之和为0,求点P的坐标.
19. (17分)
已知函数fx 
axex
= a∈R
ex-1
 .
(1)当x>0时，fx  >1，求a的取值范围；
(2)设a=1,exn+1=fx n 
1
,n∈N*，且x = . 1 2
(ⅰ)证明:数列x
n
 是递减数列；
1
(ⅱ)证明:exn-1< .
2n-1
高三数学试题 第4页(共4页)2025~2026学年度第一学期期末学业质量水平诊断
高三数学参考答案
一、选择题:
1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.C 8.A
二、选择题
9.ACD 10.AC 11.ABD
三、填空题
1
12.- 13. 13 14.16;86
3
四、解答题
15. 解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.1分
因为底面ABCD为矩形,所以BC⊥AB.
又PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,PA∩AB=A,
所以BC⊥面PAB,3分
因为AE⊂面PAB,所以BC⊥AE,4分
在△APB中,因为AP=AB,E为PB中点,所以AE⊥PB,
因为PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,
所以AE⊥平面PBC. 5分
又AE⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC.6分
 
(2)以D为原点，DA,DC的方向分别作为x，y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标
系，D-xyz,则A1,0,0  ,B1,2,0  ,P1,0,2  ,E1,1,1 
1
,F ,2,0
2
 ,7分

因为AE=0,1,1 

1
,AF=- ,2,0
2
 ,
设m=x 1 ,y 1 ,z 1  为平面AEF的一个法向量,
y +z =0
 1 1
则有 1 ,
- x +2y =0
2 1 1
令x 1 =4,得y 1 =1,z 1 =-1,此时m=4,1,-1  .9分

又DE=1,1,1 
 1
,DF= ,2,0 2  ,设n=x 2 ,y 2 ,z 2  为平
面DEF的一个法向量,
x +y +z =0
 2 2 2
则有 1 x +2y =0 ,令x 2 =4,得y 2 =-1,z 2 =-3,所以n=4,-1,-3
2 2 2

z
P
E
D
C y
F
A B
x
.11分
设二面角A-EF-D的平面角的大小为θ,则cosθ=cos<m,n>, 12分
m⋅n 16-1+3 3 13
又cos<m,n>= = = .
mn 18× 26 13
3 13
所以，二面角A-EF-D的余弦值为 .13分
13
高三数学试题 第1页(共4页)16. 解:(1)在△ABD中,由余弦定理得,AD2=AB2+BD2-2AB⋅BDcosB,1分
a
所以1=c2+
4

2 a 1 ac ac ac
-2c× × ≥ - = .3分
4 2 2 4 4
a
所以ac≤4，当且仅当“ =c”时取“=”, 4分
4
1 1 π
所以S = acsinB≤ ×4×sin = 3，即△ABC面积的最大值为 3. 6分
△ABC 2 2 3
3a
4 AD 3asinC
(2)在△ACD中，由正弦定理得， = ，即AD= ，8分
π sinC π
sin 4sin
3 3
a π
asin
4 AD 3
在△ABD中,由正弦定理得, = ,即AD= ,10分
sin∠BAD π 4sin∠BAD
sin
3
π π π
因为∠BAD+ + +C=π,所以∠BAD= -C,
3 3 3
π
asin
3asinC 3 π
于是 = ,整理得4sinCsin -C
π 4sin∠BAD 3
4sin
3
 =1, 11分
π
又4sinCsin -C
3

3 1
=4sinC cosC- sinC
2 2
 = 3sin2C+cos2C-1=1,
π
即sin2C+
6
 =1, 13分
π π π 5π
因为0<C< ,所以2C+ ∈ ,
3 6 6 6

π π
,所以2C+ = ,
6 2
π
解得C= . 15分
6
17. 解:(1)因为点P nx n ,y n 
x2
在抛物线x2=4y上,所以y = n 且y >0, n 4 n
因为圆P nx n ,y n  和圆P n+1x n+1 ,y n+1  外切且圆P 均与x轴相切, n
所以P
n
P
n+1
=r
n
+r
n+1
=y
n
+y
n+1
,2分
所以 x n -x n+1  2+y n -y n+1  2=y +y , n n+1
整理得x n -x n+1 
x2x2
2=4y y = n n+1 ,3分 n n+1 4
x x
因为0<x <x ,所以x -x = n n+1 , 4分
n+1 n n n+1 2
即 1 - 1 = 1 ,所以数列   1
x x 2 x
n+1 n n
 1 1 是以 =1为首项, 为公差的等差数列,6分
x 2
1
1
所以 =1+n-1 x
n

1 n+1 2
= ,所以x = .7分 2 2 n n+1
x4 x2 1
(2)由(1)知， S = π⋅ n = n π=
n 16 4 n+1 
π，9分
2
高三数学试题 第2页(共4页)1
因为
n+1 
1
<
2 nn+1 
1 1
= - , 11分
n n+1
1 1 1 1 1
所以T = S + S +⋯+ S < π×1- + - +⋯+ -
n 1 2 n 2 2 3 n n+1
 ,13分
1
即T < π1-
n n+1
 < π,原题得证.15分
c 2 1
18. 解:(1)由题意知 = , ×2c×b=1,2分
a 2 2
又a2=b2+c2,解得a= 2,b=1,
x2
所以Γ的方程为 +y2=1. 4分
2
(2)(ⅰ)设Px 0 ,y 0 
y y
，显然x ≠±1,y ≠0，则k = 0 ,k = 0 ，5分 0 0 1 x +1 2 x -1
0 0
1 2
因为 k - k =1,代入整理得x 0 +y 0 -3=0x 0 ≠±1,x 0 ≠3
1 2
 .7分
设与直线x+y-3=0平行且与Γ相切的直线方程为x+y+m=0,
x2
 +y2=1
联立 2 ,得3x2+4mx+2m2-2=0,8分
x+y+m=0
Δ=16m2-122m2-2  =24-8m2=0,所以m=± 3,9分
3- 3 3 2- 6
所以PQ的最小值为 = .10分
1+1 2
(ⅱ)设直线l 1 的方程为y=k 1x+1  ,设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,因为k ,k 均存在,所以点 OA OB
A,B均不在y轴上,所以k ≠±1,
1
x2
+y2=1
联立方程 2
y=k 1x+1 

 ,得1+2k 1  x2+4k2x+2k2-2=0, 1 1
4k2 2k2-2
所以x +x =- 1 ,xx = 1 ,
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
1 1
所以k +k = y 1 + y 2 = k 1x 1 +1
OA OB x x
1 2
 + k 1x 2 +1
x
1
 x +x 2k =2k +k 1 2 =- 1 ,12分
x 1 1 xx k2-1
2 1 2 1
2k
同理可得k +k =- 2 ,k ≠±1,14分
OC OD k2-1 2
2
2k 2k
所以k +k +k +k = 1 + 2 =0,
OA OB OC OD 1-k2 1-k2
1 2
即k 1 k 2 -1  k 1 +k 2  =0, 15分
1 2 1
当kk =1时,又 - =1整理得2k2+k -1=0,解得k = 或k =-1(舍)
1 2 k k 1 1 1 2 1
1 2
y 1 5 4
由 0 = ,x +y -3=0,解得P ,
x +1 2 0 0 3 3
0
 ,16分
1 2 y
当k 1 +k 2 =0时,又 k - k =1得k 1 =3,由 x + 0 1 =3,x 0 +y 0 -3=0,解得P0,3
1 2 0
 ,
高三数学试题 第3页(共4页)5 4
综上,满足条件的点P的坐标为 ,
3 3
 或P0,3  .17分
19. 解:(1)当x>0时,fx  >1,即axex-ex+1>0,
令gx  =axex-ex+1,则gx  =exax+a-1  , 1分
当a≤0时,因为x>0,所以ax+a-1<0,即gx  <0在0,+∞  上恒成立,所以gx 
在0,+∞  上单调递减,所以gx  <g0  =0,不合题意;2分
当0<a<1时,令gx 
1-a 1-a
=0,解得x= >0,所以当x∈0,
a a
 时,gx  <0,gx 
1-a
单调递减,当x∈ ,+∞
a
 时,gx  >0,gx 
1-a
单调递增,则g
a
 <g0  =0,不合题意;
3分
当a≥1时,令gx 
1-a
=0,解得x= ≤0,此时gx
a
 >0在0,+∞  上恒成立,所以
gx  在0,+∞  上单调递增,所以gx  >g0  =0恒成立,符合题意. 4分
综上，a的取值范围为[1,+∞).5分
(2)因为a=1，由(1)知，当x>0时，fx  >1.
1
(ⅰ)证明:因为x 1 = 2 >0,所以ex2=fx 1  >1,所以x >0. 2
因为x 2 >0,所以ex3=fx 2  >1,所以x 3 >0.以此类推,x n >0n∈N*  6分
x exn x
因为x -x =lnexn+1-x =ln n -lnexn=ln n ,8分
n+1 n n exn-1 exn-1
令gx  =x-ex-1  ,则gx  =1-ex,当x>0时,gx  <0,所以gx  在0,+∞  单减,
即gx  <g0  =0,即x+1-ex<0x>0  ,
x
所以0<x<ex-1,所以0< <1.
ex-1
x
所以ln n <0,所以x -x <0,故数列x
exn-1 n+1 n n
 是递减数列.10分
1
(ⅰ)证明:由题意ex i-1= e-1<1= ,11分
21-1
1 1
于是,要证exn-1< ,只需证exn+1-1< exn-1,n∈N*.13分
2n-1 2
x exn 1
因为x n >0,只需证 exn n -1 -1< 2 exn-1  ,即证exn  2-2x exn-1>0.14分 n
令hx  =ex  2-2xex-1x>0  ,
则hx  =2ex  2-2ex+xex  =2exex-x-1  ,
由(ⅱ)知,当x>0时,ex-x-1>0,所以hx  >0,所以hx  在0,+∞  上单调递增,又
h0  =0,故对任意的x>0,hx  >0. 16分
所以hx n 
1
>0,即exn+1-1< exn-1,n∈N*,原题得证.17分 2
高三数学试题 第4页(共4页)