文档内容
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B A D C C D
【解析】
1．因为 ，所以 的虚部为2，故选A．
2． ， ，所以 ，故选B．
3． 展开式的通项公式为 ，令 ，得 ，则 的
系数为 ，故选B．
4 ． 设 等 比 数 列 的 公 比 为 ， 由 题 知 ， 所 以 . 又
，故选A．
5．易知焦点三角形 的面积为1，故 ，所以 ，则
，故选D．
6．据题意， 应是 的一个变号零点，由于 ，故 ，故选C．
7．所有对局中，恰有一组对局是不公平对局的情况为：2名外挂玩家都分到了同一组对局，
记该事件为事件 ，则 ，故选C．
8．如图1，设 的外接圆圆心为 ，半径为 ， 的外接
圆圆心为 ，半径为 ，记 所在平面为 ， 所在平
面为 ，连接 ，则 ．在 中，
，则 ，平面 与球面的交线为圆，
图1
数学参考答案·第1页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司该圆就是 的外接圆，由正弦定理知 ；取 的中点为
，根据垂径定理知 ，则 平面 ，故 为二面
角的平面角，即 ；在 中， ，由勾股定理得
，易知 四点共面，在 中， ，
由 勾 股 定 理 得 ， 如 图 在 四 边 形 中 ，
，知 四点共圆，记该圆为圆 ，则
为圆 的直径，在 中，由正弦定理得 ，解得 ，由余
弦 定 理 得 ， 解 得 ， 在
中， ，由勾股定理得 ，即圆 的半径
为 ，故交线长为 ，故选D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
ABD
答案 AC ACD AD
【解析】
9．由题知， 的周期为 ，故 ，所以A正确； ，故 的
最大值为 ，所以B正确；当 时， ，显然 不单调，
故C错误；当 时， ，故 是 的一个对称中心，所以D正确，
故选ABD．
10． 平面 ， 平面 ， ，故
A正确；如图2，显然 与 是异面直线，故B错误；在
平面 中， ，且 ，则 与 交于
图2
数学参考答案·第2页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司点 且 ，同理 与 交于点 且 ，即点 与点 重合，则
三条直线有公共点，故C正确；易知 ，故D错误，故选AC．
11．将点 的坐标代入圆 的方程，得 ，所以点 在圆外，
故A正确；整理直线 的方程为 ： ，可知直线过定点 ，
将定点代入圆 的方程，发现 ，所以定点 在圆内，则直
线 与圆 一定相交，故B错误；当圆心 与直线所过定点 的连线垂直于直
线 时 ， 交 点 弦 长 最 小 ， 此 时 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ， 由 勾 股 定 理 知
，故C正确；当圆心到直线的距离为1时，在圆 上仅存在三个点
到直线 的距离为1，即 ，解得 ，故D正确，故选
ACD．
12．据题意， ，解得 ，故A正确；
，这是一个二次函数，若
，则 ，此时 单调递增不可能有三个零点，
，不妨设 的两个零点为 ，则 在
上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，如
图3
图3，已知 ，则 是函数 在单调递减区间上的零点，所以 ，解
得 ， 故 B 错 误 ； 因 为 ，
所 以 ， 故 C 错 误 ； 因 为
，所以 ，故D正确，故选AD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 4
数学参考答案·第3页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司【解析】
13．因为 ，所以 ，故
14．由题知： 故该地区
这种疾病患者的年龄位于的 概率为 .
15． 在闭区间 上一定有最值， ，所以 关于
中心对称，则
16．根据双曲线的光学性质，可以发现双曲线在点
处的切线是 的角平分线. 又 ，
如 图 4 ， 在 中 ， 由 正 弦 定 理 得
，在 中，由正弦定理
得 ， 所 以 图4
；又因为 ，于是 反射光线所在
直线的斜率为 ，即 ，解得 ，在 中，由余弦定
理 得 ， 所 以
或 ．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1）据题意，数列 为等差数列，
则 ，故 ，
所以 ，则 . …………………………………（4分）
（2） ，
则 ①，
②，
数学参考答案·第4页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司由① ②得 ，
则 …………………………………（10分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）因为 ，又 ，
所以 .
又 ，由勾股定理得 ，
又 ，
所以 ，故 .
因为 ，
所以 ，则 为点 到平面 的距离，
故点 到平面 的距离为2. ……………………………………………（5分）
（2）在平面 内过点 作 的平行线 ，则 ，以
为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空
间直角坐标系.
由勾股定理得：
5，则
如图
，
图5
设平面 的法向量为 ，
则 即 取 ，则
设平面 的法向量为 ，
则 即 取 ，则
数学参考答案·第5页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司所以
记二面角 的大小为 ，则 ，
故二面角的正弦值为 . ………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）在 中，因为 ，
所以 ，
则 ，
解得 …………………………………………………………（6分）
（2）如图6，设 与 交于点 ，连接 并延长交 于
点 ，
由 于 ， 知 ， 且 点 满 足
，
则在 中，由余弦定理得
图6
，
又 ，
故 ，
所以 …………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（1）解：设点 ，据题意 ，解得
由于点 不在一条射线上，
故点 的轨迹方程为 ： . ……………………………………………（5分）
（2）证明：设线段 的中点分别为 ，
数学参考答案·第6页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司设 因为点 在曲线 上，则 ，
因为点 在曲线 上，所以：
同理 ，
故 是方程 的两个解，
由韦达定理知 ，所以 ，
即点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，故 垂直于 轴.
…………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）据题意只需关注前3次球由谁持球即可，
则持球的所有可能情况为甲乙丙甲，甲丙乙甲，
． ……………………………………（2分）
故一轮游戏甲胜利的概率为 ，随机变量的可能取值为 ，
故分布列为
…………………………………………（4分）
则 ． ……………………………………………………（6分）
（2）设事件 表示 次传球后，球在甲同学手上，事件 表示 次传球后，球在乙同学
手上，事件 表示 次传球后，球在丙同学手上，设 次传球后，乙持球的概率为 ．
则 ，由全概率公式知：
.
…………………………………………………………（9分）
所以 ，构造数列 ，
数学参考答案·第7页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司解得 …………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）设定义域为 ， ，
当 时， ， 在定义域上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
…………………………………………………………（5分）
（2）已知不等式等价为 ，
即 .
记 ，
的定义域为 ， ，
观察知 ，
故 的表达式可以因式分解，
当 时，在 上， ，即 在 上单调递增， ，则
，解得 ，故 ；
当 时，在 上， ，即 在 上单调递减， ，
则 ，解得 ，此时 无解；
当 时 ， 在 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 ，
，解得 ，此时 无解；
综上， 的取值范围为 …………………………………………………………（12分）
数学参考答案·第8页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司数学参考答案·第9页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司
