四川省成都市树德中学2024届高三上学期10月阶段性测试理科数学(1)_2023年10月_01每日更新_11号_2024届四川省成都市树德中学高三上学期10月阶段性测试

树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(理科)试题
命题人：宁夏校区高三数学备课组 审题人：王钊 唐颖君 朱琨
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．集合A=1,2,3  ，B=4,5  ，M=xx=a+b,a∈A,b∈B  ,则集合M的元素个数为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2．如果复数m2-3m  +m2-5m+6  i是纯虚数，则实数m的值为( )
A.0 B.2 C.0或3 D.2或3
3．已知直线l:x-3y+2=0,l :3x-ay-1=0，若l ⊥l ，则实数a的值为( )
1 2 1 2
1 1
A.1 B. C.- D.-1
2 2
4．已知平面α，β，γ，直线a，b，c，下列说法正确的是( )
A.若a⎳α，b⎳β，a⎳b，则α⎳β B.若a⊥α，α⊥β，则a⎳β
C.若a⊥α，b⎳β，α⎳β，则a⊥b D.若α∩γ=a，β∩γ=b，a⎳b，则α⎳β
  
5．向量a，b，c 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，
   
若e为与c同方向的单位向量，则a+b 

⋅e=( )
A.1.5 B.2
C.-4.5 D.-3
6．已知等比数列a
n
 各项均为正数，3a +2a =a ，a
2 3 4 n

S
的前n项和为S ，则 3 =( )
n a
2
13 7
A.3 B. C. D.13
3 2
7．要得到函数fx  π =sin2x+
3
 的图象，可以将函数gx  π =sin2x+
12
 的图象( )
π π
A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位
4 8
π π
C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位
4 8
8．设函数fx  的定义域为R，且f2x+2  是奇函数，fx+1  是偶函数，则一定有( )
A. f-1  =0 B. f3  =0 C. f4  =0 D. f5  =0
9．阅读下段文字：“已知 2为无理数，若( 2) 2为有理数，则存在无理数a=b= 2，使得ab为有理数；
若( 2) 2为无理数，则取无理数a=( 2) 2，b= 2，此时ab=( 2) 2 
10．一个盒子中装有a个黑球和b个白球(a，b均为不小于2的正整数)，现从中先后无放回地取2个球.
记“第一次取得黑球”为A ，“第一次取得白球”为A ，“第二次取得黑球”为B ，“第二次取得白球”为B ，
1 2 1 2
则( )
A.PA 1 B 2
2=( 2) 2⋅ 2=( 2)2=2为有理
数．”依据这段文字可以证明的结论是( )
A.( 2) 2是有理数 B.( 2) 2是无理数
C.存在无理数a，b，使得ab为有理数 D.对任意无理数a，b，都有ab为无理数

ab
= a+b  2 B.PA 2 B 1 
b b-1
= ⋅ a+b a+b-1
C.P B 1A 1 )+P(B 2   A 1  <1 D.P B 2A 1 )+P(B 1   A 2  >1
x2 y2
11．如图，双曲线E： - =1a>0,b>0 a2 b2  的左右焦点分别为F，F，过F 的直线l与其右支交于P， 1 2 2
Q两点，已知PF 1  =2PF 2  且∠PFF =∠FQP，则双曲线E的离心率为( ) 1 2 1
A.3 B.2
C. 3 D. 2
12．已知函数fx  =(x-3)3+2x-6，且f2a-b  +f6-b  >0a,b∈R  ，则( )
1 1
A.sina>sinb B.ea>eb C. > D.a2024>b2024
a b
二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)
2x-1
13．设命题p: <0，命题q:x2-2a+1
x-1
 x+aa+1  ≤0，若p是q的充分不必要条件，
则实数a的取值范围是_________
14．过点(2,2)的直线l被圆C：x2+(y+1)2=16所截得的弦长为整数，
则满足条件的直线l有 条.
15．已知多项式f(x)=a +ax+a x2+a x3+a x4满足对任意θ∈R,f(cosθ)=2cos4θ+cos3θ，
0 1 2 3 4
则a -a +a -a = (用数字作答)． 1 2 3 4
a
16．若曲线y= x>0
x
 与曲线y=2lnx存在公切线，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每题满分12分，
每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，每题满分10分，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分.
17．已知等差数列a
n
 满足a =3,S =25.
2 5
(1)求数列a
n
 的通项公式；
1 (2)设b = ,T 为数列b
n n n
a + a
n+1 n
 的前n项和，求T.
n
高三数学(理科)2023-10阶考第1页 共2页18．如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，FA=FC. 20．已知抛物线C 1 :y2=x，圆C 2 :x-4
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)求二面角A-FC-B的余弦值.
19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将
以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程
中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下
去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为
随机变量X，求X的分布列和数学期望；
1
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过 ，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时
2
抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20

 b 
求y关于t的回归方程y= +a，并预测成功的总人数(精确到1)；
t
n  
xy -nx⋅y
 i i   
附：经验回归方程系数：b= i=1 ，a=y-bx；
n 
x2-nx2
i
i=1
5   1  1 5
参考数据：x2=1.46，x=0.46，x2=0.212(其中x = ，x= x)．
i i t 5 i
i=1 i i=1
 2+y2=1．
(1)求圆心C 到抛物线C 准线的距离；
2 1
(2)已知点P是抛物线C 上一点(异于原点)，过点P作圆C 的两条切线，交抛物线C 于A、B两点，若直
1 2 1
5
线PC 的斜率为k ，直线AB的斜率为k ，k·k =- ，求点P的坐标．
2 1 2 1 2 24
21．已知函数fx  =ex-k  x2，k>0．
(1)若k=2，求函数fx  的极值点的个数；
(2)是否存在正实数k,使函数fx  的极值为2ek2，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
x=-1+ 2t
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为   2 (t为参数)，
y=1+ 2t
2
圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l及圆C的极坐标方程；
(2)若直线l与圆C交于A,B两点，求cos∠AOB的值.
23．已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.
(1)解不等式f(x)≤x+1；
a2 b2
(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c，求证： + ≥1.
a+1 b+1
高三数学(理科)2023-10阶考第1页 共2页树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(理科)试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D C D B B C C D B B
13.  0, 1
 2
 14.9 15.1 16. - 2 ,0
 e
 .
17.(1)因为数列a n  为等差数列，设公差为d，
则S 5 = 5(a 1 2 +a 5 ) =5a 3 =25，所以a 3 =5，又a 2 =3，所以   a a 1 + + 2 d d = = 3 5 ，解得a 1 =1，d=2.
1
则a n =1+2n-1  =2n-1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
1
(2)由(1)知，b = .
n
2n+1+ 2n-1
2n+1- 2n-1 1
所以b = = ( 2n+1- 2n-1)
n ( 2n+1+ 2n-1)( 2n+1- 2n-1) 2
1 1
T = ( 3- 1+ 5- 3+⋯+ 2n+1- 2n-1)= ( 2n+1-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 n 2 2
18.(1)证明：设AC交BD于点O，连接FO，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，O为AC中点，
又∵FA=FC，∴AC⊥FO，又FO∩BD=O，
FO⊂平面BDEF，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)解：如图，连接DF，∵四边形BDEF为菱形，∠DBF=60°，
∴△DBF为等边三角形，又∵O为BD中点，∴FO⊥BD，
又AC⊥FO，AC∩BD=O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设AB=2，则BD=2，AC=2 3，又∴△DBF为等边三角形，
∴OF= 3，∴点O0,0,0  ，A 3,0,0  ，B0,1,0  ，C- 3,0,0  ，F0,0, 3  ， 
∴CF= 3,0, 3 

，CB= 3,1,0  ，  设平面BCF的一个法量n=x,y,z  ，
 
CF⋅n= 3x+ 3z=0
则

，
CB⋅n= 3x+y=0

令x=1，得n=1,- 3,-1  ，
∵FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以FO⊥BD，
又因为AC⊥BD，AC∩FO=O，
所以BD⊥平面AFC， 
则OB=0,1,0  即为平面AFC的一个法向量，
  ∴cosn,OB    n⋅OB = 
n 

OB 
19.(1)由题知，X的取值可能为1，2，3所以PX=1
15 =- ， 5
又二面角A-FC-B的平面角是锐角，
15 ∴二面角A-FC-B的余弦值为 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
5

1
=
C1
2

2 1
= ；
4
PX=2 
1
= 1-
C1
2

 2
 

 1

C1
3

2 1
= ；PX=3
12

1
= 1-
C1
2

 2
 

 1
1-
C1
3

 2
 

 2
= ；
3
所以X的分布列为：
X 1 2 3
1 1 2 P
4 12 3
所以数学期望为EX 
1 1 2 3+2+24 29
=1× +2× +3× = = .⋯⋯⋯⋯⋯6分
4 12 3 12 12
1    5 
(2)令x = ，则y=bx+a，由题知：xy =315，y=90，
i t i i
i i=1
5  
xy -5x⋅y
 i i 315-5×0.46×90 108 所以b= i=1 = = =270，
5  1.46-5×0.212 0.4
x2-5x2
i
i=1
   270
所以a=90-270×0.46=-34.2，y=270x-34.2，故所求的回归方程为：y= -34.2，
t
所以，估计t=6时，y≈11；估计t=7时，y≈4；估计t≥8时，y<0；
预测成功的总人数为450+11+4=465.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
1
20.(1)由已知：C (4,0)；C 的准线为x=- ．
2 1 4
1
圆心C 到C 准线距离为4--
2 1 4

17
= ;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
4
(2)设Py2 0 ,y 0  ，Ay2 1 ,y 1  ，By2 2 ,y 2  ,切线PA:x-y2 0 =m 1y-y 0 
由   x y2 = = m x 1 y+y2 0 -m 1 y 0得：y2-m 1 y-y2 0 +m 1 y 0 =0
由y +y =m 得：y =m -y ，
0 1 1 1 1 0
切线PB:x-y2 0 =m 2y-y 0  ,同理可得：y =m -y 2 2 0
4-y2+my
依题意：C (4,0)到PA:x-my-y2+my =0距离 0 1 0 2 1 0 1 0

=1
m2+1
1
整理得：y2 0 -1  m 1 2+8y 0 -2y3 0  m +y4-8y2+15=0 1 0 0
同理：y2 0 -1  m 2 2+8y 0 -2y3 0  m +y4-8y2+15=0 2 0 0
2y3-8y
∴m 1 +m 2 = y 0 2-1 0 y2 0 ≠1
0

y y -y 1 1 y2-1 ∵k = 0 ，k = 1 2 = = = 0 1 y2-4 2 y2-y2 y +y m +m -2y -6y 0 1 2 1 2 1 2 0 0
y y2-1 5
∴kk = 0 ⋅ 0 =- ,解得：y =±4
1 2 y2-4 -6y 24 0
0 0
故所求P点坐标为16,4  或16,-4  .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
高三数学(理科)2023-10阶考第1页 共2页21.(1)当k=2时，f(x)=ex-2  x2，
f(x)=ex⋅x2+ex-2  ⋅2x=xxex+2ex-4  =x(x+2)ex-4  ，
令g(x)=(x+2)ex-4，则g(x)=(x+3)ex，
所以g(x)=(x+2)ex-4在(-∞,-3)单调递减，在(-3,+∞)单调递增．
又因为x<-2时，g(x)<0恒成立，g(0)=-2<0,g(1)=3e-4>0，
所以g(x)=(x+2)ex-4在(0,1)上有唯一的零点x ．
0
所以当x∈(-∞,0),f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈0,x 0  ,f(x)<0,f(x)单调递减，
当x∈x 0 ,+∞  ，f(x)>0,f(x)单调递增，所以函数f(x)有两个极值点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)f(x)=exx2+ex-k  ⋅2x=x(x+2)ex-2k  ，
令h(x)=(x+2)ex-2k(k>0)，则x<-2时，h(x)<0．
h(x)=(x+3)ex，当x>-3时，h(x)单调递增．h(0)=2-2k，
①当k=1时，f(x)≥0在R上恒成立，f(x)无极值，不存在符合题意的k．
②当k>1时，h(0)<0,h(k)=(k+2)ek-2k>(k+2)⋅e-2k>0，存在x 0 ∈(0,k)，使得hx 0  =0，
当x∈(-∞,0),f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈0,x 0  ,f(x)<0,f(x)单调递减，
当x∈x 0 ，+∞  ，f(x)>0,f(x)单调递增，
所以f(x)的极大值为f(0)=0<2ek2,f(x)的极小值为fx
0 
<f(0)=0<2ek2，故不存在符合题意的k．
③当0<k<1时，h(0)>0，存在x 0 ∈(-2,0)，使得hx 0  =0，
当x∈-∞,x 0  ,f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈x 0 ,0  ,f(x)<0,f(x)单调递减，
当x∈(0,+∞)，f(x)>0,f(x)单调递增，
所以f(x)的极小值为f(0)=0<2e2k2,f(x)的极大值为fx 0  ，
如果存在正实数k使函数f(x)的极值为2ek2，则fx
0 
=ex0-k

x2=2ek2，
0
又因为hx 0  =x 0 +2 
2k
ex0-2k=0．所以 -k x +2
0
 x2 0 =2ek2，所以x3 0 +2ekx 0 +2  =0，
所以x3 0 +ex0+1 x 0 +2 
x3
2=0，即 e 0 +ex0x 0 +2  2=0，
x3 3x2
令H(x)= +ex(x+2)2，则H(x)= +ex x2+6x+8
e e
 ，因为x∈(-2,0)，所以H(x)>0．
所以H(x)在(-2,0)单调递增，又因为H(-1)=0，所以x =-1，此时k= x 0 +2 0 
x=-1+ 2t
22.(1)由直线l的参数方程   2 ，得其普通方程为y=x+2， y=1+ 2t
2
∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2.
又∵圆C的方程为x-2
ex0 1 = ， 2 2e
1
综上所述，k= 时，存在极值为2ek2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
2e
 2+y-1  2=5，
将  x=ρcosθ 代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ，∴圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ.⋯⋯5分
y=ρsinθ
(2)将直线l：ρsinθ=ρcosθ+2，与圆C：ρ=4cosθ+2sinθ联立，得
4cosθ+2sinθ  sinθ-cosθ  π =2，整理得sinθcosθ=3cos2θ，∴θ= ，或tanθ=3.
2
π
不妨记点A对应的极角为 ，点B对应的极角为θ，且tanθ=3.
2
π
于是，cos∠AOB=cos -θ
2

3 10
=sinθ= .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
10
23.(1)fx  ≤x+1，即x-1  +x-3  ≤x+1.
当x<1时，不等式可化为4-2x≤x+1，解得：x≥1,又∵x<1，此时无解；
当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，解得：x≥1,又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.
当x>3时，不等式可化为2x-4≤x+1，解得：x≤5,又∵x>3，∴3<x≤5.
综上所得，1≤x≤3或3<x≤5，即1≤x≤5.
∴原不等式的解集为1,5  . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)由绝对值不等式性质得，x-1  +x-3  ≥ x-1  -x-3    =2，
∴c=2，即a+b=2.
令a+1=m,b+1=n，则m>1,n>1，a=m-1,b=n-1,m+n=4，
a2 b2 m-1
+ =
a+1 b+1
 2 n-1
+
m
 2 1 1 4 4
=m+n+ + -4= ≥
n m n mn m+n
 2 
=1，
2
等且仅当m=n=2即a=b=1时等号成立.
原不等式得证.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
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