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江油中学 2021 级高三上期 9 月月考
数学（文）试题
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分 ）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．设命题 ，命题 ，则 是 成立的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列向量的运算结果不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
π 1
5.已知α∈(0,π)，sin( −α)=− ，则tan(α+π)=（ ）
2 3
√2 √2
A． B．− C．2√2 D．
4 4
−2√2
6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，
吹 出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现
代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来
的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，
如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的 的值为 ，输出的
的值为( ).
A. B. C. D.
7. 函数 在 上的图象大致为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
2
8. 设 a=log 2, b=log 0.4, c= , 则( )
5 0.5 5
A. a0，b>0)在x=1处取得极值，则 的最小值为 .
16．已知 ,若在 上恰有两个不相等的实数 、 满足 ,则
实数 的取值范围是__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求角A；
(2)若 ， 的面积为 ，求 .
18．如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，
．
(1)求 的值；
(2)求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司19．已知 .
(1)求 的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到 的图象，求
π
在区间 [0, ]的值域．
2
20．已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当 时，若函数 的图像与直线 有3个不同的交点，求实数m的取值范围．
21．设函数 ，其中 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)求证： ，函数 有三个零点 ， ， ，且 ， ， 成等比数
列.
（二）选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做
的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
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学科网（北京）股份有限公司22.已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （θ为参数），C ： （t为参
1 2 1 2
数）.
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极轴上，
1 2
且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）设函数 的最小值为 ，若正数 ， ， 满足 ，证明：
．
江油中学 2021 级高三上期 9 月月考
数学（文）参考答案
DBACD BBCCA CB
2 3
13. − 14.− 15.4 16
π 4
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学科网（北京）股份有限公司17（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 即 ；
2）因为 的面积为 ， ， ，
由三角形的面积公式得 ，化简得 ，
又根据余弦定理 得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
18【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
整理可得 ， ，解得 ，则 ，
故 为等腰三角形，故 .
（2）解：由（1）知， ，又因为 ，则 ，
因为 ，则 为锐角，且 ，
所以，
，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由正弦定理 ，可得
19【详解】（1）因为
，
则 ，所以 的最小正周期为 ，
由 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 .
（2）由（1）可得 ，
将函数 的图象向右平移 个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到 图像，
π π π
所以g(x)=4cos[2(x− )+ ]+2√3=4cos(2x− )+2√3
6 6 6
π π π 5π π √3
当 x∈[0, ]时，2x− ∈[− , ],cos(2x− )∈[− ,1]
2 6 6 6 6 2
所以函数 的值域为[0,4+2√3].
20【详解】（1）由题可知： 在 恒成立．
即 在 恒成立．因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
所以实数a的取值范围是 ；
（2）由 ，解得 ，所以 ．
则 ，令 得 或 ，令 得 ，
所以函数 在 上是增函数， 上是减函数， 上是增函数，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 取得极大值，故 的极大值为 ．
当 时， 取得极小值，故 的极小值为 ．
因为函数 的图像与直线 有3个不同的交点，则 ．
21【详解】（1）由 ，得 ， .
不等式 等价于 ，
令 ，又 ，则函数 在 上单调递增，
又 ，则不等式 的解集为 .
（2）令 ，则 ， .
设 ，因此 的零点是 的零点.显然a是一个零点
，
设 ，
由 ，则 ，对称轴 ，
故存在 ，使得 .
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
又因为 ，则 ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ；
又当 时， ，
此时 ；
故由零点存在性定理知， 有三个零点 ， ， ，其中 .
又因为 ，所以 ，
即 ，即 ， ， 成等比数列.
22（1）由 得 的普通方程为 ．
由参数方程可得 ，两式相乘得普通方程为 ．
(2)将 代入 中解得 ，故P点的直角坐标为 ．
设P点的极坐标为 ，
由 得 ， ， ．
故所求圆的直径为 ，
所求圆的极坐标方程为 ，即 ．
23【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，由 可得 ，则 ；
当 时， ，由 可得显然成立，则 ；
当 时， ，由 可得 ，则 ；
综上：不等式 的解集为 ；
【小问2详解】
，当且仅当 即
时取等， ，则 ，又 ， ， 均为正数，则
，当且仅当 ，即 时等号成立，则
.另外也可由柯西不等式得
2
1 1 1 √ 1 √ 1 √ 1
a+2b+3c=(a+2b+3c)( + + )≥（ a∙ + 2b∙ + 3c∙ ）=9
a 2b 3c a 2b 3c
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