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泸县五中高 2021 级高三上学期开学考试
理科数学参考答案
1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B 9．D 10．A 11．B 12．B
13． （答案不唯一） 14．110 15． 或 或 16．
17．解：（1）推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数 ，
这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，
设事件 表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，
表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”， 表示“恰好选出2名外科医生”，
， 互斥，且 ，
， ，
选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为 ；
（2）由于从6名医生中任选3名的结果为 ，
从6名医生中任选3名，其中恰有 名外科医生的结果为 ， ，那么6名中任选3人，
恰有 名外科医生的概率为 ，
所以 ， ， ，
.
18．解：（1）延长 交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，则过 三点的截面就是平
面四边形 ，因为 是 中点， ∥ 且 ，
所以 是 的一条中位线，
1
学科网（北京）股份有限公司所以 ∥ 且 ，所以 ；
解法一：取 中点 连接 ，因为正三棱柱 为 的
中点， 与三棱柱的侧棱平行，所以 两两垂直，以 为原点，
为 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
所以 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设 与平面 所成角为 ，则
，
与平面 所成角的正弦值为 ；
解法二：设点 到平面 的距离为 ，连接 ，
因为 ， 是 中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为等边三角形 的边长为2，所以 ，
所以 ，
2
学科网（北京）股份有限公司所以等腰三角形 的底边 上的高为 ，
所以 的面积为 ，又 的面积为 ，
因为 ，所以 ，得 ，又 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，故 平面 所成角的正弦值为 .
19解：（1）由图知：平均数为： ；
（2）由题设 ， ，则 ， ，
，
由题意知： ，则 .
20．解：（1）解法一：由 ，得 ，
又 ，所以 是 的极小值点，
故 ，而 ，故 ，若 ，则 ，
当 ；当 ，所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 是 唯一的极小值点，也是最小值点，由 ，所以当且仅当 时 ，
解法二：由 ，得 ，又 ，
当 时，有 恒成立，所以 在 上单调递减，又 ，则 不成立，
当 时，令 ，得 ，
则 时，有 时，有 ，
3
学科网（北京）股份有限公司即 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为 ， ，
函数 在 单调递减， 单调递增，
，当且仅当 取等号，故 ；
（2）当 时， ，设 ，
当 时， ，
又由（1）知 ，故 ，当 时， ，
设 ，则 ，
则 在 单调递增， ，
所以 ，则 在 单调递增， ，
综上， ，即当 时， .
21．解：（1）由题意，设 ，又 ，则
又因为点 在圆 上，
所以 ，故曲线 的方程为 ；
（2）
由题意， ，设 ，则 ，
易得 斜率必然存在，所以 ，
4
学科网（北京）股份有限公司设 ，由图象易知，直线 斜率不存在时不符合题意
设直线 的方程为 ，
联立曲线 的方程 ，得 ，
得 ，
所以 ，由题意知，直线 均不过原点，所以 ，从而 ，
，
解得 ，满足 ，所以直线 的方程为 ，恒过定点 .
22．解：（1）由直线 的参数方程，得直线 的普通方程为 ．
将 代入曲线 的极坐标方程，化简得曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）由（1），设点 ，
由题知 的最小值为点 到直线 的距离的最小值．
又点 到直线 的距离 ，其中 ．
当 时， 的最小值为 ．
的最小值为 ．
23．解：（1）当 时， ，解得 ，所以 ，成立．
当 时， ，恒成立，所以 成立．
当 时， ，解得 ，所以 ，成立
综上，原不等式的解集为
（2）
5
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