YTUN 理科突击班高中 2021 级第一次诊断性考试参考答案
理科数学
1．D 故选：B.
【来源】四川省泸州市2023届高三三模理科数学试 3．C
题 【来源】四川省绵阳市2023届高三上学期二诊模拟
【分析】求出集合 ，利用并集的定义可求得实数 考试数学（理）试题
的取值范围. 【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项
【详解】因为 二项式系数最大即可得解
2
， = − −，6且≤ 0 = −2≤ 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为
≤ 3 ， = −4≤ ≤ ∪ = −4≤ 偶数，故 ，得 .
≤ 3
故选：C
2+1=4 =6
4．B
所以， .
【来源】四川省绵阳市2023届高三上学期二诊模拟
故选：−D.2≤ ≤3
考试数学（理）试题
2．B
【分析】根据鸽子到抛物线焦点的距离为10米，利
【来源】四川省绵阳中学2023届高三适应性考试（二）
用抛物线的定义求解其位置，再利用两点间的距离
理科数学试题
求解.
【分析】根据二次不等式的求解以及椭圆标准方程
【详解】解：如图所示：
的概念，解得不等式的解集，可得命题的真假，结
合逻辑用语的概念，可得答案.
【详解】对于命题 ，由 ，
2
2 −3 −2≤ 0 2 +
，解得 ，则命题
1 3
1
为真
命
−
题
2
；
≤0 ∈ −2,2 ⊇ 2,2
设鸽子所在位置为点 ，
对于命题 ，由方程 表示焦点在x轴
2 2 因为它到抛物线焦点的 距 , 离为 >100米, ，<0
6− +2 −3 =1
所以 ，解得 ，
上的椭圆，则 ，解得
6− >0 3
则 +4=10 ，=−6
2 −3>0 ∈ 2,3 ⊇
，故命题6为−真 命>题2 ；−3 2
所以 鸽=−子1到6拱×顶−的6最=高9点6的距离为
3
综2上 ,2 ，可知命题 ， ， 为真命题，命 ， =
2 2
题 为假命题 ∧. ∨¬ ∨ 故 选+： B =2 33
∧¬
—10—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}5．D 【来源】四川省绵阳中学2023届高三适应性考试（二）
【来源】四川省绵阳市2023届高三上学期二诊模拟 理科数学试题
考试数学（理）试题 【分析】对于A,B,D通过举反例即可判断，对于C
【分析】根据已知数据可得 ，再根据 需分 与 是否为 讨论即可.
即可求ln 出=值−4
.
+ 【详 解 】 0 ，两边同平方得
l 【 n 详 2= 解 − 】 1 2l 由 n4 题 − 知 4： 2 当 + ， 时， ， | + |= | |+| |
2 2 2 2
+2 ⋅ + ，= +2| |⋅| |+ ，
代入 =1 得 ：=2 =
1 2 ∴对 A⋅， =| ||时 |，∴为| 任|| 一|c向os量 =，|故 ||A |错误，
ln =−2ln ， − +
对B，若 = 0 ， 时，此时不存在实数 ，使得
l当n =−，4 + 时，
，故B 错=误 0 ， ≠ 0 =
1
=4 =2 ， 对 于C，因为 ，当 与 至少一个为
ln 2=− 1 2ln4− 4 2 + 零向量时，此| 时 || |cos =| || |
即 ，
2 一定存在实数 , ,使得 ，
而
ln −ln2=−ln
，
2−4 +
具体分析如下： =
解得ln： =−4 或+ （舍）
当 ， 时，此时 为任意实数， ，
故选： D.=4 −4
当 = 0 ， ≠ 0 时，此时 为任意实数， =0，
6．C
当 ≠ 0 ， = 0 时， 为 任意实数， =0
【来源】四川省绵阳市2023届高三上学期二诊模拟
当 = 0 ， = 0 时，因 ,为 ，则有
考试数学（理）试题
≠ 0 ， 根≠据 0 |， || |cos =| || |
【分析】将 用 替换后，解方程解出 即
c则os =1，此时 共∈线0，, 且同向，则存在实数 使得
2
1−tan
2
可. cos2 1+tan （=0 ）， , =
【详解】因为 ， 令 >，0其中 同号，即 ，即 ，
cos2 3
可得 ∈ 0,2 ,1+tan 2 =8 ， 则存 = 在 实数 , ,使 , 得 ， = 故 C 正确 ， =
2 2 2
可得3 1+tan
2
=8×
s
s
i
i
n
n
2
−
+
c
c
o
o
s
s
2
，
=8×
1
1+
−t
t
a
a
n
n
2
对于D，当 ， =时 ， ，故
2 2 2 D错误， = 0 ≠ 0 | − |≠| |−| |
3 1+tan =8−8tan
解得 ，因为 ，所以 ，
2 1 3 故选：C.
tan =3 ∈ 0,2 tan = 3
所以 ，
8．D
= 6
所以 .
【来源】四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊
1
断性考试理科数学试题
故选：
co
C
s
.
+6 =cos3 =2
【分析】先利用导函数研究 上的单调性，
7．C
0< ≤1
—11—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}【分析】构造函数 ，利用导数讨论单
得到 在 上单调递减，在
1
=e −ln
= − ∈ 0,4 ∈ 调性即可判断A和B，再构造 ，利用导数
上单调递增，且 ，进而研究
e
1
4,1
1
4 =−
1
4 −1< ≤
讨论单调性即可判断C和D. =
上的单调性，得到在 上单调递减，在
3 【详解】令 ，则 ，
0 −1< ≤−4
上单调递增，且 ，从而选出 ′ 1
=e −ln =e −
3 3 1 令 恒成立，
− 正4确 < 答 案 ≤ . 0 −4 =−2 1 ′ 1
2
ℎ( )= e − ,ℎ( )= e + >0
即 在定义域 单调递增，
【详解】当 时， ，
′ 1
′ 1 2 −1 =e − 0,+∞
0< ≤ 1 =1−2 = 2 且
当 时， ，当 时， ， 1
′ 1 e ′
1 ′ 1 ′ 因此 在e区 = 间 e −e< 上 0 必 , 然 1 存 = 在 e 唯 − 一 1>0 使 , 得 ，
∈ 0,4 <0 ∈ 4,1 >0
故 在 上单调递减，在
′
1 所以当 0,1 时 单调递减 ，0当 0 =时0
= − ∈ 0,4 ∈
上单调递增， 单调 ∈递增0,， 0 ∈ 0,1
1
所
4
以
,1
在 处取得极小值，
故 A，B均错误；
1 1
= − =4 4 = 令 ， ，
，
e ′ e −1
1 1 1 当 = 时 ， = 2 ，
4当 −2=−4 时， ，故
′
∴0<在 <区1间 上 为减<函0 数，
−1< ≤，0 0< +1 ≤1 =2 +
∵ ，0,∴1 ，即 ，
1− +1
， 1 2
e e 1 2
′ 1 2 +1−1 ∴ 0 选 < 项 C 1 < 正 确 2 ，D不 1 正 > 确 2 . 2e > 1e
=2− +1= +1
当 时， ，当
3 ′ 2 +1−1 3 故选:C.
−1< ≤−4 = +1 <0 −4< ≤
时， ，
10．D
′ 2 +1−1
0 = +1 >0
在 上单调递
【来源】四川省绵阳中学2023届高三适应性考试（二）
3
理科数学试题
=2 +1− +1 −1< ≤−4
减，在 上单调递增，
3 【分析】分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，
−4< ≤ 0
且 ，显然
丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、
3 3 3 1
−4
，
=2 −4+1− −4+1 =−2
乙停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得.
1 1
【详解】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊
− 综2上 < ： − 只4有D选项满足要求.
在同一排时， 种方案，
故选：D
2 2
丙、丁选一辆与2A甲4⋅、A4乙停泊在同一排，另一辆单独
9．C
一排， 种方案，
【来源】四川省绵阳南山中学实验学校补习版2023
1 3 1
所以共有2A2⋅A4⋅A4 种方案.
届高三一诊模拟考试理科数学试题
2 2 1 3 1
故选：D 2A4⋅A4+2A2⋅A4⋅A4 =672
—12—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}11．C 数形结合，结合临界条件，即可求解.
【来源】四川省绵阳中学2023届高三适应性考试（二） 【详解】由①可知，函数为奇函数，满足
理科数学试题 ， − =−
【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率 由 ②可知，函数关于点 对称，并且
求出 ，再由余弦定理求出 ，判断 ， 2,0 − +4 =
cos形∠状 即 可求解作答. | | −则 由 ①②可知， ，函数 是周
△【详 解 】设双曲线 的半焦距为c，直线 的方程为 期为4的函数， − +4 = −
当 ， ， ，且
，有 ，如图
∈ 0,1 2 ∈ 0,2 = 2， 所=以函 数
= tan∠ =
是奇− 函=数， −2 =− 2 =−
由 可知， ，得
+， 则− +4 =，0 2 + 2 =0
2 =0 1 =0 ，所以 周
即有 ，而
期为 +22的=函数 2， +4 = 2 =
2
根据以上函数的性质，画出函数 的图象，
sin∠ = cos∠ sin ∠ +
，解得 ，
2
c 在 os ∠ 中 = ， 1 由余弦定 co 理 s∠ 得 ： = 2 + 2 =
△ | |=
2 2
| | +| | −2| ， || |cos∠ =
2 2
因 此+ −2 ⋅ = ，即有 ，而
2 2 2 ∘
| | +| ， |则=| | ，∠ =90
∘ 如图，当直线 与 无交点，有两个临界
|又 1|= 2 ∠， 于 是1 =30 ，
∘ 值，一个是直 线= −1 过 点 ，即 ，
所以| 双|曲=线| 的 离 1|心=率 ∠ =2∠ 1 =60
| | 1 得 ， = −1 1,1 −1=1
= = | | =cos∠ =
. 另一 =个2临界点是直线 与 ，
1
∘
c故os选60： = C 2 相切， = −1 = ∈
12．C 根2,据3 周期可知，当 时， ，设
【来源】四川省绵阳市2023届高三上学期二诊模拟 切点为 ，∈ 2,3 = −2
考试数学（理）试题 则 0, 0−2，得 ，即
1 0−2+1
【分析】首先分析函数 的对称性和周期性，从而 2 0−2= 0 0−2+2 0−2=2
，
得到函数 的性质，并 画 出函数 的图象，利用 2
0−2+1 =3
—13—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}解得： ，所以切线的斜率 15．1
0−2= 3−，1 = 【来源】四川省绵阳市2023届高三三模理科数学试
1 1 3+1
题
2且 直 0−线2=2 3−1 = 过4点 时，
【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合
如图，直 线= −1 与1,0 无交 点=，1则k的取值范
三角恒等变换运算求解.
= −1
围是 .
3+1 【详解】∵ ，由正弦定理可得：
故选：C 4 ,1 ∪ 1,2 sin
， =sin −cos sin =
【点睛】易错点睛：本题考查抽象函数的性质与具
s则in −cos
体函数的图象相结合的综合应用问题，本题的关键
sin sin −cos sin， =sin =sin + =
是根据 的性质分析 的性质，并且得到函数
s整in理 c得os +cos sin ①，
的零 点 ，从而利用数 形 结合分析出 的取值范围.
又∵ sin cos ，+则2cos sin =sin sin， 即
13． 3
, ∈ 0，,π sin ≠ 0,sin ≠0
【来源】四川省绵阳市2023届高三三模理科数学试
s将in① s式in两 边≠同0 除于 ，可得 ，
题
cos 2cos
【分析】根据流程图的计算求解.
即 .
sin sin sin + sin =1
2 1
【详解】由题意： ＜ ＜ ，
故答tan 案 + 为ta：n 1 = . 1
， =log23,∴ 1 2 ∴ =2 =
16．
3所以输出值为 ； 3
【来源11】广西贵港市名校2023-2024学年高二上学期
故答案为：3. =3
入学联考数学试题
14．
【分析】由 ，得 ，由 ，
【来源31】四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊
得 =0 ，画=−出3,0,4的图 象结 合=0
断性考试理科数学试题
=， 且−3, ，, 分+情4况求解 即( )可. 0≤
【分析】利用等比数列通项公式，结合 ，可求
【详≤解10】由 ∈ ，得 ，当 时，
得公比 ，进而得到 ，利用等比数 列>求0和公式
的最小值为 ．=0 =−3,0,4 ≥ 0
可求得结 =果2. 1
由 ，−4得 ，即
【详解】设等比数列 的公比为 ，
=0， − =−3,0,4 = −
， ，又 ， ，
2 4 3因, 为, +4 ，所以 ．而 ，
∵ >0 ∴ >0 = 2 =4 ∴ =2 ∴ 1 =
，
当 0≤时 ，≤方10程 −3≤ −3≤ 7 ∈
2
=1
=的0实数解的个 数 分=别 为−33，, 3 ，2=； , =
.
5
1× 1−2
∴故 答 5 案=为：1−2 . =31 当+4 时，方程
∈ 1,2,3 的实数 解 的=个 数−分3别, 为 3，=2，2；
31
, = +4
—14—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}当 时，方程
即 ，解： ，所以 .
2π π
， ∈ 4,5,6,7,8,9,的10实数解的个 数 均=为 2．−3, =
2 =π =1 =2sin 2 +3
由 ，可得
所以 当 = +4时，函数 恰有 π π π 5π
−2+2 π≤2 +3 ≤ 2+2 π ∈Z −12+
，
7个零点 ，∈故1所,2,求3概率为 ． = −
π
3 π≤ ≤12+ π ∈Z
11 当 时， ，
故答案为：
5π π
3 =0 −12 ≤ ≤12
11 所以函数 在 上的单调递增区间为 ；
π π
0,2 0,12
（2）将函数 的图象向左平移
π
=2sin 2 +3
个单位后得
π
0< < 2
，
π π
因为
=2s
为
in
偶
2
函
数
+
，
+3 =2sin 2 +2 +3
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合 ( )
所以 ，即
π π
应用，考查分段函数的性质的应用，解题的关键是
，
0 =2sin 2 +3 =±2 sin 2 +3 =
画出函数图象，结合图象求解即可，考查数形结合
±1
所以 ，即 ，
的思想，属于较难题. π π π π
2 +3 = π+2 ∈Z = 2 +12( ∈ )
又因为 ，所以 ， .
π π
0< < 2 =0 =12
17．（1） ；（2） .
π π
【来源】四 0 川 ,1省2 绵阳市 20 = 21 12 -2022学年高三上学期第
18．(1) 米.
50+25 2+25 6
一次诊断性考试理科数学试题 (2) 米.
2 3
【分析】（1）先由二倍角公式和辅助角公式化简 ， 【来1源+】四3 川 省成都市成华区2022-2023学年高一下
再由正弦函数的单调增区间即可求解； 学期期末数学试题
（2）根据图象的平移变换得出 【分析】（1）根据正弦定理求出三角形边长，可得
=2sin 2 + 三角形周长；
，由 结合 的范围即
π π π
2 可 求 + 解3 . 2 +3 = π+2 ∈Z
（2）在直角梯形 中，过 作 ，
垂足为 ，求出 1 1 2 2 米 ，2 在 直2 角⊥梯 形1 2
【详解】（1）
中，过 1 作1 = 2 = ，垂足为 ，求出
( )= 3(1+cos2 )+s，in2 − 3
π 1 1 2 2 米，再 由 2 2 ⊥ 1 2 可得 结果.
= 3cos2 +sin2 =2sin 2 +3
因为相邻对称轴间距离为 ，所以函数的最小正周期 3
π 【 2 详 解=】3（ 1）因为 1 2+ 2 ，+ 2 ，所
2
， ∘ ∘
以 ， ∠ =75 ∠ =45
π
∘
= 2×2= π
∠ =60
∘ ∘ ∘
sin∠ =sin75 =sin 45 +30
—15—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}∘ ∘ ∘ ∘
=sin45 cos30 +cos45 sin30
.
2 3 2 1 6+ 2
= 2 × 2 + 2 ×2= 4
由正弦定理得 ，得
⋅sin∠
sin∠ =sin∠ = sin∠
米，
6+ 2
50× 4 25
= 3 =25 2+ 3 6 19．(1)答案不唯一，具体见解析
2
， ， ，
2
sin∠ 50×2 50 6 (2) 11 6 13
，
sin∠ =sin∠ = sin∠ = 3 = 3 − 6 5≤ < 9
2 min = 15 65 6
米，
2 − 6 1< <5.
所以该电缆的长度为
【来源】四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊
+ + =50+
米.
断性考试理科数学试题
25 50
2 （ 5 2） 2 在 + 直3角 6 梯 + 形3 6 =50 中 + ， 25 过 2+ 作 25 6 ， 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求
垂足为 ， 1 1 2 2 2 2 ⊥ 1 2 解，
（2）根据第一问可知 的单调性，进而可判断
则 米， ， 米，
1 2 = ∠ 2 2 =30 ∘ 2 = 3 3 在 上恰有两个零 点 ，满足 ，根据 零
所以 米，所以
3 点存0,在3性定理即可列不等式求解0. < <3
2 3
2 =tan30 ∘ = 3 = 1 1 = 2 =
3 【详解】（1）由题意得
米，
′ 2
． ( )= −( +4) +4 =
(当 −4)( 时−， 由) ，函数 在
′ 2
， =4 上单调 (递 )增=．( −4) ≥0 ( ) (−
∞当 +∞时) ，令 ,令
所以正六边形 的边长为 米， ′ ′
1 >或4 <0 ⇒ 4< < >0 ⇒
2 3
1 1 1 1 1 1 3 = 3
在直角梯形 中，过 作 2 ，垂足 故<函4数 >在 ， 上单调递减，在 ， 和
为 ， 1 1 2 2 2 2 ⊥ 1 2 ， ( )上单(4调递 )增． (−∞ 4)
(当 +∞时)，令 ，令
则 米， ，所以
米， 2 = 3 3 ∠ 2 2 =45 ∘ 2 = 3 3 <4 或 ′ <0 ⇒ < <4 ′ >
0函⇒数 < 在(k ，>4)4上单调递减，在 ， ， ，
所以3号塔吊高为 米.
3 3 2 3 上 单( 调) 递增． (−∞ ) (4 +
+ 3 + 3 = 1+ 3
∞（)2）当 或 时，函数 在(0，3)上为单
调函数， 最≤多0只有 ≥一个3 零点． ( )
当 时，函数 在(0，k)上单调递增，在(k，
0< <3 ( )
—16—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}3)上单调递减．
要使函数 在(0，3)上有两个零点，则需满足： 21．(1)证明见解析
( ) ， (2)
且 ， 解得 ．
>0
【来1源,+】∞四川省成都市四七九名校高2023届全真模
13
，
0< <3 0 <0 1< < 9 拟考试（二）理科数学试题
3 <0
∴ ， ．
【分析】（1）根据切线性质可得 ，利用作差法
min =min 0 3 构造函数 ，在 由=导1数判断单调性
又 ，
15
证明 ( )恒=成 (立 )即−可 (得 )出结论；
(3)− (0)= 2 −9
∴当 时， ；当 时， ．
6 6 （2） 将( 不)>等0式变形可得
>5 (3)> (0) <5 (3)< (0)
， ， 2 1
又 ，∴ 11 6 13 e − −cos >2ln +
， ，根据题意可知 ，即
6 13 − 6 5 ≤ < 9
5< 9 min = 15 65 6 0 2 1
2 − 6 1< <5. 1 可得 ，利用（ 1 e ） − 中 0 的结 − 论 cos0> 2ln 0+1 ，
20．(1)475元； >1 ，结合 ∀即 可∈得0,+∞即满e 足≥
2 1
(2) . 题意 + . 2 +1 ln +1 ≤ >1
1
【来2 源】四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第
【详解】（1）证明：因为函数
2
二次诊断性考试文科数学试题
在 处的切线与 轴垂直
(
，
)
所
=
以
−e +( −
，
1) +
【分析】(1)根据给定频数表直接计算平均数作答. ′
因为 =0 ，所以 (0)=0 ，
(2)求出两部手机中有一款甲手机的事件的概率即可 ′ 2 −2 ′
解得 ( )=． e + −1 (0)= −1=0
作答.
=1
当 时， ，
【详解】（1）依题意，
2
=
=1 ( )=−e +1
， 令
2
25×600+40×400+15×500+20×450 +2 1
所以该商场销100售一部手机的 = 平 4 均 75 利润为475元. ( )= (
，
)− ( )=−e +1− 2e =e e −
1 2
（2）消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手
1−2 −
又令 ，则 ，
机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的， 1 2 ′ 1
( )= e −1−2 − ( )= e −2 −2
再令 ，则 ，
所有不同结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，
1 ′
丙丁，共6个结果， 令
( )=
，
e
解
−
得
2 −2
，
( )= e −2
′
从这两部手机获得的利润不低于1000元的事件有： 故 ( )在=0 上 单=调l递n2减，在 上单调递
甲乙，甲丙，甲丁，共3个结果， 增， ( ) 0,ln2 ln2,+∞
所以商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元
则 ，
3
3 2
的概率 . ( )≥ ln2 =2−2ln2= lne −ln4
易知 ，所以 ，即
3 1
3
=6=2 3 3 2 2
e >2.7 =19.683>16= 4 e >4
—17—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}， 等，还要培养灵活运用上
；
3
2 l一n问 +结1论的≤意 识e和≥习 惯+. 1
故( )≥lne 在−ln4>0 上恒成立，所以 在
′
上( 单)调>递0增，0,+∞ ( ) 0,+
22．(1) ，
∞所以 ，即 在
2 1 ； 1: =2 0≤ ≤ 2: =2sin 0≤ ≤
上
恒
(
成
)>
立
，
(0)=0 e > +2 +1 0,+
(2) .
∞所以 ，所以 ， 1
【来2 源】四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第
故函数 ( )>在0 ( )>上 的( 图)象恒在函数 的
一次诊断性考试理科数学试题
图象的上 ( 方)． ∈ 0,+∞ ( )
【分析】（1）分析可知曲线 是以极点 为圆心，以
（2）因为 ，可得
为半径的半圆，结合图形可 得1 到曲线 的极坐标方
2 e ( )−c；os >ln( +1) e −
2 1 2程，设 为曲线 上的任意一点， 根1据三角函数
又因
−
为
cos >2ln +1
，不等式
的定义 可 得, 出曲线 的2 极坐标方程；
∀ 恒∈成0立,+，∞ 2 e ( )−cos >
（2）设 、 2 ，由题意得 ，
l所n以 +1 ，即 ． ，求出 ,以 及 点 ,到 直线 的距 离 =，2利si用n 三 角 形=
0 2 1
令
e −0 −cos0>
，
2l
则
n 0+1 >1
， 2的面积公 式 以及基本 不等式可 求得结果.
′ 1
ℎ( )= ln +1 − ℎ( )= +1−1=− +1
【详解】（1）解：由题意可知，曲线 是以极点
令 ，解得 ．
′ 为圆心，以 为半径的半圆， 1
故ℎ( )在=0 上单 调=递0 增，在 上单调递减，
结合图形可知2，曲线 的极坐标方程为
则ℎ( ) −1,0 ，即 0,+∞．
. 1 =2 0≤
由（ℎ( 1 )）≤可ℎ知(0)=0 ln ， +1 ≤ ．
2 1 设 ≤ 为曲线 上的任意一点，可得
∀ ∈ 0,+∞ e ≥ +2 +1
当 时，
2 1
,
．
2 =2cos 2−
>1 e − −cos −2ln +1 >e −
因此=，2s曲in线 极坐标方程为 ．
2 1
−cos −2ln +1 （2）解：因为 直2 线 =2sin 0≤与 曲≤线 、
2 1 2 1 分别相交于点 、=（ 异0<于 极<点 ）,， ∈ 1
≥ +2 +1 − −cos −2ln +1 =1−
，
1 设2 、 ，由题意得 ， ，
c
所
os
以
+2 −ln +
，
1
不等
≥
式
1−cos ≥ 0
所以 ， , , =．2sin =2
∀ ∈恒0成,+立∞， 2 e ( )−cos >
因为点 到 直=线 −的 距 离=为2−2sin ，
l则n实 数+1的取值范围为 ．
所以， = sin =2sin
【点睛】 方法点睛：对1于,+不∞等式恒成立问题，往往 1 1
△ =2 ⋅ =2 2−2sin ⋅2sin =
，
通过构造函数再利用导数得出函数单调性即可求解，
2
sin +1−sin 1
构造函数过程中要特别关注已有结论的应用，比如 2sin 1−sin ≤2× 4 =2
—18—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}，
当且仅当 时，等号成立，故 面积的
1
因( 为+函 数)−( 的−最2 大)值=为3 ，所以 ，即
sin =2 △
最大值为 .
1 . 6 3 =6 =±
2
2因为 ，所以 ；
23．（1） ；（2）证明见解析.
（2） 由>（01）知， =2 ，
【来源】四2川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第
因为 ， ， + +， =2
一次诊断性考试理科数学试题
>0 >0 >0
所以
【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出 的最大
2= + + = 2+ + 2+ ≥2 2 +
，
值，让最大值等于 即可得 的值；
（2）由（1）知， 6 ， 由 2 当且 2 仅当 时，即 ， 等号成立，
1
+ + =2 2= + + = 2+ 即 2= = =1 = ，所 = 以2
利用基本不等式即可求证.
2
2× ， + 2× ≤2= +
【详 + 解2】 + （ 1）由题意得
当 且 ≤仅当 时，等号成立.
( )= + − −2 ≤
1
=1, = =2
—19—
{#{QQABCQAAogiAAAIAAQhCAwFwCkMQkBACCIoGBAAMsAIAABNABAA=}#}
