山大附中高三年级开学摸底测试
数学试题
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题
目的一项）
1. 已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
= { ∈ ≤ 5} = { | ( − 2) > 0} ∩ =
2. {2已,3知,4} ，则{3,4,5}( ) [2,5) (2,5]
1−
= 2+2 · =
A. B. C. D.
1
3. 4已知向量 ， 若 0 1 ，则( )
A. = (B1.,1) = (1,−1)C. . + // +D .
4. 设 + 函 数 = 1 + 在 区 =− 间 1 单 调 = 递 1 增，则 的取 值 范 =− 围 1 是( )
( − )
A. ( ) =B2. −1,0C. D.
5. (设−曲∞,线−2] [−2,0) ， (0,2] 的离心率[2分,+别∞为) ， 若
2 2
2 2
，则 1: ( 2 + ) = 1( > 1) 2: 4 − = 1 1 2. 2 =
5 1 =
A. B. C. D.
2 3
6. 过3 点 与圆 2 3相切的两条直线的6夹角为 则
2 2
( (0) −2) + −4 −1 = 0 2
sAin. = B. C. D.
15 10 6
7. 1 记 为数列 的前4 项和，设甲： 4 为等差数列：乙4： 为等差数列，
则( ) { } { } { }
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 已知 ，且 ，则 的值为
( ) 2sin ( −4)cos ( + ) = cos 2 sin ≠ 0 tan ( +6)
A. B. C. D.
3
3 3 2− 3 2+ 3
第 页，共 页
1 4
{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}二、多选题（本大题共4小题，共 20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 一组样本数据 ，且成等差数列，其中 是最小值， 是最大值，
则( ) 1, 2,⋅⋅⋅, 6 1 6
A. 的平均数等于 的平均数
B. 2, 3, 4, 5的中位数等于 1, 2,⋅⋅⋅, 6的中位数
C. 2, 3, 4, 5的标准差不小于 1, 2,⋅⋅⋅, 6 的标准差
D. 2, 3, 4, 5的极差不大于 1, 2,⋅⋅⋅, 的6极差
10. 2拉 , 普3, 拉4, 斯 5称赞对数是一项 1“ , 使2,⋅ 天 ⋅⋅, 文 6学家寿命倍增”的发明，对数可以将大数
之间的乘除运算简化为加减运算． 年 月 日至 日，围棋世界冠军柯
洁与 公司开发的程序“ ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来
2017 5 23 27
测试人工智能围棋复杂度的上限约为 ，而根据有关资料，可观测宇宙中
ℎ
361
普通物质的原子总数约为 若两数常用对数之差的绝对值不超过 ，则称
= 3
80
两数“可相互替代”下列 数=值1与0 的. 值“可相互替代”的有( ) 1
参考数据： . ，
A( . lg 2 =B0..301 lg 3 = 0.4C7.7) D.
91 92 93 94
11. 10 已知函数 的定 10 义域为 ， 10 ， 10 则( )
A. ( ) ( B .) = ( )+ ( )
C. (0) 是 = 奇 0 函数 D. (−1 为 ) = 0 的极大值点
12. ( 下 ) 列物体中，能够被整体放入棱长 为 = 0 单位 ( ： ) 的正方体容器 容器壁厚度
忽略不计 内的有( ) 1( ) (
A. 直径为 ) 的球体 B. 所有棱长均为 的四面体
C. 底面直径 0. 为 99 ，高为 的圆柱体 1.4
D. 底面直径为 0.01 ，高为 1.8 的圆柱体
三、填空题（本
1
大
.2
题
共4小题
0.0
，
1
共 20.0分）
13. 某学校开设了 门体育类选修课和 门艺术类选修课，学生需从这 门课中
选修 门或 门课，则不同的选课方案共有 种 用数字作答 ．
4 4 8
14. 在2 正四棱3 台 中， ， ( ， ) ，则该棱
台的表面积为 − 1 1 1 1 = 2 1 1 = 1 1 = 2
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2 4
{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}15. 已知函数 在区间 有且仅有 个极值点，则
的取值范围是 ．
( ) = cos −1( > 0) [0,2 ] 3
16. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，点 在 上，
2 2
点 在 轴上， : 2 − 2 =，1( > 0, >，0)则 的离心率为 1 ． , 2
3
四、 解 答题（本 1大 ·题 1共 =6 小0 题 ， 共2 =705. 0 分 。解 答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤）
17. 本小题 分
已知在 中， ， ．
( 10.0 )
求 ；
△ + = 3 2sin( − ) = sin
设 ，求 边上的高．
(1) sin
(2) = 5
18. 本小题 分
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点．
( 12.0 )
证明：
− ⊥ =
若 是边长为 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角
(1) ⊥ ;
的大小为 ，求三棱锥 的体积．
(2) △ 1 = 2 −
− 45° −
19. 本小题 分
已知函数 ．
( 12.0 )
讨论 的单调性；
( ) = + −
(1)证明： ( 当) 时， ．
3
(2) > 0 ( ) > 2ln +2
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3 4
{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}20. 本小题 分
设等差( 数列 12的.0公差) 为 ，且 令 ，记 ， 分别为数列 ，
2
+
的前 项和．{ } > 1. =
若 ， ，求 的通项公式
(1) 若 3 2为 = 等 3 差1数 + 列 3，且 3 + 3 = 21 ， 求 ;
(2) { } 99 − 99 = 99 .
21. 本小题 分
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 代，
( 12.0 )
经过一次繁殖后为第 代，再经过一次繁殖后为第 代 ，该微生物每代繁殖的
0
个数是相互独立的且有相同的分布列，设 表示 个微生物个体繁殖下一代的个
1 2 ……
数， ．
1
已 知 ( = ) = ( = 0,1,2,3) ，求 ；
(1)
设 表
示0
=
该
0
种
.4
微
,
1生
=
物
0
经
.3
过
,
2多
=
代
0
繁
.2,
殖
3后
=
临
0
近
.1
灭绝
的
(
概
)
率， 是关于 的方程：
(2) 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 0 +
2 3
1时 + ， 2 + ； 3 = ( ) ≤ 1 = 1 ( ) >
根据你的理解说明 问结论的实际含义．
1 < 1
(3) (2)
22. 本小题 分
已知点( 在12双.0曲线) 上，直线 交 于 ， 两点，直线
2 2
2 2
的 (斜2,1率)之和为 ． : − −1 = 1( > 1)
求 的斜率；
, 0
(1)若 ，求 的面积．
(2) tan∠ = 2 2 △
第 页，共 页
4 4
{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}数学答案和解析
1-8. 9. 10. 11. 12.
13. 1 4 . 1 5 . （注 ： x =0不和 题 意） 16.
3 3 5
84 5+3 7 [2,2) 5
17.【答案】解： ， ，解得 ．..........1分
(1)∵ + =3 ∴ − =3 = 4
可化为 ，即 ，
3
∴2sin( − )= sin 2sin( −4)= sin( −4− ) 2sin( −4)= sin( 4 − )
展开得： ，整理得 ，..........3分
2 2
2sin − 2cos = 2 cos + 2 sin sin =3cos
将 代入 ，得 ， ， ．.....5分
1 2 2 10 2 2 9 3 10
cos =3sin sin +cos =1 9 sin =1 ∴sin =10 sin = 10
由 知 ， ， ，
3 10 1 10
(2) (1) sin = 10 cos =3sin = 10 =4
．..........7分
2 3 10 2 10 2 5
∴sin =sin +4 = 2 × 10 + 2 × 10 = 5
又 ， ，..........9分
2 5
sin 5× 5
∵ sin =sin ∴ = sin = 2 =2 10
2
边上的高 ．..........10分
3 10
∴ 1 8. 【答案】 ℎ=证 明 ：sin =2 10，× 10 =6
是以(1)为底的等∵ 腰 三=角 形 ，又 为 的中点， ，..........2分
∴平△面 平 面 ，且平面 平∵面 ， ∴ 平 面⊥ ， 平面 ，
∵平面 ，⊥ ．...... . .. .∩4分 = ⊂ ∴ ⊥ ∵ ⊂
解 ： 以 为∴坐 标⊥原 点 ， 为 轴， 为 轴，垂直 且过 的直线为 轴，建立空间直角坐标系．
(2) ∵△
是边长为 的等边三角形， ， ， ，..........6分
3 1
1 ∴ 2 ,2,0 0,1,0 0,−1,0
不妨设 ， 点 在棱 上， ， ，
1 2
0,0, ( >0) ∵ =2 ∴ (0, 3, 3 )
， .......7分
4 2 3 3
∴设 B 向 E 量= 0, 3, 3 为 B C 平=面 2 ,2的,0法向量，
设 =，则 , , ， ， 即 ..........8分
2 2
= 3 =−1 = = 3,−1,
显然 是平面 的法向量， 二面角 的大小为 ， ，即
→ →
| · | 2
O A = 0,0, ∵ − − 45° ∴ → → = 2
，解得 舍去 ，..........10分 | |·| |
2 2
| · 4+ 4 2 |= 2 =1( −1)
数学答案第 1页 共4页
{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}．..........12分
1 1 1 3 3
∴ 1 9. 【 − 答 案=】3解 △ ： ·OA′=3×2×2× 2，×..1..=...6...1分
当 时 ′ (1) ( )，= 在−1 单调递减，
当 =0时 ( )=，−1′<0 (， ) (−在∞,+∞) 单调递减，
当 <0时， 令<′0 ( ，)<0 ( )，(−∞,+∞) 时， ′ ， 单调递减．
>0 时( ′)=0 ，=−ln 单调 递∈增(−，∞故,−当ln ) 时 (在 )<0 ( ) 单调递减，
当 ∈ (−ln时 ，,+∞)在 区间( )>0 ( )单调递减，在区 间≤0 ( ) (单−调∞递,+增∞．)..........5分
由>0 知当 ( ) 时，(−∞在,区−间ln ) 单调递减(−，l在n 区,+间∞) 单调递增故
(2) (1) >0 ( ) ，(.−..∞..,.−..ln. .7) 分 (−ln ,+∞) .
2
令 ( )min = −ln = +ln +1 ，..........8分
2 3 2 1
( )= +ln +1 − 2ln +2 = −ln −2
′ ，令 ′ ，因为 ，故 ， 在区间 单调递减，在区间
2
2 −1 2 2 2
单( 调)递=增 ，.... ....(. .)1=0分0 >0 = 2 ( ) (0, 2 ) ( 2 ,+
∞)
，即 时 恒成立，即 ，即当
2 2 3
( )min = 2 =−ln 2 >0 >0 , ( )> 0 ( )min >2ln +2 >0
时， ．..........12分
3
( )> 2ln +2
20【. 答案】解：因为 ，故 ，即 ，故 ，所以
2
+
3 2 =3 1+ 3 3 = 3 = 1+2 1 = = = =
， ，..........2分
+1 ( +1)
= 2
，又 ，即 ，即 ，故 或 舍 ，
( +3) 3×4 3×6 2 1
故 = 的2 通项公式 3 为 + ： 3 =21 ....2...+...24 分=21 2 −7 +3=0 =3 =2( )
{方 法} 一： 基本量法 =3 .
(2) ( )
若 为等差数列，则 ，即 ，即 ，所以
2×3 1×2 3×4 2 2
或 { } ......... 2 . 6 2 分= 1+ 3 2× 1+ = 1 + 1+2 1−3 1 +2 =0 1 =
1 =2 ;
当 时， ， ，故 ， ，又 ，
+1 ( +1) ( +3)
1 = = = = 2 = 2 99− 99 =99
即 ，即 ，所以 或 舍 ..........8分
99⋅100 99⋅102 2 51
2 − 2 =99 50 − −51=0 =50 =−1( );
当 时， ， ，故 ， ，又 ，
( +3) ( +1)
1 =2 =( +1) = = 2 = 2 99− 99 =99
即 ，即 ，所以 舍 或 舍 ..........10分
99⋅102 99⋅100 2 50
2 − 2 =99 51 − −50=0 =−51( ) =1( );
数学答案第 2页 共4页
{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}综上： ..........12分
51
方法二： =50.
因为 为等差数列且公差为 ，所以可得 ，则
{ } = + 1−
..........5分
2
+ ( +1)⋅
解 法=一 ：+ 因1−为 = 为+ 等1−差 数列，根据等差数列通项公式可知 与 的关系满足一次函数，所以上式
{ }
中的分母“ ”需满足 或者 ，即 或者
+ 1− 1− =0 1− =1 1 = 1 =2 ;
解法二：由 可得， ， ， ，因为 为等差数列，
2
+ ( +1)⋅ 2 6 12
= + 1− = + 1− 1 = 1 2 = 1+ 3 = 1+2 { }
所以满足 ，即 ，两边同乘 化简得
2 12 6 2
， 解 1+ 得 3 =2 或 2 者 1+ 1+2. .. = .. 2 . ⋅ . .1.+. 7分 1( 1+ )( 1+2 ) 1−3 1 +
2
因2 为=0 ， 均 1为=等 差数列 1，=所2以 ; ， ，则 等价于
，.{. . .}..{. . .}.8分 99 =99 50 99 =99 50 99− 99 =99 50− 50 =
①1
当 时， ， ，则 ，得
1 51
1 = = = ( +1) 50− 50 =50 − =1
，解得 或者 ，因为 ，所以
2 51 51
50 − −51= 0 ⇒(50 −51)( +1)= 0 =50 =−1 >1 =50;
②当 时， ， ，则 ，化简得
1 50
1 =2 = ( +1) = 50− 50 =51 − =1
，解得 或者 ，因为 ，所以均不取
2 50
51 − −50= 0 ⇒(51 +50)( −1)=0 =−51 =1 >1 ;
综上所述， ..........12分
51
21.【答案】 =50. ．..........2分
设 (1) ( )=0×0.4+1×0.3+，2×0.2+3×0.1=1
3 2
因(2)为 = 3 + 2 +， 故1−1 + 0 ，
3 2
若 3+ 2，+则 1+ 0 =1 ，=故 3 + 2 − ． 2.+.. .0.+.. .3.. 4+分 0
′ ≤1 1+2 2+3 3 ≤1 ，2+2 3 ≤ 0
2
因为 ′=3 3 +2 2 − 2+ 0，+ ′3 ，
故 ′ 有0 两=个−不 2同+零 点0+ 3 ，<且0 1 = 2+，2 3− 0 ≤0
且 1时, ，2 ′ 1 <0<；1 ≤ 2 时， ′ ；
故 ∈ 在−∞, 1 ∪ ， 2,+∞ 上 为增 函数>，0 在 ∈ 1,上 2为减函 数， ..<..0......6分
−∞, 1 2,+∞ 1, 2
数学答案第 3页 共4页
{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}若 ，因为 在 为增函数且 ，而当 时，因为 在 上为
减函 2数=，1故 2,+∞ ，故 为 1 =0 ∈ 0, 2 的一个最 小 正实 根1,， 若2
2 3
，因为 >且 在 2 = 上1 为=减0函数1，故 0+为 1 + 2 + 3 = 的一个最小正实 根2，>
2 3
综1 上，若 1 =0 ，则0, 2 ．..........8分1 0+ 1 + 2 + 3 =
若 ， 则≤1 =1 ，故 ．此时 ′ ，
′ >1 1+2 2+3， 故3 >′1 有 2两+个2不 3同>零 0点 ， 且0 =− 2+ 0+， 3 <0
且 1 = 2+2 3− 0 >时0 ， ′ ； 时 3,， 4′ 3 <0；< 4 <1
故 ∈ 在−∞, 3 ⋃ ，4,+∞ 上 为增 函>数0，在 ∈ 3, 上4 为减函 数， <0
而 −，∞故, 3 4,+，∞又 ，故 3, 4 在 存在一个零点 ，且 ．
所以 1为=0 4 <0 0 =的 一0个>最0 小正 实 根，0此, 时4 ， <1
2 3
故当 0+ 时1 ，+ 2 ．+ ..3 ...=.. ...10分 <1
意 义 ：每>一1 个该 种<微1生物繁殖后代的平均数不超过 ，则若干代后必然临近灭绝，若繁殖后代
(的3)平均数超过 ，则若干代后还有继续繁殖的可能．..1........12分
1
22.【答案】解： 将点 代入双曲线方程得 ，化简得 得：
4 1 4 2
(1) 2− 2 −1=1 −4 +4=0
，故双曲线方程为 ..........1分
2
2 2
由 题=显2然直线 的斜率存在2，−设 =1; ，设 ， ，则联立直线与双曲线得：
: = + ( 1, 1) ( 2, 2)
， ，故 ， ，......3分
2
2 2 2 4 2 +2
(2 −1) +4 +2 +2=0 △>0 1+ 2 =−2 2 −1 1 2 = 2 2 −1
，化简得：
1−1 2−1 1+ −1 2+ −1
+ = 1−2+ 2−2 = 1−2 + 2−2 =0 2 1 2+( −1−2 )( 1+ 2)−
，故 ，
2
2 (2 +2) 4
即4( −1)= 0 2 2 −1 ，+而( 直−线1不−过2 )点(−，2故 2 −的1斜)−率4( −1．)=..0........6分
( +1)( +2 −1)= 0 =−1
设直线 的倾斜角为 ，由 ，得 ，
∠ 2
(2) tan∠ =2 2 tan 2 = 2
由 ，得 ，即 ，..........8分
1−1
2 +∠ = =tan = 2 1−2 = 2
联立 ，及 得 ， ，
2
1−1 1 2 10−4 2 4 2−5
同理， 1−2= 2 ，2 − 1 =1 ， 1 故 = 3 1 ， = 3 ..........10分
10+4 2 −4 2−5 20 68
2 = 3 2 = 3 1+ 2 = 3 1 2 = 9
而 ， ，由 ，得 ，
2 2
| |= 3| 1−2| | |= 3| 2−2| tan∠ =2 2 sin∠ = 3
故 ． ..........12分
1 16 2
△ =2| || |sin∠ = 2| 1 2−2( 1+ 2)+4|= 9
数学答案第 4页 共4页
{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}
