文档内容
上饶市一中 2023-2024 学年上学期高三第一次月考
数学试卷
考试时间：2023年10月 考试时长：120分钟 满分：150分
命题人：胡晓艳 审题人：孙晶晶
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效.
3.考试结束后，上交答题卡.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.已知函数 在区间 上递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.函数 的图象大致为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为 ， ，
，则 （ ）
A. B. C.4 D.
7.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后
劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫米/升）与
过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系为 ，其中 为常数， ， 为原污染物数
量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气
中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据： .
A.9% B.10% C.12% D.14%
8.已知 ， ， 则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知 、 、 、 均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ，则
10.函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.
B. 的图象关于直线 对称
C.将 的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象关于原点对称
D.若 在 上有且仅有一个零点，则
11.已知定义在R上的函数 ，其导函数 的定义域也为R.若 ，且 为奇
函数，则（ ）
A. B. C. D.
12.定义在R上的函数 的导函数为 ，且 ，则对任意 ，下列结论成立的
是（ ）
A. B.
C.不存在 ， ，使得 D.存在 ， ，使得
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数 ，则 ______.
14.已知命题 ： ，命题 ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范
围是______.
学科网（北京）股份有限公司15.已知 ， 且 ，则 的最小值为______.
16.已知定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式
的解集为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.等比数列 的各项均为正数，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18.已知函数
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）函数 在区间 内有三个零点，求 的取值范围.
19.如图，在多面体 中， 平面 ，平面 平面 ，其中 是边长为2的正
三角形， 是以 为直角的等腰三角形， .
（1）证明： 平面 .
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
20.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠
学科网（北京）股份有限公司地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，
测得在平面凹四边形 （图2）中， ， ， .
图1 图2
（1）若 ， ，求平面凹四边形 的面积；
（2）若 ，求平面凹四边形 的面积的最小值.
21.某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润 （单位：万元）与投
资成本 （单位：万元）满足： （ ， 为常数， ， ）；乙产品的平均成本利
润 （单位：万元）与投资成本 （单位：万元）满足： .已知投资甲产品为1万元，10万
元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元.（ ）
（1）求 ， 的值；
（2）若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这
50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？（参考数据： ， ）
22.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围.
高三第一次月考数学参考答案与解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A D C D B C C BCD ABD ACD BD
学科网（北京）股份有限公司13. 14. 15. 16.
一.选择题（共9小题）
1.【分析】解不等式求出集合 ，再利用集合的运算求出各选项的结果进行验证.
【解答】解：由题意可得 ， ，
则 ， ， ，所以 ，
， ， ，故选：D.
【点评】本题考查了集合的运算，是基础题.
2.【答案】A
【解析】
【分析】通过不等式性质分别求解出 与 的范围，从而再进行判断.
【详解】由 ，可得 或 ，即 或 ，
由 ，可得 或 ，即 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A.
3.【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦的和差公式对原式进行展开，平方后再利用 ， ，
去进行整理可得 .
【详解】因为 ，所以 ，平方后可得
，整理得 ，所以 .故选：D.
4.【分析】由题意知函数 是由 和 复合而来，由复合
函数单调性结论，只要 在区间 上单调递增且 即可.
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：令 ，由题意知： 在区间 上单调递增且 ，
，又 解得：
则实数 的取值范围是 .故选：C.
【点评】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本.
5.【分析】先检验函数图象的奇偶性，然后检验 和 即可判断.
【解答】解：根据题意， 的定义域为 ，可得 .
故 为奇函数，排除A，令 ，解得 ，排除C，
当 时， ，排除B.故选：D.
【点评】本题考查了函数图象的变换，是基础题.
6.【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.
【解答】解：因为 的面积为 ， ，
所以 ，即 .
所以 ，所以 .故选：B.
【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于基础题.
7.【分析】根据题意可得 ，解得 ，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系
式，再将 代入即可求得答案.
【解答】解：因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，
所以 ，即 ，所以 ，
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为
学科网（北京）股份有限公司，
所以废气中污染物的残留量约为原污染物的12%.故选：C.
【点评】本题考查了指数的基本运算，也考查了函数在生活中的实际运用，属于中档题.
8.【分析】 ， 之间的比较通过构造函数， ， 之间的比较通过乘方运算.
【解答】解：令 ，则 ，
由于 ，即 ，
所以 ， 在 上单调递增，又 ，所以当 ， ，
所以有 ，即 ，即 ，由于 ，
要比较 ， ，只需比较 和 ，只需比较 和 ，
只需比较e和 ，由于 ，所以 ，所以 .故选：C.
【点评】本题主要考查对数的大小比较，属中档题.
9.【分析】由不等式的性质逐一判断即可得出结论.
【解答】解：A中，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
即 ，故A不正确；
B中，∵ ， ，∴ ，即 ，故B正确；
C中，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，故C正确；
D中，由 ，可知 ，∴ ， ，∴ 成立，故D正确.故选：BCD.
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.
学科网（北京）股份有限公司10.【答案】ABD
【解析】
【分析】由最值求 ，由周期求 ，再由 ，可求 ，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数
的性质检验各选项即可判断.
【详解】由题意可得， ， ，故 ， ， ，A正确；
又因为 ，故 ， ，
所以 ， ， 所以 .
对于B，当 时， ， 的图象关于直线 对称，B正确；
对于C，将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到的图象不关于原点对称，C错误；
对于D， 在 上有且仅有一个零点
， ，∴ ，∴ ，D正确.故选：ABD.
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可以推出 的周期以及对称中心，根据 ，
可得 的周期是4，又 是由 向左平移1个单位得到的，且注意到 为奇函数，因此
的对称中心为 ；然后对每一选项逐一验证判断即可.
【详解】对于A选项：注意到 ，又 是由 向左平移1个单位得到
学科网（北京）股份有限公司的，且注意到 为奇函数，因此 的对称中心为 即 ，因此 ；
故A选项符合题意.
对于B选项：令 ，此时 满足题意，但 ，故B选项不符
题意.
对于C选项：因为 的对称中心为 ，所以 ，又已知 ，
所以 ，这表明了 关于直线 对称，即 ，由复合函数求导法
则且同时两边对 求导得 ；故C选项符合题意.
对于D选项：由 的对称中心为 ，即 ，两边对 求导得
，结合C选项分析结论 ，可知
，所以 这表明了 的周期为
4，因此 ，注意到 ，所以
；故D选项符合题意.故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面： 的周期以及对称中心并举反例排除B选项；
另一方面：得出 的对称轴，进而求出 的奇偶性、周期性.
12.【分析】构造函数 ，由题意得 在R上恒成立，即 在R上单调递增，逐一
分析选项，即可得出答案.
【解答】解：令 ，则 ，
∵ ，∴ ，所以 在R上恒成立，
且 不恒为0，∴ 在R上单调递增，
对于A：∵ ，即 ，即 ，但不能推得 ，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司对于B：∵ ，∴ ，即 ，即 .故B正确；
对于C：假设 ，则 ，
又 在R上单调递增，∴ ，
取 ， 能使等式成立，故存在 ， ，使得 .故C错误；
对于D中，存在 ， ，使得 （如 ， 满足 且 ），
则 ，即 ，即 ，故D正确.故选：BD.
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.【答案】
【解析】
【分析】根据导数的运算法则及复合函数求导的知识求得正确答案.
【详解】由于 ，
所以 .故答案为：
14.【分析】分别求出关于 ， 的不等式，根据充分必要条件的定义，求出 的范围即可.
【解答】解：由 ，解得： ，得 ： ；
由 ，解得： ，故 ： ，若 是 的必要不充分条件，
即 ，故 ，解得： ，故答案为： .
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题.
15.【答案】
【解析】
【分析】令 ， ，将已知条件简化为 ；将 用 ， 表示，分离常数，再使
用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值.
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：令 ， ，因为 ， ，所以 ， ，
则 ， ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， ，即 时取“=”，所以 的最小值为 .
16.【分析】构造函数 ， ，由题意可得 在 上单调递减，不等式转化
为 ，利用 单调性，即可得出答案.
【解答】解：令 ， ，则 ，
所以当 时， ，即当 时， ，
所以 在 上单调递减，又 ，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以原不等式的解集为 .故答案为： .
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性解不等式，化归转化思想，
属中档题.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）由 化简 ，可得到 的通项公式，求出 的通项公式，利
用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列 的公比为 ，
由 得 ，所以 .由条件可知 ，故 .
由 得 ，所以 .故数列 的通项公式为 .
（2） .
故 .
所以数列 的前 项和为
18.【分析】（1）先化简 ，得 ，利用周期公式
可得周期，由正弦函数性质知在 ， 上递减，即可求减区间；
（2）应用整体法求 的区间，再由正弦函数的零点列出不等式求解即可.
【解答】解：（1）因为 ，
所以 的最小正周期 ，
∵ ， ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的单调递减区间为 ；
（2）因为当 时， ，所以 ，
化简得 ，即 的取值范围 .
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题
19.【分析】（1）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判定定理求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【解答】解：（1）取 的中点 ，连接 ， .
因为 是边长为2的正三角形，所以 ，且 .
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）过点 作 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建
立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，故 ，
， ， .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，所以平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题.
20.【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得 ，然后利用余弦定理，同角关系式及三角形面积公式即得；
（2）利用余弦定理及基本不等式可得 ，进而可得平面凹四边形 面积的最小值.
【小问1详解】
如图，连接 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理，得， ，
在 中， ， ， ，
，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，又 ，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）知， ， 中， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴当且仅当 时，平面凹四边形 面积取得最小值 .
21.【分析】（1）根据投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润列出方程，即可求得答案；
（2）设甲产品投资 万元，乙产品投资 万元，由此列出获得利润的表达式，利用导数求得最大值，
可得答案.
【解答】解：（1）由题意知， ，
整理得 ，解得 ， ；
（2）设甲产品投资 万元，乙产品投资 万元，且 ，
则该公司获得的利润 ， ；
则 在 上单调递减，
令 ，解得 或 （舍去），
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
∴ ，
∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.
【点评】本题考查了函数的实际应用，属于中档题.
22.【答案】（1）答案见解析（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导后分 和 两种情况讨论导数的正负，从而可求出其单调区间，
（2）由 ，得 ，令 ，则有
对 恒成立，判断出 在 单调递增，则转化为
对 恒成立，构造函数 ，利用导数求出其最大值，从而
可求出实数 的取值范围.
【小问1详解】
依题意，得 .当 时， ，所以 在 单调递增.
当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减.
综上所述，当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在
单调递减.
【小问2详解】
因为当 时， ，所以 ，
即 ，即 ，
即 .
学科网（北京）股份有限公司令 ，则有 对 恒成立.
因为 ，所以 在 单调递增，
故只需 ，即 对 恒成立.
令 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 .因此 ，所以 .
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问
题转化为 ，构造函数 ，则 对
恒成立，再利用函数的单调性进一步转化为 对 恒成立，再次构
造函数，利用导数可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.
学科网（北京）股份有限公司、
学科网（北京）股份有限公司
