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参 考 答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.答案：B
解析：因为 ， ，
，所以 .
2.答案：C
解析：因为函数 ，所以 .因为函数 在
单调递增，所以 在 恒成立，即 在 恒成立，易知 ，
则 在 恒成立.设 ，则 .当 时， ，
单调递增，所以在 上， ，所以 ，即 ，故选C.
3.答案：A
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
解析：向量 ， ， 向量CB ABAC (2,2)，
.
4.答案：B
a 3
解析：用特殊值法，显然 1 .
a 3
若 ，则又有 1 ，矛盾；
a 3 a 7
若 ，则 2 ， ， 5 ，
a 6
因为 是一个递增数列，所以 4 ；
a 3
若 ，则 3 ，矛盾.
综上， .
5.答案：B
学科网（北京）股份有限公司解析：由根与系数的关系得tantan3 3,tantan4，
，
tantan 3 3
tan() 3
1tantan 14 .
又 ，且 ，
.
6.答案：A
解析：因为PA，PB，PC两两垂直，所以以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
A(2,0,0) C(0,0,2)
设 ，则 ， ， ， ， ，
，所以 ， ， .设平面PEF的法向量为
，则 取 ，则 ， ，所以平面PEF的一个法
向量为 .设直线AF与平面PEF所成的角为 ，则
.故选A.
7.答案：D
解析：由 ， ，得 ， ， ，当 时，
，所以 ， .
8.答案：B
解析：设正方体的棱长为2，则 ， ， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司.设向量 是平面AEF的法向量，则 取 ，
则 ， ，所以 是平面AEF的一个法向量.经检验可知，A，C，D
选项中的向量均不与 共线.故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.答案：ABC
解析：取 ，则 ，故A正确；取 ，则 ，所以
，故B正确；取 ，则 ，所以 ，取 ，
则 ，所以 ，所以函数 为偶函数，故C正确；
由于 ，且函数 为偶函数，所以函数 的图象关于y轴对称，所以
f(x) f(x)
可能为函数 的极小值点，也可能为函数 的极大值点，也可能不是函数
的极值点，故D不正确.综上，选ABC.
10.答案：BCD
解析：对于A:当 时， ，即 ，所以A不正确；
对于B：若 ，则 ，
即 ，
可得 或 ，此时 ，故B正确；
对于C：若“ ”，则 ，
若“ ”，则 ．
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以C正确；
对于D：角 的终边在第一象限，则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司当 在第一象限时， ；
当 在第三象限时，则 ．
则 的取值集合为： ，所以D正确．
故选BCD．
11.答案：AD
解析：对于A，k不可能为0正确；对于B，a 1时， 为等差数列，但不是等差比
n
数列，故B错误；对于C，当等比数列的公比为1，即为常数列时，不符合题设，故C
错误；对于D，数列0，1，0，1，0，1，…，0，1是等差比数列，且有无数项为0，
故D正确.故选AD.
12.答案：ABD
ABCDABC D
解析：如图，由正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为2，可知 ，又侧棱
AA 1 B
1 ，可得 ，则当点P与点 1重合时 ，此时点P唯一，故A正确.
PD 3
若 ，则 ，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确.
DA ADC // AC
连接 1， ，可得平面 1 1 平面 ，则当P为 1 1的中点时，DP有最小值
为 ，故C错误.
BDDB
由C知，平面BDP即为平面 1 1，平面BDP截正四棱柱 的外接球所
1 3
22 22 12
得平面图形为外接球的大圆，其半径为2 2，面积为 ，故D正确.
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.答案：
解析： ，当 时， 为减函数，
所以当 时，函数 的值域为 ，
当 时， ， ，则 的值
域为 ，
因为存在 ， ，使 成立，
所以 ，
若 ，则 或 ，即 或 ，
所以若 且 ，则
故答案为：
14.答案：4
解析：将 展开，得到 ，
令 ，解得 ，
则 ，得 ，
所以 ，
当且仅当“ ”时，取得等号，
故 取得最小值4．
故答案为：4．
15.答案：
解析：解： ，
因为正数a，b满足 ，所以 ，所以 .
16.答案：
学科网（北京）股份有限公司解析：在 中，由正弦定理知 .因为 ，
椭圆离心率 ，所以 ，即 .①
又因为点P在椭圆上，所以 ，
将①代入可得 .
又 ，所以两边同除以a得 .
又 ，所以 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）(1)答案：
解析：设数列 的公差为d， ， ，
， ，
，
．
(2)答案：
解析：(2)由(1)可知 ，
数列 的前n项和为 ，
，
两式作差，得
，
．
18.（12分）答案：（1）圆C的方程为
解析：设圆C的方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司依题意得 解得
所以圆C的方程为 .
（2）答案：不存在这样的实数a，使得过点 的直线l垂直平分弦AB
解析：假设符合条件的实数a存在.
由（1）得圆心C为 ，因为直线l垂直平分弦AB，
所以圆心 必在直线l上，
所以直线l的斜率 .
又 ，所以 .
又圆C的半径 ，圆心C到直线 的距离 ，
所以不存在这样的实数a，使得过点 的直线l垂直平分弦AB.
19.（12分）答案：（1）证明见解析
解析：因为 ，D是BC的中点，所以 .
如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射
线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，
O(0,0,0) A(0,3,0) B(4,2,0) C(4,2,0) P(0,0,4)
则 ， ， ， ， ，
(cid:2) (cid:2)
AP(0,3,4) BC (8,0,0)
所以 ， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 .
（2）答案：证明见解析
解析：因为 平面 ， 平面ABC，所以 .
因为 ， ，所以 .
因为M为AP上一点，且 ，所以 .
由（1）得 ，所以 .
又 ，所以 .
所以 ， .
设平面BMC的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，所以 .
设平面AMC的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，所以 .
所以 ，
所以 ，所以平面 平面BMC.
20.（12分）答案：(1)
解析：因为数列 是公差为2的等差数列，且以 ， ， 为边长的三角形是直角
三角形，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 或 （舍），
所以 ；
答案：(2)
解析：由（1）得 ，
所以
，
故 .
21.（12分）答案：（1）
解析：因为 ，所以 ，
又因为 ， 所以化简为 ，
所以直线l的参数方程为 (t为参数)
由 消去 得： ，
所以曲线C的普通方程 .
答案：（2）
解析：由 知 与 反向，所以点 在圆内联立直线l的参数方程
和曲线C的普通方程，可得 ，
设A，B对应的参数分别为 ， 故 ，
由 ，解得 ，
又因为 ，由于 ，代入①②得 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 (符合m的取值范围).
22.（12分）答案：（1）函数 的最大值为 ，最小值为-3.
解析：据题，得 ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以函数 的最大值为 ，最小值为-3.
（2） ， 增区间为
解析：据题， ，
结合该函数为偶函数，得到 ，得 ， ，
结合 ，得到 ，
此时， ，
令 ，解得 ，
从而得到其增区间为 .
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