文档内容
第1 ⻚（共8 ⻚）
第2 ⻚（共8 ⻚）
学科⽹（北京）股份有限公司
绝密★启⽤前
六校联合体2025-2026 学年度第⼀学期期中考试试卷
⾼⼀数学
⼀、选择题
1．下列各选项正确的是( )
A．0 ∉ ∅
B．∅= {0}
C．∅⊆{0}
D．0 = {0}
【答案】C
【解析】对于A，空集不含任何元素，故0 ∉ ∅，故A 错误；对于B，空集是任何集合的⼦集，⽽
集合{0}含有元素0，故B 错误，C 正确；对于D，0 ∈{0}，故D 错误；故选：C
2．已知命题
:
0
p
x
，
2
3
2
0
x
x
≥
则( )
A．p 是真命题，
2
:
0,
3
2
0
p
x
x
x
B．p 是真命题，
2
:
0,
3
2
0
p
x
x
x
≤
C．p 是假命题，
2
:
0,
3
2
0
p
x
x
x
D．p 是假命题，
2
:
0,
3
2
0
p
x
x
x
≤
【答案】C
【解析】由𝑥2 ―3𝑥+2⩾0，得𝑥⩽1 或𝑥⩾2 ，则当1 < 𝑥< 2时，𝑥2 ―3𝑥+2 < 0，故𝑝是假命题，¬𝑝：
∃𝑥> 0，𝑥2 ―3𝑥+2 < 0。故选：C
3．已知集合
}
2
{ |
A
x x
x
Z
且
，
2
}
4
{
1
|
B
x x
，则𝐴∩𝐵= ( )
A．{ ―1 ，1 }
B．{ ―1 ，0，1 }
C．{0}
D．{ ―2，―1 ，0，1 ，2}
【答案】A
【解析】∵𝐴= {𝑥∣|𝑥| < 2且𝑥∈𝐙} = { ―1 ，0，1 }，𝐵=
𝑥| 𝑥2 > 1
4
=
𝑥| 𝑥> 1
2或𝑥< ―1
2 。
∴𝐴∩𝐵= {1 ，―1 }。故选：A
4．已知全集𝑈= 𝐑，集合𝐴= { 𝑥|log2𝑥⩽2 }，则U A ( )
A．(4，+∞)
B．[4，+∞)
C．( ―∞，0) ∪[4，+∞) D．( ―∞，0] ∪(4，
+∞)
【答案】D
【解析】由log2𝑥⩽2 ，即log2𝑥⩽log24，所以0 < 𝑥⩽4 ， 所以𝐴= { 𝑥|log2𝑥⩽2 } = {𝑥|0 < 𝑥⩽4 }，⼜全
集𝑈= 𝐑，所以∁𝑈𝐴= ( ―∞，0] ∪(4，+∞)。故选：D
5．下列函数中，既是偶函数，⼜是( 0，+ ∞)上的严格减函数的是( )
A．
cos
y
x
B．
1
3
y
x
C．
e
x
y
D．
ln 1
y
x
【答案】C
【解析】对于A，易知𝑦= cos𝑥的定义域为R，且满⾜cos( ―𝑥) = cos𝑥，因此𝑦= cos𝑥为偶函数，但
在(0，+ ∞)上不是严格减函数，即A 错误；
对于B，函数𝑦= 𝑥
1
3的定义域为R，但( ―𝑥)
1
3 = ―𝑥
1
3，因此𝑦= 𝑥
1
3为奇函数，所以B 错误；
对于C，函数𝑦= e―|𝑥|的定义域为R，满⾜e―|―𝑥| = e―|𝑥|，因此𝑦= e―|𝑥|为偶函数，
当𝑥∈(0，+ ∞)时，𝑦= e―|𝑥| = e―𝑥=
1
e
𝑥
为严格减函数，即C 正确；
对于D，𝑦= ln(𝑥+ 1 )的定义域为( ―1 ，+ ∞)，显然定义域不关于原点对称，不为偶函数，即D
错误。
故选：C
6．如图，已知⼆次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象顶点在第⼀象限，且经过
-1 0
A（，）、
B
0,1
（
）两个点。则下列说法正确的是：( )
①𝑎𝑏𝑐< 0；
②―1 < 𝑎< 0；
③0 < 𝑏< 1 ；
④0 < 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 2。
A．①②
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【解析】由图象可知⼆次函数图象开⼝向下，则𝑎< 0，图象与𝑦轴交点为𝐵( 0，1 )，所以𝑐
= 1 > 0，
顶点在第⼀象限，对称轴𝑥= ― 𝑏
2𝑎> 0，⼜𝑎< 0，所以𝑏> 0，所以𝑎𝑏𝑐< 0，①说法正确；
因为图象经过𝐴( ―1 ，0 )、𝐵( 0，1 )两个点，所以𝑎―𝑏+ 𝑐= 0
𝑐= 1
，解得𝑏= 𝑎+1 。
因为𝑎< 0，𝑏> 0，所以―1 < 𝑎< 0，②说法正确；
由―1 < 𝑎< 0得0 < 𝑎+1 < 1 ，即0 < 𝑏< 1 ，③说法正确；
因为图象顶点在第⼀象限，且经过𝐴( ―1 ，0 )，
由⼆次函数的对称性可知与𝑥轴另⼀个交点的横坐标在(1 ，+ ∞)上，
所以当𝑥= 1 时，𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，
⼜―1 < 𝑎< 0，0 < 𝑏< 1 ，𝑐= 1 ，所以𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 2，即0 < 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 2，④说法正确；
综上①②③④正确；
故选：D。
7．如果𝑎，𝑏为实数，且𝑎2025+ 𝑏2025= 0，那么⼀定有( )
A．( |𝑎| + |𝑏| )2025= 0
B．(𝑎―𝑏)2025= 0
C．(𝑎·𝑏)2025= 0
D．(𝑎+ 𝑏)2025= 0
【答案】D
第3 ⻚（共8 ⻚）
第4 ⻚（共8 ⻚）
【解析】由𝑎2025+ 𝑏2025= 0，可得𝑎2025= ―𝑏2025= ( ―𝑏)2025，
则( 𝑎2025)
1
2025=
( ―𝑏)2025
1
2025，即𝑎= ―𝑏，
即𝑎+ 𝑏= 0，故(𝑎+ 𝑏)2025= 0，故D 符合题意；
对于A，若取𝑎= 1 ，𝑏= ―1 ，则( |𝑎| + |𝑏| )2025= 22025≠0，故A 不合题意；
对于B，若取𝑎= 1 ，𝑏= ―1 ，则(𝑎―𝑏)2025= 22025≠0，故B 不合题意；
对于C，若取𝑎= 1 ，𝑏= ―1 ，则(𝑎·𝑏)2025= ( ―1 )2025= ―1 ≠0，故C 不合题意。
故选：D。
8．若
4
4
log
log
2
x
y
，则1
2
x
y
的最⼩值为( )
A．
2
2
B．1
8
C．3
4
D．1
2
【答案】A
【解析】【详解】log4𝑥+log4𝑦= 2，∴𝑥> 0，𝑦> 0，log4(𝑥𝑦) = 2，𝑥𝑦= 16。
法⼀：∴1
𝑥+
2
𝑦⩾2
2
𝑥𝑦= 2
2
16 =
2
2 。当且仅当1
𝑥=
2
𝑦时，上式等号成⽴。
⼜𝑥𝑦= 16，可得𝑥= 2 2，𝑦= 4 2时，1
𝑥+
2
𝑦的最⼩值为
2
2 。故选：A。
法⼆：∴1
𝑥+
2
𝑦=
𝑦
16 +
2
𝑦⩾
2
2 。当且仅当
𝑦
16 =
2
𝑦时，上式等号成⽴。
⼜𝑥𝑦= 16，可得𝑥= 2 2，𝑦= 4 2时，1
𝑥+
2
𝑦的最⼩值为
2
2 。故选：A。
⼆、多选题
9．下列说法正确的是( )
A．由1 ，2，3组成的集合可表示为{1 ，2，3}或{3，2，1 }
B．∅与{0}是同⼀个集合
C．集合𝑥|𝑦= 𝑥2 ―1 与集合𝑦|𝑦= 𝑥2 ―1 是同⼀个集合
D．集合𝑥|𝑥2 + 5𝑥+ 6 = 0 与集合{ ―2，―3}是同⼀个集合
【答案】A，D
【解析】对于A，根据集合元素的⽆序性可得{1 ，2，3}、{3，2，1 }表示同⼀集合，元素有1 ，2，
3，故A 正确；对于B，{0}不是空集，故B 错误；
对于C，𝑥|𝑦= 𝑥2 ―1
= R，⽽𝑦|𝑦= 𝑥2 ―1
= {𝑦|𝑦⩾―1 }，
故两个集合不是同⼀个集合，故C 错误。
对于D，𝑥|𝑥2 + 5𝑥+ 6 = 0 = { ―2，―3}，故D 正确。故选：AD。
10．下列选项正确的是( )
A．若𝑎≠0，则𝑎+ 4
𝑎的最⼩值为4
B．若𝑥∈R，则
𝑥2 + 3
𝑥2 + 2的最⼩值是2
C．若𝑎𝑏< 0，则
𝑎
𝑏+ 𝑏
𝑎的最⼤值为―2
D．若正实数𝑥，𝑦满⾜𝑥+2𝑦= 1 ，则2
𝑥+
1
𝑦的最⼩值为8
【答案】C，D
【解析】当𝑎< 0时，A 显然不成⽴；
令𝑡=
𝑥2 + 2，则𝑡⩾
2，
𝑦=
𝑥2 + 3
𝑥2 + 2 =
𝑥2 + 2 +
1
𝑥2 + 2 = 𝑡+ 1
𝑡，结合对勾函数单调性可知，当𝑡=
2时，取得最⼩值3 2
2 ，
B 错误；
若𝑎𝑏< 0，则
𝑎
𝑏+ 𝑏
𝑎= ―[( ―
𝑎
𝑏) + ( ―𝑏
𝑎)]⩽―2
―𝑎
𝑏· ―𝑏
𝑎= ―2，
当且仅当―𝑏
𝑎= ―
𝑎
𝑏即𝑎= ―𝑏时取等号，此时取得最⼤值―2，C 正确；
正实数𝑥𝑦满⾜𝑥+2𝑦= 1 ，则2
𝑥+
1
𝑦= 2𝑥+ 4𝑦
𝑥
+
𝑥+ 2𝑦
𝑦
= 4 + 4𝑦
𝑥+
𝑥
𝑦⩾4 + 2
4𝑦
𝑥·𝑥
𝑦= 8，
当且仅当4𝑦
𝑥=
𝑥
𝑦且𝑥+2𝑦= 1 ，即𝑦= 1
4，𝑥= 1
2时取等号，此时2
𝑥+
1
𝑦的最⼩值为8，D 正确。
故选：CD。
11．下列命题中，正确的是( )
A．幂函数𝑦= 𝑥―1是奇函数
B．幂函数𝑦= 𝑥2是偶函数
C．幂函数𝑦= 𝑥既是奇函数⼜是偶函数
D．幂函数𝑦= 𝑥
1
2既不是奇函数，⼜不是偶函数
【答案】A，B，D
【解析】由𝑦= 𝑥―1的定义域为( ―∞，0) ∪(0，+∞)，且( ―𝑥)―1 =
1
―𝑥= ―1
𝑥= ―𝑥―1，即为奇函
数，所以A 正确；
由𝑦= 𝑥2的定义域为𝑅，且( ―𝑥)2 = 𝑥2，即为偶函数，所以B 正确；
由𝑦= 𝑥的定义域为𝑅，且―𝑥= 𝑥不恒成⽴，不是偶函数，所以C 不正确；
由𝑦= 𝑥
1
2的定义域为[0，+∞)，显然定义域不关于原点对称，即为⾮奇⾮偶函数，所以D 正确。
故选：ABD
三、填空题
12．已知log32 = 𝑎，则log296= __________。(⽤𝑎的代数式表示)
【答案】5 + 1
𝑎
【解析】因为log32 = 𝑎，
所以log296=
log396
log32 =
log332+ log33
log32
=
5log32 + 1
log32
= 5𝑎+ 1
𝑎
= 5 + 1
𝑎，
故答案为：5 + 1
𝑎
第5 ⻚（共8 ⻚）
第6 ⻚（共8 ⻚）
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13．已知𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 ―𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥+ 1
𝑥+1 ，且𝑓( ―3) = ―5，则𝑓(3) = __________。
【答案】7
【解析】𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 ―𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥+ 1
𝑥+1 ，
则𝑓( ―𝑥) = 𝑎( ―𝑥)5 ―𝑏( ―𝑥)3 + 𝑐( ―𝑥) +
―1
𝑥
+1 = ― 𝑎𝑥5 ―𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥+ 1
𝑥
+1
则有𝑓( ―𝑥) + 𝑓(𝑥) = 2，若𝑓( ―3) = ―5，则𝑓(3) = 2 ―( ―5) = 7。故答案为：7。
14．若𝑡+1 > 0，则
1
𝑡+ 1 +
𝑡
4的最⼩值为__________。
【答案】3
4或0。75
【解析】
1
𝑡+ 1 +
𝑡
4 =
1
𝑡+ 1 + 𝑡+ 1
4 ―1
4⩾2
1
𝑡+ 1 ·𝑡+ 1
4 ―1
4 = 3
4，当且仅当
1
𝑡+ 1 = 𝑡+ 1
4 ，即𝑡= 1 时取等号。
故答案为：3
4
四、解答题
15．已知集合𝐴= {𝑥∣0< 𝑥―2 < 3}，𝐵= {𝑥|| 𝑥―5∣< 2}，𝐶= {𝑥∣𝑥> 4}。
(1)求𝐴∩𝐵；
(2)求𝐴∪(𝐵∩𝐶)，( ∁𝑅𝐴) ∪( ∁𝑅𝐵)。
【答案】⻅解析
【解析】【⼩问1 详解】𝐴= {𝑥∣0< 𝑥―2 < 3} = {𝑥∣2< 𝑥< 5}，
𝐵= {𝑥∣―2 < 𝑥―5 < 2} = {𝑥∣3< 𝑥< 7}，
所以𝐴∩𝐵= {𝑥∣3< 𝑥< 5}。
【⼩问2 详解】因为𝐵= {𝑥∣3< 𝑥< 7}，𝐶= {𝑥∣𝑥> 4}，
所以𝐵∩𝐶= {𝑥∣4< 𝑥< 7}，⼜𝐴= {𝑥∣2< 𝑥< 5}，
所以𝐴∪(𝐵∩𝐶) = {𝑥|2 < 𝑥< 7}。
由(1)知𝐴∩𝐵= {𝑥|3 < 𝑥< 5}，
所以( ∁𝑅𝐴) ∪( ∁𝑅𝐵) = ∁𝑅(𝐴∩𝐵) = {𝑥|𝑥⩽3 或𝑥⩾5} 。
16．求下列不等式的解集：
(1)𝑥2 +3𝑥+10 < 0
(2)𝑥2 ―2𝑥⩽15
(3)𝑥―4
𝑥―1⩾2
【答案】⻅解析
【解析】【⼩问1】不等式𝑥2 +3𝑥+10 < 0，其对应的⼀元⼆次⽅程为𝑥2 +3𝑥+10 = 0，
在⽅程𝑥2 +3𝑥+10 = 0中，得Δ= 9 ―4 × 10 = ―31 < 0，
所以⽅程𝑥2 +3𝑥+10 = 0⽆实数根，
⼆次函数𝑦= 𝑥2 +3𝑥+10为开⼝向上的⼆次函数，且与𝑥轴⽆交点，
所以𝑦= 𝑥2 +3𝑥+10的值恒⼤于0，
即不等式𝑥2 +3𝑥+10 < 0的解集为∅；
【⼩问2】
将不等式𝑥2 ―2𝑥⩽15 移项得𝑥2 ―2𝑥―15⩽0 ，其对应的⼀元⼆次⽅程为𝑥2 ―2𝑥―15 = 0，
因式分解得(𝑥―5)(𝑥+ 3) = 0，解得𝑥= 5或𝑥= ―3，
⼆次函数𝑦= 𝑥2 ―2𝑥―15为开⼝向上的⼆次函数，且与𝑥轴交于( ―3，0)和(5，0)，
所以不等式𝑥2 ―2𝑥⩽15 的解集为{𝑥| ―3⩽𝑥⩽5 }；
【⼩问3】
将不等式𝑥―4
𝑥―1⩾2 移项得𝑥―4
𝑥―1 ―2⩾0，通分后化简可得―𝑥―2
𝑥―1 ⩾0 ，即𝑥+ 2
𝑥―1⩽0 ，
等价于(𝑥+ 2)(𝑥―1 )⩽0 且𝑥―1 ≠0，
⼀元⼆次⽅程(𝑥+ 2)(𝑥―1 ) = 0的解为𝑥= ―2或𝑥= 1 ，
⼆次函数𝑦= (𝑥+ 2)(𝑥―1 )为开⼝向上的⼆次函数，且与𝑥轴交于( ―2，0)和(1 ，0)，
所以不等式(𝑥+ 2)(𝑥―1 )⩽0 的解集为{𝑥| ―2⩽𝑥⩽1 }，
⼜𝑥―1 ≠0，解得𝑥≠1 ，
所以不等式𝑥―4
𝑥―1⩾2 的解集为{𝑥| ―2⩽𝑥< 1 }。
17．已知函数𝑓(𝑥) = 2𝑥2 ―2𝑎𝑥+2 ―𝑎2，𝑔(𝑥) = 𝑥2 +3𝑥―𝑎2 ―4( 𝑎∈𝐑)。
(1)当𝑎= 1 时，解不等式𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)；
(2)若对任意𝑥> 0，都有𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)成⽴，求实数𝑎的取值范围；
(3)若对∀𝑥1 ∈[0，1 ]，∃𝑥2 ∈[0，1 ]，使得不等式𝑓( 𝑥1 ) > 𝑔( 𝑥2 )成⽴，求实数𝑎的取值范围。
【答案】⻅解析
【解析】【⼩问1】
当𝑎= 1 时，𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)即2𝑥2 ―2𝑥+1 > 𝑥2 +3𝑥―5，
所以𝑥2 ―5𝑥+6 > 0，所以(𝑥―3)(𝑥―2) > 0，所以𝑥> 3或𝑥< 2，
所以不等式𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)的解集为{ 𝑥|𝑥> 3或𝑥< 2}。
【⼩问2】
“ 对任意𝑥> 0，都有𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)恒成⽴” 等价于“ 对任意𝑥> 0，都有𝑥+ 6
𝑥―3 > 2𝑎恒成⽴” ，
因为𝑥> 0时，𝑥+ 6
𝑥―3⩾2
𝑥·6
𝑥―3 = 2 6 ―3(当且仅当𝑥=
6时等号成⽴)，
所以2𝑎< 2 6 ―3即𝑎<
6 ―3
2，
所以实数𝑎的取值范围是( ―∞，6 ―3
2)。
【⼩问3】
因为对∀𝑥1 ∈[0，1 ]，∃𝑥2 ∈[0，1 ]，使得不等式𝑓( 𝑥1 ) > 𝑔( 𝑥2 )成⽴，
所以不等式𝑓( 𝑥1 )min > 𝑔( 𝑥2 )min，
因为𝑔(𝑥) = 𝑥2 +3𝑥―𝑎2 ―4 = (𝑥+ 3
2)2 ―𝑎2 ―25
4 ，
第7 ⻚（共8 ⻚）
第8 ⻚（共8 ⻚）
所以𝑦= 𝑔(𝑥)在[0，1 ]单调递增，
所以𝑔(𝑥)min = 𝑔(0) = ―𝑎2 ―4。
因为𝑓(𝑥) = 2𝑥2 ―2𝑎𝑥+2 ―𝑎2 = 2(𝑥―
𝑎
2)2 +2 ―3𝑎2
2 ，
所以当
𝑎
2 < 0，即𝑎< 0时，𝑦= 𝑓(𝑥)在[0，1 ]单调递增，
所以𝑓(𝑥)min = 𝑓(0) = 2 ―𝑎2，
则2 ―𝑎2 > ―𝑎2 ―4成⽴，故𝑎< 0；
当0⩽
𝑎
2⩽1 ，即0⩽𝑎⩽2 时，𝑓(𝑥)min = 𝑓
𝑎
2
= 2 ―3𝑎2
2 ，
由2 ―3𝑎2
2 > ―𝑎2 ―4得―2 3⩽𝑎⩽2
3，所以0⩽𝑎⩽2 ；
当
𝑎
2 > 1 ，即𝑎> 2时，𝑓(𝑥)min = 𝑓(1 ) = ―𝑎2 ―2𝑎+4，
由―𝑎2 ―2𝑎+4 > ―𝑎2 ―4得𝑎< 4，所以2 < 𝑎< 4。
综上所述，实数𝑎的取值范围是( ―∞，4)。
18．某物流基地今年初⽤49万元购进⼀台⼤型运输⻋⽤于运输.若该基地预计从第1 年到第𝑛年
( 𝑛∈𝐍∗)花在该台运输⻋上的维护费⽤总计为( 𝑛2 + 3𝑛)万元,该⻋每年运输收⼊为23万元.
(1)该⻋运输⼏年开始盈利?(即总收⼊减去成本及维护费⽤的差为正值)
(2)若该⻋运输若⼲年后,处理⽅案有两种:
①当年平均盈利达到最⼤值时,以17 万元的价格卖出;
②当盈利总额达到最⼤值时,以8万元的价格卖出.
哪⼀种⽅案较为合算?请说明理由.
【答案】⻅解析
【解析】(1)由题意可得23𝑛―49―( 𝑛2 + 3𝑛) > 0,即𝑛2 ―20𝑛+49< 0,
解得10 ― 51 < 𝑛< 10 +
51,
∴𝑛⩾3 ,
∴该⻋运输3年开始盈利.;
(2)该⻋运输若⼲年后,处理⽅案有两种:
①当年平均盈利达到最⼤值时,以17 万元的价格卖出,
23𝑛―49―(𝑛2 + 3𝑛)
𝑛
= 20―(𝑛+ 49
𝑛)⩽20 ―2 𝑛·49
𝑛= 6,
当且仅当𝑛= 7时,取等号,
∴⽅案①最后的利润为:23× 7 ―49―(49 + 21) + 17 = 59(万);
②当盈利总额达到最⼤值时,以8万元的价格卖出,
𝑦= 23𝑛―49―(𝑛2 +3𝑛) = ―𝑛2 +20𝑛―49= ―(𝑛―10)2 +51,
∴𝑛= 10时,利润最⼤,
⽅案②的利润为51 + 8 = 59(万),
两个⽅案的利润都是59万,按照时间成本来看,第⼀个⽅案更好,因为⽤时更短,
⽅案①较为合算.
19．已知奇函数𝑓(𝑥)与偶函数𝑔(𝑥)满⾜𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 2𝑥.
(1)求𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)的解析式;
(2)若𝑔(𝑚) = 4(𝑚< 0),求𝑓
3𝑚
2
的值;
(3)若函数ℎ(𝑥) = 2𝑎𝑓(𝑥) + [ 𝑔(𝑥) ]2,求ℎ(𝑥)在𝑥∈[0,1 ]上的最⼩值.
【答案】⻅解析
【解析】【⼩问1 详解】
因为奇函数𝑓(𝑥)与偶函数𝑔(𝑥)满⾜𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 2𝑥,
得𝑓( ―𝑥) + 𝑔( ―𝑥) = ―𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 2―𝑥,联⽴得,𝑓(𝑥) = 2𝑥―2―𝑥
2
,𝑔(𝑥) = 2𝑥+ 2―𝑥
2
.
【⼩问2 详解】
由(1)得𝑔(𝑚) = 2𝑚+ 2―𝑚
2
= 4,即2𝑚+ 2―𝑚= 8,
因为2𝑚+ 2―𝑚=
2
𝑚
2 ―2―𝑚
2
2 +2.⼜因为𝑚< 0,则2
𝑚
2 ―2―𝑚
2 < 0,所以2
𝑚
2 ―2―𝑚
2 = ― 6,
则𝑓
3𝑚
2
= 1
2 2
3𝑚
2 ―2―3𝑚
2
= 1
2
2
𝑚
2
3
― 2―𝑚
2
3
= 1
2 2
𝑚
2 ―2―𝑚
2 ·( 2𝑚+ 2―𝑚+ 1 ) = ―9 6
2 .
【⼩问3 详解】
由题ℎ(𝑥) = 2𝑎𝑓(𝑥) + [ 𝑔(𝑥) ]2 = 𝑎( 2𝑥―2―𝑥) + 1
4( 2𝑥+ 2―𝑥)2, 𝑥∈[0,1 ].
令𝑡= 2𝑥―2―𝑥,则𝑡∈0, 3
2 ,则ℎ(𝑥) = 𝐹(𝑡) = 1
4𝑡2 + 𝑎𝑡+1 ,
当―2𝑎⩾3
2,即𝑎⩽―3
4时,F( t )在0, 3
2 上单调递减,ℎ(𝑥)min = 𝐹(𝑡)min = 𝐹
3
2
= 3
2𝑎+ 25
16;
当―2𝑎⩽0 ,即𝑎⩾0 时,𝐹(𝑡)在0, 3
2 上单调递增,ℎ(𝑥)min = 𝐹(𝑡)min = 𝐹(0) = 1 ;
当0 < ―2𝑎< 3
2,即―3
4 < 𝑎< 0时,ℎ(𝑥)min = 𝐹(𝑡)min = 𝐹( ―2𝑎) = 1 ―𝑎2.
综上:当𝑎⩽―3
4时,ℎ(𝑥)min = 3
2𝑎+ 25
16;当―3
4 < 𝑎< 0时,ℎ(𝑥)min = 1 ―𝑎2;
当𝑎⩾0 时,ℎ(𝑥)min = 1 .
