文档内容
2023 学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题
高三年级数学学科解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的
1.已知集合 A = x x 2 − 5 x − 6 0 ， B = x 2 0 2 2 x 2 0 2 2 ，则 A B =
A．
1
2
,1
B．
1
2
, 6
C．
− 1 ,
1
2
D．
1
2
, 3
命题意图：本题为原创题，本题考查集合的交运算、一元二次不等式、指数不等
式的解法，意在考查学生对基本概念的掌握情况．
解析： A = ( − 1 , 6 ) ， B =
1
2
, +
， A B =
1
2
, 6
，故选B．
答案：B
2.设复数 z 满足 (1 − i ) z = − 4 i ， i 为虚数单位，则 z 在复平面上对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
命题意图：本题为原创题，本题考查复数的四则运算和几何意义，意在考查学生
的计算能力．
解析： z =
−
1
4
−
i
i
=
−
(1
4
−
i (1 +
i ) (1 +
i )
i )
=
4 −
2
4 i
= 2 − 2 i ，故 z 在复平面上对应的点为 ( 2 , − 2 ) ，在
第四象限，故选D．
答案：D
3．在ABC 中，点 M ， N 分别是 B C ， A C 边上的中点，线段 A M ， B N 交于点
D，则
|
|
A
A
D
M
|
|
的值为
A.
1
2
B．
2
5
C．
2
3
D．
3
4
命题意图：本题为原创题，本题考查用向量方法解决平面几何问题，考查学生的
化归与转化思想．
解析：
方法一：可由三角形重心的性质知：
|
|
A
A
D
M
|
|
=
2
3
方法二：设 A D A M
u u ur
=
u u u r
，则 A D A M (
1
2
A B
1
2
A C )
2
A B A N
u u ur
=
u u u r
=
u u ur
+
u u ur
=
u u ur
+
u u ur
，由 B , D , N 共线
可知，
1
2
+ 1 =
2 |AD| 2
，= ，故 = ，故选 C．
3 |AM | 3
答案： C
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}4.如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分
别为 2 0 c m 和 1 0 c m ，侧棱长为 5 6 c m ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这
叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装(1000cm3 =1L)
A． 1 .5 L B． 1 .7 L C． 2 .3 L D． 2 .7 L
命题意图：本题为改编题本题考查棱台的体积公式，意在考查学生的数
学抽象和计算能力．
解析：棱台的高 h = ( 5 6 ) 2 − ( 5 2 ) 2 = 1 0 ，
V =
1
3
( S + S + S S ) h =
1
3
( 4 0 0 + 1 0 0 + 2 0 0 ) 1 0 2 .3 1 0 3 c m 3 = 2 .3 L ．
答案： C
5. 已 知 数 列 a
n
的 前 n 项 和 为 S
n
． 若 p : 数 列 a
n
是 等 比 数 列 ；
q : ( S
n + 1
− a
1
) 2 = S
n
( S
n + 2
− S
2
) ，则 p 是 q 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
命题意图：本题为原创题，本题在数列的背景下考查常用逻辑用语，考查学生的
逻辑推理能力和对基本概念的掌握．
解 析 ： 若 a
n
是 等 比 数 列 ， 则 a +a + +a =q(a +a + +a ) ，
2 3 n+1 1 2 n
a +a + +a =q(a +a + +a )，于是
3 4 n+2 2 3 n+1
( a
2
+ a
3
+ + a
n + 1
) 2 = ( a
3
+ a
4
+ + a
n + 2
) ( a
1
+ a
2
+ + a
n
) ，即
q : ( S
n + 1
− a
1
) 2 = S
n
( S
n + 2
− S
2
) ；若 ( S
n + 1
− a
1
) 2 = S
n
( S
n + 2
− S
2
) ，取 a
n
= 0 , n Ν * ，显然a 不
n
是等比数列，故 p是 q 的充分不必要条件．
答案：A
6.某校银杏大道上共有 20 盏路灯，为了节约用电，学校打算关掉 3 盏路灯，头
尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的
方案种数是
A．324 B．364 C.560 D．680
命题意图：本题是原创题，本题主要考查了插空法，考查学生建立模型的能力，
旨在考查学生的分析问题、解决问题的能力.
解析：关掉的三盏路灯不相邻，故选择用插空法，首先拿出两盏亮的路灯备用，
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}把 15盏亮的路灯先放好，把三盏关掉的等插进去，因为头尾两盏路灯不能关闭，
所以是除头尾之外的 14个位置上插入三盏关掉的灯，共C3 =364种，再在每两盏
14
关掉的路灯之间再各放入一盏备用的路灯，这样就保证了关掉的相邻两盏路灯之
间至少有两盏亮的路灯，故选 B.
答案B.
7.已知函数 f ( x ) s in ( x
3
) ( 0 )
= + 在 (
3
, )
上恰有 1 个零点，则的取值范围是
A． ( 0 ,
2
3
) [
5
3
,
8
3
] B． (
2
3
,
5
3
] [ 2 ,
8
3
]
C． [
5
3
, 2 ) [
8
3
,
1 1
3
] D． ( 0 , 2 ] [
8
3
,
1 1
3
]
命题意图：该题是原创题，本题主要考查了复合函数零点问题、三角函数的性质，
旨在考查学生转化化归思想，考查学生的分析问题、解决问题的能力.
解析：令t=x+ ( + ,+ )，因为函数 f(x)=sin(x+ )(0)在( ,)上
3 3 3 3 3 3
恰有 1 个零点，即转化为 y = s in t ， t (
3 3
,
3
)
+ + 只有 1 个零点，故可得
k
k
3
3
k
3
k
−
+
+
+
，即
3
k
k
1
3
4
k
3 k
2
3
1
−
−
+
−
，又 0 ，要使上述方程组有解，则需
1
k− 3k−1
3
2
3k−4k+
3 ，所以
2
k+ 0
3
3k−10
1
3
k
7
3
，故 k = 1 , 2 ，当 k = 1 时，
2
3
5
3
，当 k = 2 时， 2
8
3
，
故选B；
答案：B
8.在三棱锥 D − A B C 中， A B = B C = 2 ，ADC=90 ，二面角 D − A C − B 的平面角为
30，则三棱锥 D − A B C 外接球表面积的最小值为
A． 1 6 ( 2 3 − 1 ) B．16(2 3−3) C． 1 6 ( 2 3 + 1 ) D．16(2 3+3)
命题意图：该题是原创题，本题主要考查了三棱锥外接球的求法、三角函数的最
值问题，考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力，考查学生的推理运算能力.
解析：如图,先作出△ACD的外接圆，当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三
棱锥的外接球不变，故可使 D点动到一个使得 DA=DC 的位置，取AC 的中点M，
因为 AB=BC =2 ，DA=DC，所以 AC ⊥BM , AC ⊥DM ,故 DMB 即为二面角
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}D − A C − B 的平面角， △ACB 的外心为O ，过 O 作平面ABC 的垂线，过△ACD
1 1
的外心 M 作平面 ACD 的垂线，两条垂线均在平面 BMD 内，它们的交点就是球
心O，画出平面BMD，如图所示；
1
BC
在平面ABC 内，设CBA=2，则 2 1 ，
r=BO = =
1 cos cos
O
1
M O C1 c o s 2
c o s 2
c o s
= = ，
因为DMB=30 ，所以 O
1
M O = 6 0
3cos2
，所以OO= 3OM = ，所以
1 1 cos
R 2 r 2 O O 21
c o
1
s 2
3 c
c
o
o
s
s
2
2
2
= + = +
1 3(2t−1)2 4
令 t=cos2(0,1) ， 则 R2 = + =12t+ −122 48−12=8 3−12 ， 所 以
t t t
S 4 R 2 1 6 ( 2 3 3 ) = −
3
，当且仅当t= 时取等，故选 B
3
答案：B
二、选择题：本题共 4个小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.下列说法正确的是
A．数据7,5,3,10,2,6,8,9 的中位数为7
B．已知 0 P ( M ) 1 ，0 P(N)1，若 P ( N | M ) + P ( N ) = 1 ，则 M , N 相互独立
C.已知一组数据x ，
1
x
2
x
3
，……，x 的方差为 3，则x +1，x +1 x +1，……，
n 1 2 3
x +1的方差为3
n
D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回
归直线方程为 yˆ =0.3x−m，若其中一个散点为 ( m , − 0 .2 8 )
D
D
M B M
A C O 1
O
1
O
O
B
，则m = 4
命题意图：本题为改编题，本题考查概率统计中的中位数、独立事件、方差、回
归方程等基本概念，意在考查学生对概念的掌握情况．
解析：对于A选项，将这些数从小到大排列 2，3，5，6，7，8，9，10，中位数
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}为 6 和 7 的 平 均 数 ， 即 6.5 ， 故 A 错 误 ； 对 于 B 选 项 ，
P ( N | M ) + P ( N ) = P
P
( N
( M
M
)
) + 1 − P ( N ) = 1 ，于是 P ( N M ) = P ( M ) P ( N ) ，故 B 正确；对
于 C 选项，每一个数据都加 1 不改变离散程度，方差不变，故 C 正确；对于 D
选项，散点不一定在回归方程上，故 D 错误。综上，选 BC．
答案：BC
10.已知甲盒中有 2 个红球，1 个蓝球，乙盒中有 1 个红球，2 个蓝球.从甲、乙
两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取 1
个球，记从各盒中取得红球的概率为 p
i
( i = 1 , 2 , 3 ) ,从各盒中取得红球的个数为
(i =1,2,3)，则
i
A. p
1
+ p
2
+ p
3
=
3
2
. B. E (
1
) E (
3
) E (
2
)
C. D (
1
) D (
2
) = D. D (
2
) D (
3
)
命题意图：该题是解法原创，题目部分改编，本题主要考查了全概率公式、离散
型随机变量的分布列、数学期望、方差，数学期望的本质就是平均值，旨在培养
学生的思维能力、运算求解能力、数学建模能力.
解析：方法一：可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有 2 个红球，1
个蓝球，拿出一个球，相当于平均拿出
2
3
1
个红球， 个蓝球；乙盒中有 1 个红
3
1
球，2 个蓝球，拿出一个球，相当于平均拿出 个红球，
3
2
3
个蓝球，那么拿出一
个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有
4
3
2
个红球， 个蓝球，乙盒子
3
内还有
2
3
个红球，
4
3
个蓝球，丙盒子中有 1 个红球，1 个蓝球，故
p
1
=
4
32
=
2
3
，
p
2
=
2
32
=
1
3
1
， p = ，(i =1,2,3)满足两点分布，
3 2 i
故 E (
1
) 1
2
3
2
3
= =
2 1 2 1 1 1 2 2
， D()= = ， E()=1 = ， D()= = ，
1 3 3 9 2 3 3 2 3 3 9
E (
3
) 1
1
2
1
2
= =
1 1 1
，D()= = ，故选 ABC.
3 2 2 4
2 1 1 2
方法二：也可用全概率公式求解 p (i =1,2,3)，比如 p = + 1= ，以下同
i 1 3 2 3 3
方法一.
答案：ABC
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}11.已知非零实数 a , b , c ( − ,
1
2
) , a e a = b + b 2 + b 3 = 3 c 2 ，则可能正确的是
A. a b c B. b a c C. c b a D. c a b
命题意图：该题是原创题，本题主要考查函数与方程思想、数形结合思想，旨在
培养学生的思维能力、运算求解能力、数学建模能力.
解析：令 f ( x ) = x e x ， g ( x ) = x + x 2 + x 3 ， h ( x ) = 3 x 2 ，先可证得
1 x 1 1
3x ex 1+ x+ x2,x(0, ) ,(1+ x+ x2)e−x 1,x(0, ) ，所
2 ex 3 2
以 h ( x ) f ( x ) g ( x ) , x ( 0 ,
1
2
) ，当 x 0 时， f ( x ) 0 ， g ( x ) 0 ，而因
为 c 0 ，所以aea =b+b2 +b3 =3c2 0，所以 b 0 , a 0 ，而 c 有两解,
1
一正一负，因为 g(b) = f (a) g(a),a(0, ) ，而 g(x) = x+ x2 + x3 在
2
1
(0, )单调递增，所以b a .
2
当 c 0 时， f ( a ) = h ( c ) f ( c ) , c ( 0 ,
1
2
) ，而 f ( x ) = x e x 在 ( 0 ,
1
2
) 单调递增，
所以
a c
，所以 b a c ;当c 0时， c b a ,故选：BC
注：可画出 f ( x ) = x e x ， g ( x ) = x + x 2 + x 3 ， h ( x ) = 3 x 2 三个函数的图像
答案：BC
12.意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契( Leonardo Fibonacci)在研究兔子繁殖
问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特
点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，
人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一
5−1
项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 0.618，因此又称“黄金分割数列”，
2
记斐波那契数列为 a
n
，则下列结论正确的有
2022
A．a =a −1 B.
k 2024
k=1
1 0 1
k
=
1
1
a
2 k
= a
2 0 2 4
− 1
2022
C. a2 =a a D. a2 −a a =−(a2 −a a )
k 2022 2023 n+1 n n+2 n n−1 n+1
k=1
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}命题意图：该题是改编题，本题主要考查数列的裂项相消求和，旨在培养学生的
思维能力、运算求解能力,创新能力，让学生体会数学之美，发现数学之美
解析：因为a = a +a ，所以
n+2 n+1 n
a
n
= a
n + 2
− a
n + 1
，所以
2 0 2 2
k
= 1
a
k
= a
3
− a
2
+ a
4
− a
3
+ + a
2 0 2 4
− a
2 0 2 3
= a
2 0 2 4
− a
2
= a
2 0 2 4
− 1 故 A 正确；
因为 a
n + 2
= a
n + 1
+ a
n
，所以 a
2 k + 1
= a
2 k
+ a
2 k − 1
，即 a
2 k
= a
2 k + 1
− a
2 k − 1
，
所 以
1 0 1 1
k
= 1
a
2 k
= a
3
− a
1
+ a
5
− a
3
+ + a
2 0 2 3
− a
2 0 2 1
= a
2 0 2 3
− a
1
= a
2 0 2 3
− 1 ， 而
a
2 0 2 4
a
2 0 2 3
，故B错误；
a 2k = a
k
( a
k + 1
− a
k − 1
) = a
k
a
k + 1
− a
k − 1
a
k
( k 2 ) ，所以
2022 2022
a2 =1+ (a a −a a )=1+a a −a a +a a −a a + +a a −a a =a a
k k k+1 k−1 k 2 3 1 2 3 4 2 3 2022 2023 2021 2022 2022 2023
k=1 k=2
故C正确；
a2 −a a = a2 −a (a +a )= a (a −a )−a2 = a a −a2 , 进 一
n+1 n n+2 n+1 n n+1 n n+1 n+1 n n n−1 n+1 n
步可得， a 2n
+ 1
− a
n
a
n + 2
= ( − 1 ) n ，故D正确
答案：ACD
三、填空题：本小题共 4小题，每小题5分，共 20分
13.
x
y
+
y
x
( x − y )
8
展开式中 x 2 y 6 的系数为______
命题意图：本题为原创题，本题考查二项式定理的应用和分类的思想．
解析： x 2 y 6
x
的系数来自两个方面，如果第一个括号提供了 ，则第二个括号提供
y
x y 7 ，故系数为 C 78 ( − 1 ) 7 = − 8
y
，如果第一个括号提供了 ，则第二个括号提供了
x
x 3 y 5 ，
故系数为C5(−1)5 =−56，所以x2y6的系数为 −56−8=−64．
8
答案：−64
14.写出两个与直线
．．
x + 1 = 0 相切和圆 x 2 + y 2 − 4 x + 3 = 0 外切的圆的圆心坐标
__________．
命题意图：本题为改编题，本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，
抛物线的概念．
解析： x2 + y2 −4x+3=0的圆心为(2,0)，半径为 1，设圆心坐标为(a,b) ，则
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}a + 1 = ( a − 2 ) 2 + b 2 − 1 ，故圆心 ( a , b ) 到 ( 2 , 0 ) 的距离和到直线x=-2 的距离相等，圆
心的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，故b2 =8a，只要满足该式即可．
答案:比如（0,0），（2,4），不唯一，圆心坐标（a，b）只要满足b2 =8a
15.设 F
x2 y2
是双曲线 − =1（
a2 b2
a 0 ， b 0 ）的右焦点， O 为坐标原点，过 F 作
斜率为-3的直线 l 交双曲线的渐近线点 A ， B 两点（点A第一象限），过 O 作 A B 的
垂线，垂足为H ，且 H A = H F ，则该双曲线的离心率是 _______．
命题意图：本题为原创题，本题主要考查双曲线中与离心率有关的问题，意在考
查学生的运算求解能力、推理论证能力．
解析：设AFO=，则 ta n 3 = ，由题意知， O H ⊥ A B , H A = H F ，故AO=OF ，则
ta n A O F ta n ( 2 ) ta n 2
1
2 ta
ta
n
n 2
3
4
= − = − = −
−
= ，而 ta n A O F = k
A O
=
b
a
，所以
b
a
=
3
4
，
从而 e =
c
a
=
5
4
．
答案：
5
4
16. 若函数 f(x)=ax −x(lnx−1) ( a 0 且 a 1 ) 存在极大值点，则 a 的取值范围是
_______．
命题意图：本题为原创题，本题主要考查函数的极值的概念、同构、分类讨论思
想等，意在考查学生的运算求解能力、推理论证能力．
解析：令 f '( x ) = a x ln a − ln x = 0 ，可得 e x ln a ( x ln a ) = ( ln x ) e ln x ，令 g ( x ) = x e x ，所以
g ( x ln a ) = g ( ln x ) ，
当a1时，xlna0， g ( x ) 在 ( 0 , + ) 上单调递增，且当 x ( 0 , + ) ， g ( x ) 0 ，当
x ( − , 0 ) ，g(x)0，故 g ( x ln a ) = g ( ln x ) 0 ln x 0 x 1 ，所以
lnx
xlna=lnx，即lna= (x1)有变号根，所以
x
0 ln a
1
e
1
，
1 a ee
当 0 a 1 ，x→0， f '( x ) → + ，当x→+， f '( x ) → − ，此时 f '( x ) 必存在一个
零点，且这个零点的左边导函数为正，右边导函数为负数，该零点即为极大值点
1
故
a(0,1)U(1,ee)
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}答案:
( 0 , 1 ) U ( 1 , e
1
e )
四、解答题：本题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17．(10 分)
已知数列 a
n
满足a =2， __________,以下三个条件中任选一个填在横线上并完
1
成问题.
①n(2a −a )=a ， ②
n+1 n n
2 a
n + 1
− a
n
= 2 2 − n
a n(n+1)
③ 1 +a +2a + +2n−2a =
2 2 3 n 2
(Ⅰ) 求数列a 的通项公式；
n
(Ⅱ)记数列 a
n
的前n项积为T ，求T 的最大值．
n n
命题意图：本题为原创题，本题考查等比数列、等差数列的定义和通项公式，考
查通过构造法求通项公式，以及数列单调性的应用，旨在考查考生的逻辑推理能
力、运算求解能力.
解：(Ⅰ)若选①：已知数列 a
n
满足 n ( 2 a
n + 1
− a
n
) = a
n
，则2na =(n+1)a ，则
n+1 n
a
n
n +
+
1
1
=
1
2
a
n
n
，
a
n
n
是首项为
a
1
1
= 2
1
，公比为 的等比数列，故
2
a
n
n
=
a
1
1
1
2
n − 1
，即
a
n
=
2
n
n − 2
．……5 分
若选②：2a −a =22−n 2n+1a −2na =4，则
n+1 n n+1 n
2 n a
n
是首项为 2 a
1
= 4 ，公差为4
n
的等差数列，故2na =4+(n−1)4=4n，即a = .……5 分
n n 2n−2
a n(n+1)
若选③： 因为 1 +a +2a + +2n−2a = ，
2 2 3 n 2
a (n−1)n
所以当n2时， 1 +a +2a + +2n−3a = ，两式作差得2n−2a =n，即
2 2 3 n−1 2 n
a
n
=
2
n
n − 2
，又因为a =2满足上式，所以
1
a
n
=
2
n
n − 2
……5 分
（2）
a
n
a
+
n
1 =
n
2
+
n
1
1 ，故 a
n
不增，又a =1，故当
4
n = 3 或 4 时，T 最大，最大值
n
1 2 3
为T =T = =6． ……10 分
3 4 2−1 20 21
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}18．（12 分）
P
E
A D
B
C
A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 2 C B C A = b ( 2 b − c ) ．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若 b + c = 2 a ，求 ta n 2 C ．
命题意图：本题为改编题，本题考查向量数量积、正、余弦定理的应用，旨在考
查学生分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力
解(Ⅰ)因为2CBCA=b(2b−c)，所以 2 a b c o s C = b ( 2 b − c ) ，即 2 b = c + 2 a c o s C ，…2 分
由正弦定理 2 s in B = s in C + 2 s in A c o s C ，且2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，…4分
所以 s in C = 2 c o s A s in C ，且 s in C 0
1
．则cosA= ,A(0,)，所以A= ．……6 分
2 3
（2）因为b+c= 2a，由正弦定理得sinB+sinC= 2sinA．……8 分
又 s in B s in ( A C ) s in A c o s C c o s A s in C , A
3
= + = + = ，所以
2
3
c o s C +
1
2
s in C + s in C =
2
6
，
整理可得
3
2
s in C +
2
3
c o s C =
2
6
，即
3
2
s in C
2
3
c o s C 3 s in C
6 2
6
+ =
+
= ，
所以 s in C
6 2
2
+
= ，所以 C
6 4
+ = 或 C
6
3
4
+ = ，即 C
1 2
=
7
或C = ，……10 分
12
当 C
1 2
= 时， ta n 2 C ta n
6 3
3
= = ；当 C
7
1 2
= 时， ta n 2 C ta n
7
6 3
3
= = ．综上，
ta n 2 C =
3
3
．……12 分
19.(12 分)
如图，在四棱锥 P − A B C D 中，底面 A B C D 为平行四边形，侧面 P A D 是边长为 2 的
正三角形，平面PAD⊥平面 A B C D ， A B ⊥ P D ．
(Ⅰ)求证：平行四边形 A B C D 为矩形；
(Ⅱ)若E为侧棱 P D 的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值
6
为 ，求点B到平面ACE的距离．
4
命题意图：本题为改编题，本题考查直线和平面垂直的判定、面面垂直的性质定
理，二面角的夹角的求解、以及点到面的距离的求解，旨在考查考生的空间想象
能力、逻辑推理能力和运算求解能力
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}B
x
B
z
A
A
P
M
P
M
C
C
E
E
D
D
y
解：(Ⅰ)取 A D 中点 M ，连接 P M
△ P A D 为正三角形， M 为 A D 中点
PM ⊥ AD
面 P A D ⊥ 面 A B C D ，面PAD 面ABCD= AD，PM 面PAD， P M ⊥ A D ……2分
P M ⊥ 面 A B C D
P M ⊥ A B
A B ⊥ P M ， A B ⊥ P D ，PM 面PAD，PD面PAD， P M P D = P ……4分
AB⊥面PAD
AB⊥ AD
平行四边形 A B C D 为矩形……6分
（2）以 A 为原点， A B 为 x 轴， A D 为 y 轴建立坐标系，设AB=t
A ( 0 , 0 , 0 ) ， B ( t , 0 , 0 ) ， C ( t , 2 , 0 ) ， P ( 0 ,1 , 3 ) ， E 0 , 3
2
,
2
3 ……8分
设面ACE的法向量为n=(x,y ,z )
1 1 1
n
n
A
A
C
E
=
=
0
0
tx +2y =0
1 1
，即3
3
y + z =0
2 1 2 1
令 x
1
= 2 ，则 y
1
= − t ， z
1
= 3 t n =
(
2 , − t , 3 t
)
设面ABP的法向量为m=(x ,y ,z )
2 2 2
mAB=0
，即
mAP=0
tx
y
2
2
=
+
0
3 z
2
= 0
令 z
2
= 1 ，则 x
2
= 0 ，y =− 3
2
m =
(
0 , − 3 ,1
)
c o s m , n =
m
m
n
n
=
2
2
4
3
+
t
4 t 2
=
4
6
，解得 t = 1 ，……10分
面ACE的法向量为 n =
(
2 , − 1 , 3
)
ABn
2 2
点B到平面ACE的距离 = = ．……12分
n 8 2
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}20.（12 分）
某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位
学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近 50 天天气不下雨的情况下，选
择体育锻炼情况统计如下：
上下午体育锻
炼项目的情况
（上午，下午）
( 篮 球 , 篮 球 ) ( 篮 球 , 乒 乓 球 ) ( 乒 乓 球 , 篮 球 ) ( 乒 乓 球 ， 乒 乓 球 )
甲 20天 15天 5天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
(Ⅰ)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球
的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；
(Ⅱ)记X 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求X 的分布列和数学
期望E(X)；
(Ⅲ)假设 A 表示事件“室外温度低于 10 度”， B 表示事件“某学生去打乒乓
球”， P ( A ) 0 ，一般来说在室外温度低于 10 度的情况下学生去打乒乓球的
概率会比室外温度不低于 10 度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：
P ( A | B ) P ( A | B ) .
命题意图：本题为改编题，本题考查样本频率和概率、条件概率、分布列和数学
期望等知识，旨在培养学生理性思维和数学应用能力
解：(Ⅰ)设事件C 为“早上甲打篮球”，事件 D 为“下午甲打篮球”，则
20 n(CD) 20 4
P(CD)= =0.4，P(D|C)= = = ........4分
50 n(C) 35 7
(Ⅱ)由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为0.4，乙上下午都选择篮球
的概率为 0 .2 ，甲上下午都选择乒乓球的概率为 0 .2 ，乙上下午都选择乒乓球
的概率为0.5，记 X 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则X 的所
有 可 能 取 值 为 1 、 2 ， 所 以 P(X =1)=0.40.2+0.20.5=0.18 ，
P(X =2)=1−P(X =1)=0.82. .....6 分
所以X 的分布列为：.
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}X 1 2
P 0 .1 8 0 .8 2
所以 E ( X ) = 1 0 .1 8 + 2 0 .8 2 = 1 .8 2 ........8 分
(Ⅲ)由题知P(B|A)P(B|A)，即
P
P
( A
(
B
A )
)
P
P
( B
( A
A
)
)
=
P ( B
1
)
−
−
P
P
(
(
A
A
)
B )
，
即 P ( A B ) P ( B ) P ( A )
即 P ( A B ) − P ( B ) P ( A B ) P ( B ) P ( A ) − P ( B ) P ( A B ) ，
即 P ( A B ) P ( B ) P ( B ) P ( A B ) ，即
P
P
( A
( B
B
)
)
P
P
( A
( B
B
)
)
，
即 P ( A | B ) P ( A | B ) . .......12分
21．（12 分）
已知点A(2,0)， B
−
6
5
, −
4
5
在椭圆 M :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 ) 上.
(Ⅰ)求椭圆M 的方程;
(Ⅱ) 直线l与椭圆M 交于 C，D 两个不同的点（异于 A， B），过 C 作 x 轴的垂
线分别交直线AB，AD 于点P，Q，当 P 是CQ中点时，证明．直线l过定点.
命题意图：本题主要考察直线和椭圆的位置关系，定点定值问题，通过将题目中
的几何条件代数化考察运算求解能力，培养考生理性思维和数学探索能力
解:
a=2
(Ⅰ)由题知, 1 6 2 1 4 2 ,得
− + − =1
4 5 b2 5
b 2 = 1 ，
所以椭圆M 的方程为
x
4
2
+ y 2 = 1 ......4分
(II) 由题意知,当 l ⊥ x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为
y =kx+m,
y =kx+m
联立x2 消去 y得 ( 4k2 +1 ) x2 +8kmx+4m2 −4=0,
+ y2 =1
4
则=64k2m2 −16 ( m2 −1 )( 4k2 +1 ) =16 ( 4k2 −m2 +1 ) 0，
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}即 4 k 2 + 1 m 2
设 C ( x
1
, y
1
) , D ( x
2
, y
2
) ， x
1
+ x
2
=
−
4
8
k
k
2
m
+ 1
4m2 −4
，x x = .......6 分
1 2 4k2+1
AB的方程为 y =
1
4
( x − 2 ) ，令 x = x
1
得 P
x
1
,
x
1
−
4
2
，
AD的方程为 y =
x
2
y
2−
2
( x − 2 ) ，令 x = x
1
x −2
得Qx , 1 y ，
1 x −2 2
2
由
P
是
C Q
x −2 x −2 y y 1
中点,得 1 = y + 1 y ，即 1 + 2 = ，.......8 分
2 1 x −2 2 x −2 x −2 2
2 1 2
即 ( k x
1
+ m ) ( x
2
− 2 ) + ( k x
2
+ m ) ( x
1
− 2 ) =
1
2
x
1
x
2
− 2 ( x
1
+ x
2
) + 4 ，
即 (1 − 4 k ) x
1
x
2
+ ( 4 k − 2 m − 2 ) ( x
1
+ x
2
) + 4 + 8 m = 0 ，
即 4 m 2 （+ 1 6 k + 8 ） m + 1 6 k 2 + 1 6 k = 0 ，所以 ( m + 2 k ) ( m + 2 k + 2 ) = 0 ，......10 分
得 m = − 2 k − 2 或 m = − 2 k ，
当 m = − 2 k − 2 ，此时由 0，得 k −
3
8
，符合题意；
当 m = − 2 k ，此时直线l经过点 A ， 与题意不符， 舍去.
所以 l 的方程为 y = k x − 2 k − 2 ，即 y = k ( x − 2 ) − 2 ，
所以 l 过定点 ( 2 , − 2 ) . .......12 分
22.（12 分）
已知函数 f(x)= xlnx−2x−a有两个零点 x
1
, x
2
(Ⅰ) 证明：−ea0；
(II) 求证：① x
1
x
2
e 2
②x +x e2
1 2
命题意图：本题是原创题，本题的背景是指数平均不等式以及切割线放缩，考察
利用导数作为工具研究函数的零点，证明不等式等，培养学生逻辑思维能力、运
算求解能力和创新能力
解(Ⅰ)由，f'(x)=lnx−1=0，得到x=e，当x(0,e)时，f'(x)0，x(e,+)时，
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}f '( x ) 0 ，所以 f ( x ) 在 ( 0 , e ) 上单调递减，在 ( e , + ) 上单调递增，
则 f(x) = f(e)=−e−a0，所以
min
a − e ，由因为当 x ( 0 , 1 ) 时， x l n x 0 ，
− 2 x 0 ，所以 f ( x ) = x l n x − 2 x − a − a ，若 − a 0 ,即 a 0 时，则当 x ( 0 , 1 ) 时，
f ( x ) 0 ，此时 f ( x ) 在 ( 0 , e ) 上不存在零点，故−ea0.........4 分；
(II)①要证明xx e2，不妨设0 x e x ，只要证
x
e2
1 2 1 2 2 x
1
因为 f(x)在(e,+)上单调递增，故即证 f ( x
1
) = f ( x
2
) f (
e
x
2
1
) ，
令 g ( x ) = f ( x ) − f (
2 e
x
) ，x(0,e)
g '( x ) = f '( x ) +
e
x
2
2
f '(
2 e
x
) = ( l n x − 1 )
x 2 −
x 2
e 2
0
所以g(x)在x(0,e)单调递增，所以 g ( x ) g ( e ) = 0 ，所以 g ( x
1
) g ( e ) = 0 ，
即 x
1
x
2
e 2 ，得证；……8 分
②再证明: x
1
+ x
2
e 2
引理1：当 x ( 0 , e ) 时， f ( x ) − x − a ；
证明：当 x ( 0 , e ) 时， f ( x ) = x l n x − 2 x − a x − 2 x − a = − x − a ，得证.
利用引理1: 0 = f ( x
1
) − x
1
− a ，所以x −a①……10 分
1
引理2： f ( x ) x − e 2 − a
证明：令h(x)= f(x)−x+e2 +a= xlnx−3x+e2
h '( x ) = l n x − 2 = 0 , x = e 2 ,当 x ( 0 , e 2 ) 时，h'(x)0，x(e2,+)时，h'(x)0，
所以h(x)在 ( 0 , e 2 ) 上单调递减，在 ( e 2 , + ) 上单调递增，所以 h ( x ) h ( e 2 ) = 0
利用引理 2，因为 x
2
( l n x
2
− 2 ) = a 0 ，所以 x
2
e 2 ，可得 0 = f ( x
2
) x
2
− e 2 − a ，
所以x a+e2②，所以由①，②可知x +x e2……12 分
2 1 2
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}
