文档内容
广东省 2024 届高三“百日冲刺”联合学业质量监测
数学试卷
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知随机变量 的分布列如下：
1 2
则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点 分别在平面 的两侧，四棱锥 与四棱锥 的所有侧棱长均为2，
则下列结论正确的是（ ）
A．四边形 可能是 的菱形
B．四边形 一定是正方形
学科网（北京）股份有限公司C．四边形 不可能是直角梯形
D．平面 不一定与平面 垂直
6．已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一点，且 ，
则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，且满足 是偶函数， ，若 ，
则 （ ）
A．202 B．204 C．206 D．208
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
A．函数 的周期为
学科网（北京）股份有限公司B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 单调递减
D．将该图象先向右平移 个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），可得
的图象
10．已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，点 ，直线 交抛物线 于
两点（不与点 重合），则以下说法正确的是（ ）
A． B．存在实数 ，使得
C．若 ，则 D．若直线 与 的倾斜角互补，则
11．将圆柱 的下底面圆 置于球 的一个水平截面内，恰好使得 与水平截面圆的圆心重合，圆柱
的上底面圆 的圆周始终与球 的内壁相接（球心 在圆柱 内部）．已知球 的半径为3，
．若 为上底面圆 的圆周上任意一点，设 与圆柱 的下底面所成的角为 ，圆柱
的体积为 ，则（ ）
A． 可以取到 中的任意一个值 B．
C． 的值可以是任意小的正数 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 展开式中 的系数为 ，则 的值为______．
13．等差数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则数列 的前100项的和为______．
学科网（北京）股份有限公司14．已知平面向量 ，满足 ，若 ，则 的
最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上（与 不重合），且 ，求 的值．
16．（本小题满分15分）
如图，在正四棱柱 中， 分别为 的中点．
（1）证明： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与
“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，
得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的产品判定为“不合格”，小于或等于
的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为
；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以
学科网（北京）股份有限公司事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏检率 时，求临界值 和错检率 ；
（2）设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最
小值．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 与双曲线
交于 两点， 是双曲线 上一点（ 与 不重合），直线 的斜率分别为 ，
且 ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知直线 ，且与双曲线 交于 两点， 为 的中点， 为坐标原点，且
，若直线 与圆 相切，求直线 的方程．
19．（本小题满分17分）
已知函数 ．
（1）判断 是否成立，并给出理由；
（2）①证明：当 时， ；
②证明：当 时， ．
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