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衡阳市八中 2024 届高三第 2 次月考
数学试题
命题人：刘瑶 审题人：颜军
注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟
一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再求两个集合的交集.
【详解】不等式 解得 ，则 ，
又 ，所以 ，
故选：A.
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先进行复数的除法运算，进而可得对应点的坐标.
【详解】 ，所以对应点的坐标为 ．
故选：A
3. 定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，则
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学科网（北京）股份有限公司（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由对任意x ，x [0，＋∞)(x ≠x )，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所
1 2 1 2
以 ，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据
函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
4. 已知等差数列 的公差为d，前n项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的前 项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.
【详解】因为数列 是公差为 的等差数列，所以
，
，
所以 ，
若等差数列 的公差 ，则 ，所以 ，故充分性成立；
若 ，则 ，所以 ，故必要性成立，
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学科网（北京）股份有限公司的
所以“ ”是“ ” 充分必要条件，
故选：C.
5. 某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于
120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（ ）
A. 360 B. 640 C. 720 D. 780
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布的性质可解.
【详解】因为 ，所以 ，所以此次考
试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为 .
故选：B
6. 椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为上顶点，若 的面积为 ，则
的周长为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆的半焦距为 ，由条件利用 表示 的面积，由条件列方程求 ，再由 关系求
，根据椭圆定义求 ，由此可求 的周长.
【详解】设椭圆 的半短轴长为 ，半焦距为 ，
则 ， 的面积
由题知 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
由椭圆的定义知 ，又 ，
所以 的周长为 .
故选：C.
7. 设函数 （其中 为自然对数的底数），若存在实数a使得 恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得 ，令 ，函数 和函数
的图象，一个在直线 上方，一个在直线 下方，等价于一个函数的最小值大于另一个
函数的最大值，即可得出答案．
【详解】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，所以 ，
令 ，
由题意知，函数 和函数 的图象，一个在直线 上方，一个在直 下方，等价
于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 ， 没有最小值，
由 ，得 ，
当 时，在 上 单调递增，
在 上 单调递减，
所以 有最大值，无最小值，不合题意，
当 时，在 上 单调递减，
在 上 单调递增，
所以 ，
所以 即 ，
所以 ，即m的取值范围为 ．
故选：A．
8. 如图，在三棱锥 中， ，二面角 的正切值是
，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二面角 的正切值求得 ，由此判断出 ，且 两两
垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.
【详解】设 是 的中点，连接 ，由于 ，
所以 ，所以 是二面角 的平面角，所以 ，
由 得 .
在 中， ，
在 中， ，
在 中，由余弦定理得： ，
所以 ，
由于 ，所以 两两垂直.
由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为 .
设正方体外接球的半径为 ，则 ，所以外接球的表面积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A.
二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
9. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. 向量 的夹角为 D. 在 方向上的投影向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；
对于B，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；
对于C，根据向量夹角公式，可得答案；
对于D，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.
【详解】对于A， ，由 ，则 ，故A正确；
对于B， ， ，故B错误；
对于C， ， ， ，则
，即向量 的夹角为 ，故C正确；
对于D， 在 方向上的投影向量是 ，故D错误.
故选：AC.
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学科网（北京）股份有限公司10. 设等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，若满足 ， ，
，则下列选项正确的是（ ）
A. 为递减数列 B.
C. 当 时， 最小 D. 当 时， 的最小值为4047
【答案】BC
【解析】
【分析】首先讨论数列的单调性，判断A；根据单调性，确定 ，判断B；根据 的意义，结合
AB选项的判断，再判断C；结合等比数列的性质，以及AB选项的判断，即可判断D.
【详解】A.由条件可知， ， 与 同号，所以 ，则 ，
而 ，则公比 ，
若 ，数列单调递减，则 ，那么 ，与已知矛盾，
若 ，则 ，则那么 ，与已知矛盾，
只有当 ，才存在 ，使 ，所以等比数列 单调递增，故A错误；
B.因为 ， 单调递增，所以 ，
则 ，即 ，故B正确；
C.因为 ，且 ，所以当 时， 最小，故C正确；
D.根据等比数列的性质可知， ， ，
所以当 时， 的最小值为4046，故D错误.
故选：BC
11. 已知函数 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 函数 在区间 上单调递增
B. 直线 是函数 图象的一条对称轴
C. 函数 的值域为
D. 方程 最多有8个根，且这些根之和为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.
【详解】 ，
，
则 是偶函数，图象关于 轴对称.
，
是
周期函数，周期 .
又
且 ，
，即 图象关于 轴对称，
故直线 都是 的对称轴.
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
令 ，则 可看成由 与 复合而成的函数，
单调递增，
当 ，则 ， 单调递增，则 单调递增；
当 ，则 ， 单调递减，则 单调递减；
且 .
结合以上性质，作出函数 的大致图象.
选项A，函数 在区间 上单调递减，故A项错误；
选项B，直线 是函数 图象的一条对称轴，故B项正确；
选项C，当 时，函数 的值域为 ，由函数周期 ，函数 的值域为 ，故
C项正确；
选项D，如图可知，方程 最多有8个根，设为 ，不妨设 ，
当 时，函数 的图象关于 对称，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
即这些根之和为 ，故D项正确.
故选：BCD.
12. 已知直线 交 轴于点P，圆 ，过点P作圆M的两条切线，切点分
别为A，B，直线 与 交于点C，则（ ）
A. 若直线l与圆M相切，则
B. 当 时，四边形 的面积为
C. 直线 经过一定点
D. 已知点 ，则 为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出 即可判断A；根据 求出 ，进而求出
，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；
根据相切可知 四点共圆，且 为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断
C；根据直线 过定点及 可得 ，即C在以 为直径的圆上，求出圆的方程可
发现圆心为点 ，即可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离 ，
解得 ，所以A正确；
对于B，当 时， ， ， ，
因为 为圆的两条切线，所以 ，
所以四边形 的面积 ，
所以B错误；
对于C，因为 ， ，且 ，
所以 四点共圆，且 为直径，
所以该圆圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为： ，
因为 是该圆和圆 的相交弦，
所以直线 的方程为两圆方程相减，
即 ，
化简可得： ，
所以直线 经过定点 ，所以C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
因为 在直线 上，所以
即点C在以 为直径的圆上，因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为： ，圆心为 ，
因为点C在该圆上，所以 为定值 ，所以D正确．
故选：ACD
三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 ．小明在设置银行卡的数字密
码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相
邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
【答案】36
【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，
两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个
2，两个8均为相同元素，
那么小明可以设置的不同密码共有 ．
故答案为：36.
14. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义和垂直关系可知 ，由此可构造方程求得结果.
【详解】 在 处的切线与直线 垂直， ，
又 ， ，解得： .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
15. 底面 为菱形且侧棱 底面 的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若
.则三棱雃 的体积为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先证明四边形 为平行四边形，可得 ，进而证明 平面 ，进而利用
求解即可.
【详解】连接 ， 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
由已知可得：平面 平面 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，同理可得： ，所以四边形 为平行四边形，
所以 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，所以 ，所以 .
所以 .
因为 平面 女平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，为 .
所以 .
故答案为： .
【点睛】求三棱锥的体积的时候，要注意利用图形的特点，看把哪个点
当成顶点更好计算.
16. 设 ，平行于 轴的直线 分别与函数 和 的图像交于点 ， ，若函数
的图像上存在点 ，满足 为等边三角形，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数、对数互化关系求出 的坐标，及 的中点 的坐标，进而表示出
点 的坐标即可求解作答.
【详解】直线 ，由 ，得 ，即点 ，
由 ，得 ，即点 ，于是 ，
如图，取 的中点 ，连接 ，由正 ，得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司显然点 不可能在直线 上方，因此点 ，而点 在函数 的图象上，
则 ，即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
四､解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为 ， 且 ．
（1）求角A的大小；
（2）设M为BC的中点，且 ，求a的长度．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形的面积公式，向量的数量积公式列方程，两方程相除，可求出 的值，从而可
求出角A的大小；
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学科网（北京）股份有限公司（2）在 中由余弦定理得 ，在 中由余弦定理得 ，
在 中由余弦定理得 ，结合 可求出a的
值.
【小问1详解】
因为△ABC的面积为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以
【小问2详解】
因为 ，所以 ，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司由余弦定理得 ，
在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以
18. 某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序
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学科网（北京）股份有限公司加工合格率分别为 ， ， ．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；
恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．
（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；
（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使
工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；
（2）分布列见解析，数学期望为 .
【解析】
【分析】（1）三道工序都不合格为废品，求事件的概率，利用对立事件，求不是废品的概率；
（2）由X的取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.
【小问1详解】
记“加工一件工艺品为废品”为事件A，
则 ，
则加工一件工艺品不是废品的的概率 ．
【
小问2详解】
由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100，-20，100，300，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
则随机变量X的分布列为：
X -100 -20 100 300
P
故 ．
19. 在图1中， 为等腰直角三角形， ， ， 为等边三角形，O为AC边
的中点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图
2，连接FO，FB，FE，使得 ．
（1）证明： 平面 ．
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出 ，再由勾股定理逆定理得出 ，即可证明；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作 ，垂足为
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学科网（北京）股份有限公司M，作 ，垂足为N，连接 ，首先由线面垂直得出 ，则二面角 的平面
角为 ，在 中，求出 即可．
【小问1详解】
证明：连接OB，
因为 为等腰直角三角形， ， ，
所以 ，
因为O为AC边的中点，
所以 ，
在等边三角形 中， ，
因为O为AC边的中点，
所以 ，则 ，
又 ，
所以 ，即 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
【小问2详解】
方法一：因为 是等腰直角三角形， ， 为边 中点，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得 平面 ，则以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建
立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为θ，
则 ，
由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ．
方法二：
作 ，垂足为M，作 ，垂足为N，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
又平面 平面 ，
所以二面角 的平面角为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
在 中， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即二面角 余弦值为 ．
的
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学科网（北京）股份有限公司20. 若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点
在函数 的图象上，其中n为正整数，
（1）证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设 ，定义 ，且记 ，求数列 的前n项和
．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明
(2)由 的新定义和 ，可得出 表达式，再分段求前n项和 即可.
【小问1详解】
点 在函数 的图象上， ，
是“平方递推数列”．
因为 ，
对 两边同时取对数得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴数列 是以1为首项，2为公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）知 ，
由数列 的通项公式得，
当 时， ；当 时， ．
又由 ，得
当 且 时， ；
当 且 时，
，
综上，
21. 已知双曲线 的右焦点，右顶点分别为 ， ， ， ，点
在线段 上，且满足 ，直线 的斜率为1， 为坐标原点.
（1）求双曲线 的方程.
（2）过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由 ， ，直线 的斜率为1，求得 之间的关系式，解得
的值，进而求出双曲线的方程；
（2）设直线 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得 为
的角平分线，可得直线 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出 的坐标．
【小问1详解】
设 ，所以 ， ， ，
因为点 在线段 上，且满足 ，所以点 ，
因为直线 的斜率为1，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ， .
所以双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
假设在 轴上存在与 不同的定点 ，使得 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有 ；
当直线l的斜率存在且不为0时，设 ，直线l的方程为 ，
直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，则 且 ，
设 ， ，
由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，即 ，所以 平分 ， ，
有 ，即 ，得 ，
所以 ，由 ，解得 .
综上所述，存在与 不同的定点 ，使得 恒成立，且 .
【点睛】方法点睛：
解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与
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学科网（北京）股份有限公司系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不
要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22. 已知函数 ， .
（1）讨论 极值点的个数；
（2）若 恰有三个零点 和两个极值点 .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）若 ，且 ，证明： .
【答案】（1）当 时, 无极值点;当 时,所以 有两个极值点；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求导，对 进行讨论，研究单调性可得函数的极值；
（2）(i)由(1)知: ,且 ,,又得出 ，即可得证；
(ii)易得 ，令 ,可得 ，要证明: ，只需
证: ，只需证: (显然,易证 )，即证明:
，又因为 ,所以 ，令 , ,利用导数证明
即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
由题知: ，
设函数 ,
当 时, 开口向上, ,
所以 , 在 上单调递减,无极值点；
当 时, 在 上有两个解 ,
又因为 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 有两个极值点.
综上:当 时, 无极值点;当 时,所以 有两个极值点.
【小问2详解】
(i)由(1)知: ,且 ,
又因为 ,
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司(ii)由(i)知: , , ,
所以 ,所以 .
令 , ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
因为 时, >0; 时, <0.
所以 .
所以,要证明: ,
只需证: ,
只需证: ,
只需证: ,
只需证: ,
又因为 在 上单调递增,
所以只需证: .
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学科网（北京）股份有限公司令 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减；
所以 ，即 .
所以，要证： ，只需证： ，即证明: .
因为 ,所以 ,所以 .
又因为 ,
所以 ,所以 .
令 , ,则 ,
所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 ,所以 成立.
【点睛】方法点睛：
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
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