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天津市朱唐庄中学 2023-2024 学年度第一次检测
高三 数学
本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.考生务必填写清楚班级、
姓名、学号.将答案填写在答题卡上，考试结束后上交.
第Ⅰ卷（共60分）
一、单项选择（每题 5分，共 60 分.每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡
上）
1. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】 ,所以 ，
故选：A
.
2 设集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简 ,进而由集合的交并补运算即可求解.
【详解】 或 ，由 得
,所以 ，
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 、 ，利用并集和补集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，
，
又因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：D.
4. 已知p： ，q： ，则p是q的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】画出数轴，结合小范围可以推出大范围即可求得结果.
【详解】如图所示，
所以 ， ，故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知 ，命题 是一元二次方程 的一个根，命题 ，则 是
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学科网（北京）股份有限公司的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案.
【详解】对于命题 ， 为方程的根，则 ，充分性成立；
对于命题 ， 且 ，则 必是题设方程的一个根，必要性成立；
所以 是 的充分必要条件.
故选：C
6. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先解出不等式 和 ，根据两个不等式的解集即可得出答案．
【详解】由 ，得 ，
解得 ；
由 ，得 ，得
因为当 时，一定可以推出 ，
而当 时，不能推出 。
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
7. 下列可能是函数 的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.
【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当 时， ，排除选项D，
故选：C.
8. 函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性进行判断，可得到答案.
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又因为函数 定义域为 ，
所以函数 为奇函数，故A选项错误，
又因为当 时， ，函数单调递增，故B和C选项错误.
故选：D
9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数 的部分图象如图所示.则
的解析式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 的图象关于原点对称排除部分选项，再由 ， 时的函数值判断.
【详解】解： 的图象关于原点对称，则 是奇函数，排除B；
当 时， ，排除C；
当 时， ，排除D；
故选：A
10. 设 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ， ， ，
因此， .
故选：A.
11. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案.
【详解】由题意得 ，
，
由于 为 上的单调增函数，故 ，
故 ，
故选：C
12. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ， ，
则 ， ， 大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】根据指数幂，对数的运算法则进行比较大小，利用函数的奇偶性和单调性进行转化求解即可.
【详解】 ，
因为 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
因为 ， ， ，
且 在 上单调递减，
所以 ，
即 .
故选：A.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，共30分）
13. 已知i是虚数单位，化简 的结果为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用复数除法化简复数即可.
【详解】 .
故答案为：
14. 复数 （其中i为虚数单位），则 =___________.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先化简复数 ，求出 可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ， .
故答案为： .
15. 已知复数 为 的共轭复数，则 的虚部为___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据复数的运算以及共轭复数的定义即可求解.
【详解】由 ，
则 的共轭复数 ，则 的虚部为 .
故答案为：
16. 在 的展开式中， 的系数是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于 ，计算展开式中含有 项的系数即可.
【详解】由题意得： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司只需 ，可得 ，
所以 ，
故答案为： .
17. 若 展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式系数和得到 ，再计算第三项的二项式系数即可.
【详解】 展开式的二项式系数和为 ，故 ，
展开式中第三项的二项式系数为 .
故答案为： .
18. 已知 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______．
【答案】80
【解析】
的
【分析】根据题意，由各项系数之和可得 ，再由二项式展开式 通项公式即可得到结果.
【详解】由题意，令 ，则 ，解得 ，
则 的展开式第 项 ，
令 ，解得 ，所以 .
故答案为：
三、解答题（每题15分，共60分）
19. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【
分析】（1）由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理计算可得；
（3）由余弦定理求出 ，即可求出 、 ，再由两角差的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
由余弦定理知， ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍负），所以 ．
【小问2详解】
由正弦定理知， ，
所以 ，
所以 ．
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由余弦定理知， ，
所以 ， ，
所以
.
20. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理得到 ，代入余弦定理计算得到答案.
（2）计算 ， ，再根据正弦定理计算即可.
（3）确定 ， ，再根据和差公式计算得到答案.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司，则 ， ， ，故 ，
，即 ，解得 或 （舍去）.
故 .
【小问2详解】
， ，则 ，
，则 .
【
小问3详解】
，故 为锐角，则 ，
则 ， ，
.
21. 已知底面 是正方形， 平面 ， ， ，点 、 分别为
线段 、 的中点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求直线EF与平面 夹角的正弦值；
（3）求点F到面PAC的距离
【答案】（1）证明见详解；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行即可；
（2）利用空间向量求线面角即可；
（3）利用空间向量研究点面距离即可.
【小问1详解】
根据 平面 ， 平面 ，
所以 ,
又底面 是正方形，则 ,
可以建立如图所示以A为原点， 所在直线对应 轴的空间直角坐标系，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
易知 是平面 的一个法向量，
而 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
由（1）知 ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
所以 ，令 ，即 ，
设直线EF与平面 夹角为 ，所以 ；
【小问3详解】
由（1）知 ，显然 是平面 的一个法向量，
则点F到面PAC的距离为 .
22. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， 且 ，
为 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（2）求点N到直线BC的距离
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面 与平面 的法向量，根据向量的
夹角公式计算即可.
（2）计算 ，再根据点到直线的距离公式计算得到答案.
（3）令 ， 得到 点坐标，确定平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【
小问1详解】
如图所示： 为 中点，连接 ，则 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则四边形 为矩形，故 ，
以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 得到 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 得到 ，
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【小问2详解】
， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，故 ，
点N到直线BC的距离为
【小问3详解】
令 ， ，设 ，则 ，
则 ，即 ，
平面 的一个法向量 ，
故 ， ，
解得 或 （舍），
故存在点 满足条件， .
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学科网（北京）股份有限公司
