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天津市耀华中学 2024 届高三年级暑期学情反馈
数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分
钟.祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.
1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 ，根据集合并集与补集运算求解.
【详解】方程 的两根分别为 ，
故 ，
所以 ， .
故选：D
2. 设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出 ；
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学科网（北京）股份有限公司由 能推出 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
3. 函数 在 的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案.
【详解】设 ， 的定义域为 ，
，所以 是奇函数，
图像关于原点对称，C选项错误.
，所以BD选项错误，A选项正确.
故选：A
4. 某部门随机调查了90名工作人员，为了了解他们的休闲方式是读书还是健身与性别是否有关，得到的
数据如列联表所示.若认为性别与休闲方式有关，则此时犯错误的概率不超过（ ）
休闲方式
性别 合计
读书 健身
女生 25（ ） 20（ ） 45
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学科网（北京）股份有限公司男生 15（ ） 30（ ） 45
合计 40 50 90
附： ， ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A. 0.01 B. 0.05 C. 95% D. 99.5%
【答案】B
【解析】
【分析】计算 的值，由此确定正确答案.
【详解】依题意， ，
所以犯错误的概率不超过 的情况下，认为性别与休闲方式有关.
故选：B
5. 已知 ，则 （ ）
A. 25 B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
， ， ，
据此可得： .
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数
不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指
数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
7. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取
出一球放入乙罐，分别以 、 和 表示从甲罐中取出红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一球，
以 表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全概率公式求得 ，结合条件概型的知识确定正确答案.
【详解】依题意， ，A选项正确.
，B选项错误，
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学科网（北京）股份有限公司，C选项错误，
，D选项错误.
故选：A
8. 设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．
若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进
而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
9. 已知函数 图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析 的单调性，可得对称点分别位于 与 的图象上，从而
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学科网（北京）股份有限公司得到 ，进而利用同构法，构造函数 得到 ，再构造函数
，由此得解.
【详解】因为 ，
所以当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
又 的图象上存在关于y轴对称的两点，
所以这两个对称点分别位于 与 的图象上；
设 在 的图象上，则 在函数 的图象上，且 ，
故有 ，即 ，
进而 ；
设 ，则 ，
又 恒成立，故 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，则 ，于是 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用同构法，将 转化为
，从而构造了函数 ，由此得解.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分.不需写出解答过程，请把答案填在答
案纸上的指定位置.
10. 已知 （ 为虚数单位），则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数乘法、除法运算求得正确答案.
【详解】依题意 ，
则 .
故答案为：
11. 的展开式中常数项为______ ．
【答案】60
【解析】
【分析】先求出展开式的通项公式,再令 的指数为0,解出 ,进而可求出常数项.
【详解】 的展开式中的通项公式： .
令 -6=0，解得r=4．
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的展开式中常数项为: =60．
为
故答案 60．
【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.
12. 将字母 、 、 、 、 、 排成一排，其中 必须在 的左边，则不同的安排方法有________.
（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先安排 ，然后排其它字母，由此计算出不同的安排方法.
【详解】先安排 ，方法数有 种方法，
再安排其它字母，方法数有 种，
故不同的安排方法有 种.
故答案为：
13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上
数字的最小值为 ，则 __________， _________．
【答案】 ①. ， ②. ##
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式求 ，由条件求 分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最
小值为2的取法有 种，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由已知可得 的取值有1，2，3，4，
， ，
，
所以 ,
故答案为： ， .
14. 已知 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一
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学科网（北京）股份有限公司正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值
（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参
数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
15. 设函数 存在最小值，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据 的值与 的大小关系进行分类讨论，每种情况分别求函数在 和 的最小值，并
比较大小即可.
【详解】①当 时， ，故函数 在 上单调递增，因此 不存在最小值；
②当 时， .
当 时， ，故函数 存在最小值；
③当 时， ，故函数 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， .
若 ，则 不存在最小值，故 ，解得 .
此时 满足题设；
④当 时， ，故函数 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， .
因为 ，所以 ，
因此 不存在最小值.
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，
请把解题过程写在答案纸上.
16. 在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 .
（1）求角B的大小；
（2）设 ， ，求 和 的值.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理得到 ，即可得到 ，从而求出 ；
（2）利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理求出 ，即可求出 ，再利用二倍角公式求出 、
，最后根据两角和的正弦公式计算可得；
【小问1详解】
解：在 中，由正弦定理 ，可得 ，
又由 ，得 ，即 ，
又因为 ，可得 .
【小问2详解】
解：由（1）得，在 中， ， ，
由余弦定理有 ，故 .
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理 ，即 ，可得 .
又因为 ，故 .
因此 ， .
所以 .
17. 如图，P，O分别是正四棱柱 上、下底面的中心，E是AB的中点， ，
．
（1）求证： 平面PBC；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】(1)建立坐标系，利用平面的法向量与 的数量积为零可证明；
(2)利用 与平面的法向量可求解；
(3)利用平面的法向量可求解.
【小问1详解】
以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， ， ， ，
由上得 ， ， ，
设平面PBC的法向量为 ，则由 得
取 ，得 ，因为 ，所以 ，
又 平面PBC，所以 平面PBC．
【小问2详解】
由（1）知平面PBC的法向量为 ，
因为 ，所以 ，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 ．
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司显然，平面POC的法向量为 ，
由（1）知平面PBC的法向量为 ，
设平面POC与平面PBC的夹角为 ，则 ．
18. 已知椭圆C： 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，点P（﹣1， ）在椭圆C上，
1 2
且|PF| ．
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F 的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若椭圆C上存在点N，满足 3
2
（O为坐标原点），求直线l的方程．
【答案】（1） ．（2）x y﹣1＝0或x y﹣1＝0．
【解析】
【分析】（1）根据题意得 ①， ②， ③，由①②③组
成方程组，解得 ， ，进而得椭圆 的方程．
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，联立直线 与椭圆 的方程得关于 的一元
二次方程，结合韦达定理得 ， ，从而得线段 中点 坐标，点 的坐
标，将其代入椭圆方程，可解得 ，进而得出直线 的方程．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）因为点 在椭圆 上，且 ．
所以 ，①
，解得 ，②
又因为 ③
由①②③组成方程组，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为： ．
（2）由（1）可知 ，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立直线 与椭圆 的方程得 ，
得 ，则 ，
所以线段 中点 ， ，
所以 ， ，
所以 点的坐标为 ， ，
将 点坐标代入椭圆的方程 ，
解得 ， ，
所以直线 的方程为： 或 ．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知等比数列 的公比 ，若 ，且 ， ， 分别是等差数列 第
1，3，5项.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） ，
（2）
（3）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得 .
（2）利用错位相减求和法求得 .
（3）利用裂项求和法，结合对 进行分类讨论，由此求得 的最大值和最小值.
【小问1详解】
依题意， ， ，
解得 ，所以 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 .
【小问2详解】
，
， ，
两式相减得 ，
.
【小问3详解】
，
，
当 为偶数时， ，
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学科网（北京）股份有限公司令 （ 为偶数），则 是单调递增数列，
最小值为 ，且 .
当 为奇数是， ，
令 （ 为奇数），则 是单调递减数列，
最大值为 ，且 .
综上所述， 的最大值为 ，最小值为 .
【点睛】求解等差数列或等比数列的通项公式，关键是通过基本量的计算求得首项和公差（公比）.求解形
如等差数列乘以等比数列，或等差数列除以等比数列的数列的前 项和，使用的方法是错位相减求和法.
20. 已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求a的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 .
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性.
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学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，求出 ，先讨论 时题设中的不等式不成立，再就 结合放
缩法讨论 符号，最后就 结合放缩法讨论 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 对任意的 恒成立，从而可得 对任意的 恒成
立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【
小问1详解】
当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
【小问2详解】
设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
【小问3详解】
取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
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学科网（北京）股份有限公司导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
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学科网（北京）股份有限公司
