文档内容
2023-2024学年度高中数学期中考试卷
考试时间：150分钟 满分：150分
命题人：魏菲审题人：马风格
注意事项：
1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时
150分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。答卷
时，考生务必将答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。
3.祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
第I卷（选择题）注意事项：1. 每小题选出答案后，请填写
在答题卡上，答在本试卷上无效。2. 本卷共11小题，每小题
3分，共33分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、单选题
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 R，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合
百般好，隔离分家万事休”，如函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 ， ， ，则
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
5．设向量 ， ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．将函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，再向左平
移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 过点 D． 在区间 上单调递增
7．已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 单调递增，记 ，
， ，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，下
列说法正确的是
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
试卷第2页，共3页D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
9．已知函数 ，若函数 有m个零点，函数
有n个零点，且 ，则非零实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
10． 是虚数单位，复数 的虚部是 .
11．在 的展开式中，求含 项的系数为 ．
12． ．
13．已知 为正实数，则 的最小值为 .
14．已知向量 ，记函数 ，若
在 上单调递增．则 的取值范围为 ．
三、双空题
15．如图.在平面四边形 中， ，
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司；若点 为边 上的
动点，则 的最小值为 .
四、解答题
16．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，且
．
(1)求角 ；
(2)求边 的大小；
(3)求 的值．
17．在 中，角 的对边分别是 ，且满足
（1）求 的值
（2）若 ，且 的面积 ，
（i）求边 的值；
（ii）求 的值.
18．已知 .
(1)求 的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，求 在区间 的
试卷第4页，共3页值域.
19．已知函数 的图象过点 ， ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 区间 上单调递减，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围．
20．已知函数 ， ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程.
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司参考答案：
1．B
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
2．A
【分析】解出两个不等式，根据范围判断即可.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，即 或 ；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．D
【分析】求出函数定义域,排除两个选项，再由函数值的正负排除一个，从而得正确选项．
【详解】由 得 ，即函数定义域是 ，排除AB，
时， ， ， ， 时， ， ， ，
因此排除C，
故选：D．
4．C
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】 ,故
故选C
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是
关键，属于基础题．
5．A
【解析】由题可得 ，即可求出 ，再利用正切的二倍角公式
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司即可求出.
【详解】 ， ， ，
，则 ，
.
故选：A.
6．D
【分析】利用函数图象变换可求得函数 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断
AB选项；计算出 的值，可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】将函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，可得到
函数 的图象，
再将所得图象向左平移 个单位，可得到函数 的
图象，
对于A选项， ，A错；
对于B选项， ，B错；
对于C选项， ，C错；
对于D选项，当 时， ，
答案第2页，共2页所以，函数 在区间 上单调递增，D对.
故选：D.
7．A
【分析】先根据函数 是定义在 上的偶函数，得到 ，再利用
在 单调递增求解.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
又因为 ， ， ，
且 在 单调递增，
所以 ，即 ，
故选：A
8．D
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出 的值，可得
函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，得出结论．
【详解】由函数的图象可得A＝2， ，求得ω＝2．
在根据五点法作图可得2 φ＝π，求得φ ，∴函数f（x）＝2sin（2x ）．
当 时，f（x）＝0，不是最值，故A不成立．
当x 时，f（x）＝0＝﹣2，不等于零，故B不成立．
将函数 2sin（2x ）的图象向左平移 个单位得到函数y＝sin[2（x ） ]＝sin
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司（2x ）的图象，故C不成立．
当x∈[ ，0]时，2x ∈[ ， ]．
∵sin（ ）＝sin（ ） ，sin（ ）＝﹣1，
故方程f（x）＝m在 上有两个不相等的实数根时，则m的取值范围是 ，
故D成立；
故选D．
【点睛】已知函数 的图象求解析式
(1) .
(2)由函数的周期 求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .
9．C
【分析】作出 的函数图像，利用图像列出关于 的不等式，解出 的范围即可
【详解】 与 与 共交7个点
图象如下：
所以：（Ⅰ） ，解得
答案第4页，共2页（Ⅱ） ，解得
综上： ．
故选：C
10．
【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算．
【详解】 ．虚部为-2.
故答案为： ．
11．28
【分析】求出二项式展开式的通项 ，令x的次数为5求出对应的r的取值，从而可得其
系数．
【详解】二项式 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，可得含 项的系数为 ．
故答案为：28．
12． /
【分析】根据指数幂和对数的运算求解.
【详解】
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司,
故答案为: .
13． .
【解析】令 ，则 ，利用基本不等式即可求最值.
【详解】解：令 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为： .
【点睛】本题基本不等式求最值，其中换元法的使用让式子更简化直观，本题难度不大.
14．
【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求 的取
值范围.
【详解】向量 ，
，
由 ，当 ，有 ，则 ，
答案第6页，共2页依题意有 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
15． 2
【分析】利用余弦定理可求 ，设 ，利用数量积的运算律可用 表示 ，
利用二次函数的性质可求最小值.
【详解】连接 ，因为 ，故 ，
在 中， ，
故 .
所以 ，所以 ，
所以 ，故 ，而 ，
所以 为等边三角形，故 且 ，
延长 交 的延长线于 ，则
设 ，则 ，
故
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，
，
其中 ，故当 时， 有最小值 .
故答案为： .
16．(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）由三角形中常用恒等式化简得到 ，从而求出 ；（2）在第一问
的基础上，利用余弦定理进行求解；（3）余弦定理求出 ，从而求出 ，
再用余弦的差角公式进行求解.
【详解】（1）由 可得: ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
答案第8页，共2页（2）由余弦定理可得： ，
即
，解得： 或-1
∴
（3）因为 ， ，
由余弦定理得： ，
所以 ，
所以 ， ，
所以
17．（1） ；（2）（i） ；（ii）
【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得 的值，进而求得 的值.
（2）（i）利用正弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式列方程，由此求得 的值；
（ii）由题意求出 ，再由正弦定理可得 ，根据二倍角公式以及两角
差的正弦公式即可求解.
【详解】（1）由题意 ，
又因为 ，
为 内角，所以 .
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司（2）（i）因为 ，所以 得 ，
的面积 ，
即 ，
得 ，所以 ；
（ii） ，
因为 ，
，
解得 ， ，
又因为 ，
，
解得 ，
因为 ，所以 ，
，
，
.
18．(1)最小正周期为 ，单调减区间为 ；
答案第10页，共2页(2) .
【分析】（1）辅助角公式化简函数式，由正弦函数性质求最小正周期和递减区间；
（2）写出图象平移后的解析式，进而求区间值域.
【详解】（1）由 ，则 ，
所以 的最小正周期为 .
由 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 .
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，
所以 .
当 时， ， ，
所以函数 的值域为 .
19．(1)
(2)
(3) ．
【分析】（1）根据函数过点 代入求出 的值，即可得解；
（2）根据复合函数的单调性可知函数 在 上单调递减且大于零恒成立，
结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可；
（3）首先求出 ，再求出 ，依题意可得 ，即
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，设 ，利用单调性的定义证明 的
单调性，从而得到 ，结合单调性，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为函数 的图象过点 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
（2）由于 ，所以 在 上单调递增，
函数 在区间 上单调递减，
由复合函数单调性可知，函数 在 上单调递减且大于零恒成立，
则 ，解得 ，∴实数 的取值范围 .
（3）因为 且 ，所以 且 ，
因为 ，对称轴方程为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 的最大值是 或 ．
因为
，即 ．
所以 ，
若 ，只需 ，
即 ，则 ，
答案第12页，共2页设 ，
任取 ， 且 ，
则
，
因为 ，所以 ， ，
，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1） 恒成立⇔ ；
（2） 恒成立⇔ .
20．(1)
(2)答案见解析.
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导得 ，再分 和 两种情况讨论求解即可；
（3）根据题意将问题转化为 对 恒成立，再结合
答案第13页，共2页
学科网（北京）股份有限公司的单调性进一步转化为 对 恒成立，最后求解函数 的最值
即可得答案.
(1)
解：当 时， ，
所以 ， ，
所以 ，即切线斜率为
所以 在 处的切线方程为 .
(2)
解：因为 ， ，
所以 ，令 得 ，
所以当 ，即 时， 在区间 恒成立，函数 在 上
单调递减；
当 ，即 时， 时， ， 时 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
(3)
解：因为 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
所以 对 恒成立，即 对 恒成立，
答案第14页，共2页设 ，则 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，即 对 恒成立，
设 ，则 ，
所以 在 上恒成立，故函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即实数 的取值范围为
答案第15页，共2页
学科网（北京）股份有限公司
