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2023—2024学年度第一学期开学考试
高三 数学试卷参考答案
参考答案：
1．C
【分析】利用交集的定义直接求解即可
【详解】解：因为A={x|−20时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，
②中当x=x 时，y的值有两个，因此不是函数图象，
0
③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，
故选B
【点睛】本题考查了函数的概念，在判定是否为函数时要根据其概念，对于定义域内的每
一个变量x都有唯一确定的函数值y与之对应，结合图象即可判断，较为基础．
4．A
1 1
【分析】首先根据 < <0判断出a,b的关系，然后对四个不等式逐一分析，由此确定正
a b
确不等式的序号.
1 1
【详解】由于 < <0，所以b|a|，所以②错误.
③错误.
b b a √b a
④由于b1，有基本不等式得 + >2 ⋅ =2，所以④正确.
a a b a b
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司综上所述，正确不等式的序号是①④.
故选：A
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式，属于基础题.
5．C
【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶
性和单调性，能求出结果．
【详解】解：∵函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(−x)=0；
②对于定义域上的任意 ， ，当 时，恒有f(x )−f(x ) ，则称函数 为
x x x ≠x 1 2 <0 f(x)
1 2 1 2 x −x
1 2
“理想函数”，
∴ “理想函数”既是奇函数，又是减函数，
① 是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；
f (x)=x2
② 是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；
f (x)=−x3
1
③f (x)=x− 是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．
x
④f (x)=¿是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．
故选C
【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
6．A
【分析】根据频率分布直方图计算众数和中位数，可判断AB选项的正误；利用频率直方
图估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时和25小时的人数，可判断CD选项的正
误.
【详解】对于A，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横
坐标，
故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是(22.5+25)÷2=23.75，故选项A错误；
对于B，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于
y轴的直线横坐标，
设中位数为x，则有0.02×2.5+0.1×2.5+(x−22.5)×0.16=0.5，解得x=23.75，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项B正确；
对于C，每周的自习时间小于22.5小时的频率为(0.02+0.1)×2.5=0.3，
答案第2页，共2页所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是0.3×1000=300，故选项C
正确；
对于D，每周的自习时间不小于25小时的频率为(0.08+0.04)×2.5=0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.3×1000=300，故选项
D正确.
故选：A.
【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法
频率
（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示 ，
组距
频率
频率=组距× ，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．
组距
（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．
（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横
坐标．
（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的
乘积之和．
7．B
【分析】根据复合函数的单调性及二次函数的性质即得.
【详解】由题可得函数的定义域满足x2−4x+3≥0，即{x|x≤1或x≥3}，
根据复合函数的单调性，可得函数y＝ 的单调递减区间为 在
√x2−4x+3 u=x2−4x+3
(−∞,1]∪[3,+∞)上的递减区间，
因为u=x2−4x+3在(−∞,1]∪[3,+∞)上的单调递减区间为(－∞,1)，
所以函数y＝ 的单调递减区间为(－∞,1).
√x2−4x+3
故选：B
8．A
4
【分析】可以得出f(x)=x+ ，从而可得出f(x)在(1,2)上单调递减，在[2，3]上单调递
x
增，从而求出f(x)在(1，3]上的最小值为f(2)，并求出f(1)，f(3)的值，这样即可得出
f(x)在(1，3]上的值域．
x2+4 4
【详解】f(x)= =x+ ，
x x
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司∴f(x)在(1,2)上单调递减，在[2，3]上单调递增，
13
∴ f(2)=4是f(x)在(1，3]上的最小值，且f(1)=5，f(3)= ，
3
∴f(x)在(1，3]上的值域为[4，5)．
故选：A．
a
【点睛】本题考查了函数y=x+ (a>0)的单调性，函数值域的定义及求法，根据函数单
x
调性求值域的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．
9．ABD
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
1 1
【详解】解：选项A，由a>1，能推出 <1，但是由 <1，不能推出a>1，
a a
1 1
例如当a<0时，符合 <1，但是不符合a>1，所以“a>1”是“ <1”的充分不必要条件，
a a
故A正确；
选项B，由x2 −4x+4=0，解得x=2，所以“x=2”是“x2 −4x+4=0”的充要条件，故B
正确；
选项C，根据不等式的性质可知：由x≥2且y≥2能推出x2+ y2≥4，充分性成立，故C
错误；
选项D，因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，故充分性不成立，
由ab≠0可得a≠0且b≠0，即必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条
件，故D正确.
故选：ABD.
10．CD
【分析】A应用百分数的求法求70%分位数；B应用二项分布方差公式求D(X)即可；C应
用全概率公式及已知条件判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立即可；D根据正态分布的对
称性求P(2≤x<3)即可.
7+8
【详解】A：由10×70%=7，所以70%分位数是 =7.5，错误；
2
1 1 4
B：由题设，D(X)=6× ×(1− )= ，错误；
3 3 3
C：因为P(AB)+P(AB)=P(A)，即P(AB)=P(A)−P(AB)，又
P(AB)=P(A)⋅[1−P(B)]，即P(A)P(B)=P(A)−P(AB)，所以
答案第4页，共2页P(AB)=P(A)P(B)，故A与B独立，正确；
2P(X>1)−1
D：由题设，P(X)关于X=2对称，所以P(2≤x<3)= =0.18，正确；
2
故选：CD
11．AB
【分析】选项A，由根式定义，求解4−x2≥0，即可判断；
选项B，代入f (−x)验证，即可判断；
选项C，令−2≤2x−1≤2，求解即可得到定义域；
选项D，当定义域为 ，值域也为 ，故可判断.
[√3,2] [0,1]
【详解】选项A，由题意4−x2≥0，即(2−x)(2+x)≥0，解得−2≤x≤2，故函数定义域
为[−2,2]，正确；
选项B， ， ，正确；
∀x∈[−2,2] f (−x)=√4−(−x) 2=√4−x2=f (x)
1 3 1 3
选项C，由题意−2≤2x−1≤2，解得− ≤x≤ ，即函数g(x)的定义域为[− , ]，错误；
2 2 2 2
选项D，当定义域为 ，即 ，此时 ， ， ，
[√3,2] √3≤x≤2 3≤x2≤4 0≤4−x2≤1 0≤√4−x2≤1
即f (x)的值域为[0,1]，错误.
故选：AB
12．ABD
【分析】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次
推导、计算即可求解.
【详解】A：每位同学都有3个选择，所以共有36种不同的安排方法，故A正确；
B：每个活动小组至少有1名同学参加，各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种
情况，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有6种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有1种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有3种可能，
所以共有6+1+3=10种可能，故B正确；
C：若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，
则3个活动小组的报名人数分别为222，
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以报名的方法有 种，故C错误；
(C1C1 )(C1C1 )(C1C1 )=36
3 3 2 2 1 1
D：若每个活动小组最少安排一名同学，则各活动小组的报名人数可分为123，222，114三
种情况，
而甲､乙两名同学报名同一个活动小组，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有 种方法；
(C1C3+C1C2 )A3=96
4 3 4 3 3
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有C2C2A3 种方法；
4 2 3 =18
2
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有C2C1A3 种方法，
4 2 3 =36
2
所以报名的方法有96+18+36=150种，故D正确.
故选：ABD.
13．{x|10，讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集．
【详解】（1）由函数 ，不等式 化为 ，
f(x)=x2−(a+b)x+a f(x)<0 x2−(a+b)x+a<0
由不等式的解集为 ，所以方程 的两根为1和2，
(1,2) x2−(a+b)x+a=0
由根与系数的关系知：¿，解得a＝2，b＝1；
（2）b＝1时不等式 ，可化为
f(x)>0 x2−(a+1)x+a>0
即(x−a)(x−1)>0；
当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a；
当a＝1时，解不等式得x≠1；
当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1．
综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；
a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．
5
19．（1）− ；（2）√2
2
【分析】（1）变换 [1 8 ] 3，再利用均值不等式计算得到答案.
y=− (3−2x)+ +
2 3−2x 2
√2
（2）变换y= ⋅√2x(4−2x)，再利用均值不等式计算得到答案.
2
3
【详解】（1）x< ，则3−2x>0，
2
8 [1 8 ] 3 √1 8 3 5，
y=x+ =− (3−2x)+ + ≤−2 (3−2x)⋅ + =−
2x−3 2 3−2x 2 2 3−2x 2 2
答案第8页，共2页1 8 1
当 (3−2x)= ，即x=− 时等号成立.
2 3−2x 2
√2 √2 (2x+4−2x)
（2）y=√x(4−2x)= ⋅√2x(4−2x)≤ ⋅ =√2，
2 2 2
当2x=4−2x，即x=1时等号成立.
【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的转化能力，合理变形是解题
的关键.
20．(1)填表见解析；有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”
8
(2)
15
【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出
统计结论；
（2）分析可知，抽取的6名学生中，男生2人，分别记为a、b，女生4人，分别记为A、B、
C、D，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概
率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
满意 不满意 合计
男生 20 20 40
女生 40 20 60
合计 60 40 100
100×(20×20−40×20) 2 25 所以有 的把握认为“对讲座活动
K2= = ≈2.778>2.706 90%
60×40×60×40 9
是否满意与性别有关”.
（2）解：由题意，抽取的6名学生中，男生2人，分别记为a、b，女生4人，分别记为A、
B、C、D，
则在这6名学生中抽取2名学生，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、
bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种，
其中，事件“恰好抽中1名男生与1名女生”所包含的基本事件有：aA、aB、aC、
aD、bA、bB、bC、bD，共8种，
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司8
故所求概率为P= .
15
21．（1）r≈0.986；变量y与x的线性相关性很强；（2）^y=2.9+5.7x；可预测2023年
该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．
【分析】（1）首先根据表中数据求出x,y，再求出相关系数即可判断线性相关性的强弱.
（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再将x=6代入回归方程即可求解.
【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，
1+2+3+4+5 7+16+20+27+30
可得x= =3，y= =20，
5 5
5
∑ x y −5x y
i i
357−5×3×20
r= i=1 =
√ 5 √ 5 √55−5×3×3√2334−5×20×20
∑ x2−5x2 ∑ y2−5 y2
i i
i=1 i=1
57 57
= ≈ ≈0.986
√3340 57.8
因为0.75<0.986≤1，所以变量y与x的线性相关性很强．
5
∑ x y −5x y
i i
（2） b^= i=1 = 357−5×3×20 = 57 =5.7 ．
5 55−5×3×3 10
∑ x2−5x2
i
i=1
a^= y−bx=20−5.7×3=2.9
可得y关于x的线性回归方程为^y=2.9+5.7x
令x=6，可得y=37.1，
即可预测2023年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．
1
22．(1)分布列答案见解析，数学期望：
12
79
(2)
192
【分析】（1）先写出甲的得分的所有可能取值，分别求得其概率，列出分布列，即可求得
期望.
（2）写出甲获胜的累计得分的所有可能取值，分别求得其概率，即可得甲获胜的概率
(1)
1次猜灯谜游戏中，甲的得分记为ξ，则ξ的所有可能取值为1，0，−1.
答案第10页，共2页3 1 1 3 2 1 1 7 1 2 1
P(ξ=1)= × = ，P(ξ=0)= × + × = ，P(ξ=−1)= × = .
4 3 4 4 3 4 3 12 4 3 6
ξ的分布列为
ξ 1 0 −1
1 7 1
P
4 12 6
1 7 1 1
ξ的数学期望Eξ=1× +0× +(−1)× = .
4 12 6 12
(2)
设3次猜灯谜游戏后甲获胜的累计得分为X，
则
X=3
表示甲获胜3次，
P(X=3)=C3×
(1) 3
=
1 ，
3 4 64
X=2
表示甲获胜2次且平局1次， P(X=2)=C2(1) 2
×
7
=
7 ，
3 4 12 64
X=1
表示甲获胜2次且失败1次或甲获胜1次且平局2次， P(X=1)=C2(1) 2
×
1
3 4 6
+C1× 1 × ( 7 ) 2 = 55 ，
3 4 12 192
1 7 55 79
所以P(X>0)=P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)= + + = ，
64 64 192 192
79
所以3次猜灯谜游戏后甲获胜的概率为 .
192
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司
