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长郡中学 2024 届高三模拟考试（一）
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知双曲线 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人
进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数
为（ ）
A.30 B.25 C.20 D.15
3.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度
货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，
这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A.413 B.427 C.308 D.133
5. 的展开式中含 项的系数为（ ）
A.20 B.-20 C.30 D.-30
6.“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示 是以 为圆心，
学科网（北京）股份有限公司为半径的圆弧， 是 的中点， 在 上， ，则 的弧长的近似值 的计算公式：
.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与
人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的
圆心角为 ，则伞的弧长大约为（ ）
A.5.3米 B.6.3米 C.8.3米 D.11.3米
7.函数 有3个零点的充分不必要条件是（ ）
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
8.已知实数 分别满足 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 为虚数单位，复数 ，下列说法正确的是（ ）
A.
B.复数 在复平面内对应的点位于第四象限
C.
学科网（北京）股份有限公司D. 为纯虚数
10.已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象过点
C.函数 的图象关于直线 对称
D.若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是
11.小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有 的10个小球，每次随机抽取一个小
球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前
进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进 步的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.小华一共前进3步的概率最大
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
学科网（北京）股份有限公司12.已知集合 ，则 的真子集的个数为__________.
13.已知 为坐标原点， ，向量 ，动点 满足 ，写出一个 ，
使得有且只有一个点 同时满足 ，则 __________.
14.如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底
面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为 ，
则球形灯半径 与正四棱台外接球半径 的比值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
正四棱柱 中， 分别是棱 的中点， .
（1）求正四棱柱 的体积；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
16.（本小题满分15分）
机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物
的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某
大学机器人研究小组研发了 型､ 型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：
如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口 ，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，
房间的中心 为机器人的出发点， 型､ 型两个机器人别从出发点出发沿路线 任选一条寻找打开的出
学科网（北京）股份有限公司口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找.
型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的，
型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.
以 表示 型机器人为了离开房间尝试的次数，以 表示 型机器人为了离开房间尝试的次数.
（1）试求离散型随机变量 的分布列和期望；
（2）求 的概率.
17.（本小题满分15分）
对于数列 ，如果存在正整数 ，使得对任意 ，都有 ，那么数列 就叫做周期数
列， 叫做这个数列的周期.若周期数列 满足：存在正整数 ，对每一个 ，都有
，我们称数列 和 为“同根数列”.
（1）判断数列 是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，
说明理由；
（2）若 和 是“同根数列”，且周期的最小值分别是 和 ，求 的最大值.
18.（本小题满分17分）
已知抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，过点 的直线与 交于 两点（点 在
点 的左侧）.
（1）若点 是线段 的中点，求点 的坐标；
（2）若直线 与 交于点 ，记 内切的半径为 ，求 的取值范围.
19.（本小题满分17分）
黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一.它与函数
为常数）密切相关，请解决下列问题：
（1）当 时，讨论 的单调性；
学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，
①证明： 有唯一极值点；
②记 的唯一极值点为 ，讨论 的单调性，并证明你的结论.
长郡中学 2024 届高三模拟考试（一）
数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABC 10.BCD 11.BC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.7 13. 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）连接 ，因为 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
所以正四棱柱 的体积 .
（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
，
则 ，
令 ，则 ，
则平面 的法向量为 .
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
，
则 ，
令 ，则 ，
则平面 的法向量为 .
.
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
16.【解析】（1） 的可能取值为 ，
，
，
，
所以 的分布列为
1 2 3
.
（2） ，
，
学科网（北京）股份有限公司则
.
17.【解析】（1） 均是周期数列，理由如下：
因为 ，
所以数列 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）.
因为 ，
所以 .
所以数列 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）.
（2）当 是奇数时，首先证明 不存在数列满足条件.
假设 ，即对于 ，都有 .
因为 ，
所以 ，
即 ，及 .
又 时， ，
所以 ，与 的最小值是 矛盾.
其次证明 存在数列满足条件.
取
学科网（北京）股份有限公司及
对于 ，都有 .
当 是偶数时，首先证明 时不存在数列满足条件.
假设 ，即对于 ，都有 .
因为 ，
所以 ，
即 ，及 .
又 时， ，
所以 ，与 的最小值是 矛盾.
其次证明 时存在数列满足条件.
取
及
学科网（北京）股份有限公司对于 ，都有 .
综上，当 是奇数时， 的最大值为 ；
当 是偶数时， 的最大值为 .
18.【解析】（1）由题意知 ，
设点 ，
因为点 是线段 的中点，
所以 ，
又点 都在抛物线 上，
所以 ，
解得 ，
所以点 的坐标为 或 .
（2）由题意可知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，
由点 在点 的左侧，则 ，
设 ，直线 与 轴交于点 ，
联立 ，得 ，
由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，
所以直线 的斜率存在，
由题可得 ，
所以直线 的方程为 ，
与 联立得， ，
化简得 ，
解得 或 ，
因为直线 的斜率存在，
所以 ，
所以 轴.
所以 ，
的周长为 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .
令 ，则 ，
因为 在 上均单调递减，
所以 在 上单调递减，
则 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
19.【解析】
（1） ，
令 ，
学科网（北京）股份有限公司，当 时，
在区间 上单调递减，
又 ，
所以，当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减.
（2）①（1）得： ，
令
令 ，可得： ，依题意：
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ，所以 ，又因为
所以，存在唯一 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以， 存在唯一极大值点 ，且 .
②结论： 在 上单调递增.
证明：由（1）知：当 时， 存在唯一极大值点，
任意 ，且 ，依题意： 的极大值点为 ，记为 ；
的极大值点为 ，记为 ；
则 为 的零点，
学科网（北京）股份有限公司为 的零点，
则 ，
由①知：
由 得：
，
由于 ，所以 .
根据①的分析可知， ，即 ，即
所以 在 上单调递增.
学科网（北京）股份有限公司
