文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B D B C A A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ACD BCD BC BCD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式 ，利用 可得 ，利用累乘法，结合验
证首项，即可求得答案；
（2）由（1）可得 的表达式，利用错位相减法可求得 ，即可证明结论.
【详解】（1）由题意对任意正整数n，有 ，
则 时， ，即 ；当 时， ，则 ，
即 ，即 ，
故 时， ，
也适合上式，故 ；
（2）证明：由（1）可得 ，
故 ，
则 ，
故
，
故 ，由于 ，故 ，
故 .
18．（12分）
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由正弦边角关系及已知得 ，即可得角 ；
（2）由余弦定理得 ，由 及面积公式得 ，求得 ，进而应用面积公式求面积.
【详解】（1）由 ，得： ，即 ，
又 ，所以 .
（2）在 中， 得： ①，又 ，
得： ，化简得： ②，
由①②得： ，所以
19．（12分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明 ，推出 平面 ，进而可得结论；
（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线CM与
平面CBD所成角的正弦值；
（3）利用向量法求二面角 的余弦值.
【详解】（1） 直三棱柱 中, ，M为AB的中点，， 平面 ， 平面
，又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ；
（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
设面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设直线CM与平面CBD所成角为 ，
；
（3）设面 的法向量为 ，又 ，，取 得 ，
，
所以二面角 的余弦值为 .
20．（12分）
【答案】(1) 百元
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得 ，利用中位数计算公式计算即可.
（2）求得 的所有可能取值和对应的概率即可得到分布列，再由数学期望公式计算即可.
（3）由题意得 ，由二项分布的数学期望与方差公式直接计算即可.
【详解】（1）设这500名在职员工的个人所得税的中位数为 ，
则由频率分布直方图得 ，
解得 ，
所以这500名在职员工的个人所得税的中位数为 百元.
（2）由题意抽取的10人中，年个税在 内的员工人数为 人，
年个税在 内的员工人数为 人，
年个税在 内的员工人数为 人，
若现从这10人中随机抽取3人，记年个税在 内的员工人数为 ，
则 的所有可能取值为 ，所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
的数学期望为： .
（3）由频率分布直方图可知年个税在 内的概率为 ，
从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，恰有 个员工的年个税在 内的分
布列服从二项分布 ，
由二项分布的数学期望、方差公式可得 ，
即 的数学期望与方差分别为 .
21．（12分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义求得曲线 的方程.
（2）直线 为 ，通过联立方程组等求得 两点的坐标，求得 面积的表达式，利用换
元法以及函数的单调性求得 面积的最大值．
【详解】（1）设 的中点为S， 的中点为T，所以 ， ，所以 ，所以 ，
所以G点的轨迹是以 为焦点，长轴长 的椭圆．所以 ，
所以 ， ，所以曲线C的方程为 ．
.
（2）设直线 为 （不妨设 ），设 ， ，
所以 ， ， ，
解得 （ 舍去），则 ，
由于AB是单位圆的直径，所以 ，
所以直线EN的斜率为 ，直线EN的方程为 ，
同理可求得 ，则 ，
由上述分析可知 ， ，而 ，
所以，
所以 ，令 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
则 ，函数 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 ．
【点睛】关键点睛：在圆锥曲线中，求解三角形面积最值、范围等的有关问题，关键点有两点，第一点是
求得三角形面积的表达式，可考虑根与系数关系、点到直线的距离公式等等来进行求解；第二点根据面积
的表达式，使用基本不等式、二次函数等知识求得面积的最值或取值范围.
22．（12分）
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）对 进行求导，已知 最小值为0，可得极小值也为0，得 ，从而求出 的
值；
（2）由题意任意的 ，有 成立，可以令 先通过 ， 大
致确定 取值范围，再利用分类讨论法求出 的最值；
（3）由（2）知:令 得: 令 得:，累加即可的证.
【详解】（1）由函数 ，则其定义域为 ，且 .
由 ，得: ，又由 ，得: ，
在 单调递减，在 单调递增，
；
（2）设 ，
则 在 恒成立等价于 ，
注意到 ，又 ，
①当 时，由 得 .
在 单减， 单增，这与 式矛盾；
②当 时， 在 恒成立， 符合 ，
的最小值为 ；
（3）由（2）知：令 得： ，
令 得：
当 时， (1)；
当 时， ，
，，
将(1)(2)(3),......,(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以 .
【点睛】方法点睛：对于含参函数的恒成立问题的处理，常采用两种方法：①参变分离求最值；②将左右
两边移到一边重新构造一个含参函数，讨论含参函数的单调性，确定哪一个点处取得最值.
