文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．6
3．如图，在四边形ABCD中， ，设 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
4．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖､三角攒
尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，
它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为 米，侧棱长为5米，则其体
积为（ ）立方米.A． B．24 C． D．72
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶
数可以表示为两个素数的和”，如 .在不超过15的素数（素数是指在大于1的自然数中，除了1
和自身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，所得图象在区间
上恰有两个零点，且在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知等腰直角 中， 为直角，边 ，P，Q分别为 上的动点（P与C不重合），
将 沿 折起，使点A到达点 的位置，且平面 平面 若点 ，B，C，P，Q均在球O
的球面上，则球O表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．正方体 的内切球的半径为
B．两条异面直线 和 所成的角为
C．直线BC与平面 所成的角等于
D．点D到面 的距离为
10．已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 不是函数 的极值点
C． 在 上单调递增 D． 存在两个零点
11．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 两个不同点，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的最小值是6 B．若点 ，则 的最小值是4
C． D．若 ，则直线 的斜率为
12．已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 .若 ， 均为偶函数，
则（ ）A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 展开式中含 项的系数是 .
14．写出与圆 和圆 都相切的一条直线的方程 .
15．若函数 与 ， 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则
的最小值为 .
16．已知椭圆 ， 、 分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x
轴上一点，使得 平分 .过点D作 、 的垂线，垂足分别为A、B.则 的最小
值是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
18．（12分）在 中，内角 所对的边分别为 ，满足
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的最大值．
19．（12分）如图，在三棱柱 中， ， ，E，F分别为 ， 的中点，且
平面 ，(1)求棱 的长度：
(2)若 ，且 的面积 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
20．（12分）为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于
某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐 0.15 0.10 0.00 0.50
点外卖 0.20 0.00 0.50
合计 0.20 0.15 0.00 1.00
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为 （同一组数据以该组数据所在区间的
中点值作为代表）.
(1)补全频率分布表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最
近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过 时，认为较近，否则认为较远）：
(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择
去甲食堂就餐为事件 ，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件 ，且 、 均为随机事件，证明：
：
（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得 元优惠；
②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优
惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得 元优惠，以后每天中午均获得 元优惠（其中 ， 为已知数
且 ）.校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为 （ ），且是否去甲食堂就餐相互独立.又
知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更
大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出
选择，并说明理由.
附： ，其中 .
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
21．（12分）已知双曲线 上的一点到两条渐近线的距离之积为2且双曲线C的
离心率为 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知M是直线 上一点，直线 交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原
点，过点M作直线 的平行线l，l与直线 交于点P，与x轴交于点Q，若P为线段 的中点，求实
数t的值.
22．（12分）已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
(1)求函数 的单调区间和最值；
(2)证明：函数 有且只有一个极值点；
(3)当 时，证明： ．
