文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷
（新高考Ⅱ卷专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ， ，且 ，则 （ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
故选：D.
2．已知 ，则 （ ）.
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
则 ，所以 .
故选：C.
3．已知 的图象与直线 在区间 上存在两个交点，则当 最大时，曲线
的对称轴为（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】当 时 ，
要使得 的图象与直线 存在两个交点，
则 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
此时曲线 的对称轴为 ， ，
解得 ， ，
故选：D
4．函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
对任意 ， ，所以 ，
所以 的定义域为 ，
，
所以函数 为奇函数.
令 ，
可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，
由 可得 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，
又 ，
所以函数 为奇函数，排除BD选项，
当 时， 是减函数，
则 ， ，
所以 ，排除A选项.
故选：C
5．如图，正方形 中， 是线段 上的动点，且 ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】正方形 中， ，则 ，
而 ，则 ，
又点 共线，于是 ，即 ，而 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：C
6．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），
沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续
以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，
则图4被挖去的三角形面积之和是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】第一种挖掉的三角形边长为 ，共 个，面积为 ；
第二种挖掉的三角形边长为 ，共 个，面积为 ，
第三种挖掉的三角形边长为 ，共 个，
面积为 ，
故被挖去的三角形面积之和是 .
故选：D
7．已知函数 满足对于任意实数 ，都有 成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，对于任意实数 ，都有 成立，
不妨设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，解得 .
故选：D
8．已知双曲线 右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为 为双曲线的右焦点，若
，设 ，且 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
因为 ，则四边形 为矩形，
所以 ，
则 ， ．
．
．
即 ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，即 ，
所以 ，
即双曲线离心率的取值范围是 ，
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆M： ，则下列关于圆M的结论正确的是（ ）
A．点 在圆M内
B．圆M关于直线 对称
C．圆M与圆O： 相切
D．若直线l过点 ，且被圆M截得的弦长为 ，则l的方程为
【答案】BC
【解析】圆 的方程为 ，即圆心为 ，半径为 ，
对于A：因为 ，所以点 在圆 外，故选项A错误；
对于B：因为 ，所以圆心在直线上，故选项B正确；
对于C：因为圆O、圆 的圆心距为 ，两圆的半径差为 ，
所以两圆内切，故选项C正确；
对于D：当直线l的斜率不存在时，其方程为 ，圆心 到直线l的距离为 ，
直线被圆所截得的弦长为 ，
当直线l的斜率存在时，设其方程为 ，圆心 到直线l的距离为 ，解得 ，可得直线l的方程为 ，综上所述，直线l的方程为 或 ，故选
项D错误.
故选：BC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若数据 的方差为1，则新数据 ， ，…， 的方差为1
B．已知随机事件A和B互斥，且 ， ，则 等于0.5．
C．“ ”是直线 与直线 互相垂直的充要条件
D．无论实数λ取何值，直线 恒过定点
【答案】ABD
【解析】对于A：若数据 的方差为1，则新数据 ， ，…， 的稳定程度没有发生
改变，方差还是 ，A正确；
对于B：随机事件A和B互斥，且 ， ，
则 ，
则 ，B正确；
对于C：若直线 与直线 互相垂直，则 ，
解得 或 ，
故“ ”是直线 与直线 互相垂直的充分不必要条件，C错误；
对于D：直线
即为 ，令 ，解得 ，
即无论实数λ取何值，直线 恒过定点 ，D正确.
故选：ABD.11．如图，在棱长为2的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，点 在 上，
点 在 上，且 ，点 在线段 上运动，下列说法正确的有（ ）
A．当点 是 中点时，直线 平面 ；
B．直线 到平面 的距离是 ；
C．存在点 ，使得 ；
D． 面积的最小值是
【答案】AC
【解析】对于A，由 是 中点， ，得点 是 的中点，连接 ，显然 也是 的中点，
连接 ，
于是 ，而 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 ，A正确；对于B， 分别是棱 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ，于是
平面 ，
因此直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离h，
，
， ， ，
由 ，得 ，B错误；
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ,
对于C，设 ，则 ， ， ，
，
由 ，得 ，解得 ，
由于 ，因此存在点 ，使得 ，C正确；
对于D，由选项C得 在 的投影点为 ，则P到 的距离 ，
面积为 ，所以当 时， 取得最小值为 ，D错误.
故选：AC
12．已知 、 都是定义在 上的函数，且 为奇函数， 的图像关于直线 对称，则下
列说法中一定正确的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 的图像关于直线 对称
【答案】AD
【解析】解：因为 是定义在 上的函数，且 为奇函数，所以 ，故A正确；
因为 是定义在 上的函数，且 的图像关于直线 对称，所以 ， 不一定
为0，故B错误；C明显错误；
因为 ，所以 的图像关于直线 对称，故D正确.
故选：AD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则实数 的值为 .
【答案】
【解析】因为 的展开式中各项系数的和为 ，
令 ，可得 ，解得 .
故答案为： .14．已知等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，
所以 .
故答案为：
15．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则
的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】由题意，
, 所以消去 得
，
由 , 得 ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，∴原式
故答案为： .
16．在棱长为2的正方体 中，点M是对角线 上的点（点M与A、 不重合），则下
列结论正确的是 .（请填写序号）
①存在点M，使得平面 平面 ；
②存在点M，使得 平面 ；
③若 的面积为S，则 ；
④若 、 分别是 在平面 与平面 的正投影的面积，则存在点M，使得 .
【答案】①②④
【解析】连接 , ,
①设平面 与对角线 交于M,
由 , ，且 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，即 平面 ,
所以存在点M，使得平面 平面 ，所以①正确；
②连接 , ,
由 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理由 可得 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
设平面 与 交于点M，则 平面 ，
所以 平面 ，所以②正确；
③连接 交 于点O,过O点作 ,在正方体 中，
由① 平面 ，同理可证 平面 ，
且 平面 ，
所以 ,所以OM为异面直线 与 的公垂线,
根据 ,所以 ,
即 ,
此时 的面积为 ,
所以③不正确；
④设点 在平面 的正投影为 ，在平面 的正投影为
如图，因为 平面 ，
则 在平面 内的射影为 ，
由 ，则 ，
故在点 从 的中点向着点A运动的过程中，
点 也从 的中点向着点 运动.由 平面 ，则 ，
故当 为 中点时， 正投影 也为 中点，
此时 在平面 的正投影的面积 ，
因此，在点 从 的中点向着点A运动的过程中，
的面积即 从1减少到趋向于0,即 ,
同理，在点 从 的中点向着点A运动的过程中，
点 也从 的中点向着点 运动， 的面积即 从0开始增加，
当 与 重合时， 正投影 与 重合，
此时 在平面 的正投影的面积 ，
所以 ,
故在此过程中,必存在某个点 使得 ,所以④正确,
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知点 是角 终边上一点．
(1)求 的值；
(2)若将角 终边绕着坐标原点逆时针旋转 得到角 的终边，求 的值．
【答案】(1)
(2)【解析】（1）因为点 是角 终边上一点，
所以 ， ， ，
（2）将角 终边绕着坐标原点逆时针旋转 得到角 的终边，
故 ，
所以
18．（12分）已知正项数列 的前 项和 ，满足： ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 ．
【答案】(1)
【解析】（1）当 时， ，解得 ．
当 时，由 ①，可得 ，②
① ②得： ，即 ．
，
．是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 的通项公式 ．
（2）由（1）可得 ，
，
， ， ， ， ，
，
.
19．（12分）如图，在四棱柱 中，四棱锥 是正四棱锥， .
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)若四棱柱 的体积为16，点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)
(2)【解析】（1）因为四棱锥 是正四棱锥，连接 交于点 ，则 ，
连接 ，则 平面 ，所以 两两垂直.
如图所示，以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系
，
设 ，因为 ， ,则 ，
设 与 交于点 ，则 为 的中点，
所以 ，
，
所以 ，设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
得 ，
取 ，得 ，
直线 的一个方向向量为 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（2）因为四棱柱 的体积为 ，所以 ，
由（1）知， ，
.
因为 ，则 ，
所以 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，得 ，
取 ，得 ，
所以点 到平面 的距离为 .
20．（12分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务
亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛．挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑
战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜．若赛制要求挑战者先答题，守擂者
和挑战者每次答对问题的概率都是 ，且每次答题互不影响．
(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少?
(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少?
(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之
二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利．若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并
说明理由．【答案】(1)0.25
(2)
(3)没有增加，理由见解析
【解析】（1）设事件 为挑战者获胜，事件 为不多于两次答题比赛结束．
．
（2）设 为先答题者获胜的概率，则 ，解得 ，
所以挑战者获胜的概率是 .
（3）设随机变量 为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数， 为此时挑战者获胜的概率；
为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数， 为此时挑战者获胜的概率．
，
，
显然， ，即该挑战者胜利的概率没有增加．
21．（12分）已知椭圆 ： ，点 、 分别是椭圆 的左焦点、左顶
点，过点 的直线 （不与x轴重合）交椭圆 于A，B两点．
(1)求椭圆M的标准方程；(2)若 ，求 的面积；
(3)是否存在直线 ，使得点B在以线段 为直径的圆上，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见详解
【解析】（1）由左焦点 、左顶点 可知： ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）因为 ， ，
则过 的直线 的方程为： ，即 ，
解方程组 ，解得 或 ，
所以 的面积 .
（3）若点B在以线段 为直径的圆上，等价于 ，即 ，
设 ，则 ，
因为 ，则 ，
令 ，
解得： 或 ，又因为 ，则不存在点 ，使得 ，
所以不存在直线 ，点B在以线段 为直径的圆上.
22．（12分）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)若 在区间 有2个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 处取极大值
(2)
【解析】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增， 无极值，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减：
所以当 时， 在 处取极大值 ，无极小值；
（2） ，
令 ，得 ，令 ， 在区间 有2个零点，
即 与 在区间 有2个交点，
， ， ，当 ， ， 在 上单增，
当 ， ， 在 上单减，
， 的最大值为 ， ，
与 在区间 有2个交点，则 ．
