文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．
16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了 ，17世纪法因数学家笛卡尔把i称为
“虚数”，用 表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设平面向量 ， ，且 ，则 =（ ）
A．1 B．14 C． D．
4．已知等比数列 的首项为3，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．若对任意的 ，且当 时，都有 ，则实数 的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
6．设直线 上存在点 到点 的距离之比为2．则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，若方程 在 的解为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互
相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的蒙日圆方程为
C．若 为正方形，则 的边长为 D．长方形 的面积的最大值为18
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质
量指数（单位：μg/m³）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连
续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地区：平均数为80，众数为70
B．乙地区：平均数为80，方差为40
C．丙地区：中位数为80，方差为40
D．丁地区：极差为10，80%分位数为90
10．已知大气压强 随高度 的变化满足关系式 是海平面大气压强， .我
国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
平均海拔
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
11．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高
的几何体，其中上层 是正四棱柱，下层底面 是边长为4的正方形， 在底
面 的投影分别为 的中点，若 ，则下列结论正确的有（ ）A．该几何体的表面积为
B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．点 到平面 的距离为
12．已知定义在 上的函数 可导，且 不恒为 为奇函数， 为偶函数，则
（ ）
A． 的周期为4
B． 的图象关于直线 对称
C．
D．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．古镇旅游是近年旅游的热点，某旅游短视频博主准备到江西婺源古村落、瑶里古镇、驿前古镇、河口
古镇、密溪古村五个地方去打卡，每个地方打卡一次，则先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡
的方法数为 .（用数字作答）
14．在棱长为1的正方体 中，点 、 分别是线段 、 （不包括端点）上的动点，
且线段 平行于平面 .若 ，则四面体 的体积为 .
15．已知函数 ，若函数 在 上恰有两个零点，
则 的取值范围为 .
16．定义：点 为曲线 外的一点， 为 上的两个动点，则 取最大值时， 叫点 对曲线
的张角.已知点 为抛物线 上的动点，设 对圆 的张角为 ，则 的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且 ．
(1)求B；
(2)若 ，且 的面积为 ，求b.
18．（12分）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，
且 底面 ，点 分别在棱 、 上·
(1)若P是 的中点，证明： ；
(2)若 平面 ，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为 ，求四面体 的体积．
19．（12分）已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ．
(1)求 的解析式；
(2)当 时，求证： ；
(3)若 对任意的 恒成立，求实数k的取值范围.
20．（12分）已知等差数列 的前 项和为 ， ， 为整数，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，且数列 前 项和为 ，若 对 恒成立，求实数 的取值
范围.
21．（12分）设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个
蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一
次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸
出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2
个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量 表示最后摸出的2个球的分数之和，求 的分
布列及数学期望.
22．（12分）已知平面内动点 ，P到定点 的距离与P到定直线 的距离之比为，
(1)记动点P的轨迹为曲线C ，求C的标准方程．
(2)已知点 是圆 上任意一点，过点 作做曲线C的两条切线，切点分别是 ，求 面
积的最大值，并确定此时点 的坐标.
