文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，
【详解】由题意得 ， ，
则 ，则 ，故A错误；
，或 ，则 ，故B正确；
又 ， ，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
2．设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，根据复数相等即可求出 ， ，进而求解.
【详解】设 ，则 ，整理得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：C
3．命题 ：函数 的最大值为 ，函数 的最小值为 ；命题 ： 的最大
值为 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】取特殊函数方法判断充分必要条件即可.
【详解】设 ， 分别存在最大值 和最小值 ，则
的最大值为 ，所以充分性不成立；
设 ， ， 取得最大值为1，但 不存在最小
值，所以必要性不成立．
故选:D．
4．函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性判断CD；根据特殊点判断AB.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
即函数 为奇函数，故CD错误；由 可知，C错误，A正确；
故选：A
5．已知向量 ，且 ，则实数 构成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量坐标运算，及向量垂直的坐标表示求解即得.
【详解】向量 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以实数 构成的集合是 .
故选：C
6．若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】妙用“1”求 ，然后解一元二次不等式 即可.
【详解】不等式 有解，等价于 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，即 ，解得 或 .
故选：D
7．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设 三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、
丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参
加，则不同的报名方法有（ ）
A．60种 B．150种 C．180种 D．300种
【答案】B
【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选 三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有 种；
②三组人数为2、2、1，此时有 种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．
故选：B．
8．已知 其中 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据两角和与差得正弦余弦公式构造并计算出 ， ，再根据同角三角函数商数关系计
算出 ，同理计算出 ，最后代入即可算出.
【详解】因为 ， ，得 ，所以 ，所以 ， ，所以 ，
因为 ， ，得 ，所以 ，
， ，所以
，
所以 .
故选： .
9．已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，点 分别是 的中点， ，
，则（ ）
A．三棱锥 的体积为16 B．三棱锥 的表面积为
C．球 的表面积为 D．球 的体积为
【答案】D
【分析】先根据题中给出的 的长度，可知 ， ，继而 平面
PBC；再根据数量关系证明 ，进而可构造出包含三棱锥的长方体，从而可求出三棱锥的体积和表
面积，根据三棱锥的外接球也是长方体的外接球，从而求得外接球表面积和体积.
【详解】由 ， ，
得 ， ，可得 ， ，
又 ， 平面PBC， 平面PBC，所以 平面PBC，
又 平面PBC，所以 ，
因为D，E分别是PB，BC的中点，且 ，所以 ， ，又 ，所以 ，有 ，得 ，
故 两两互相垂直，故可将三棱锥 放在长方体中，如图：
则三棱锥外接球的直径等于该长方体的对角线，设其外接球 的半径为R，
则 ，所以 ，所以球 的表面积为 ，
球 的体积为 ，故选项C错误，D正确.
三棱锥 的体积为 ，
在 中， ，点 分别是 的中点，
则 的高 ，所以 ，
三棱锥 的表面积为 ，
故选项AB错误.
故选：D.
10．已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ， 、 两点在双曲线的左、右两支上，
且 ， ， ，且点 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ，则由题意可得四边形 为矩形，设 ，
则 ， ，分别在 和 中，运用勾股定理，结合离心率公
式可求得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 为矩形，
设 （ ），则 ， ，
在 中， ，
所以 ，化简得 ，解得 ，
在 中， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，得 ，
所以离心率 ，
故选：B11．已知定义在 上的函数 满足 ， 为 的导函数，当
时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意设 ，结合题意可得 ，即函数 是定义在 上的奇函数，又
当 ， 时， ，则 ，可得 在 ， 上单调递增，在 ， 上单
调递增，利用单调性，即可得出答案．
【详解】令 ，
则 ，即 ，
故函数 是定义在 上的奇函数，
当 , 时， ，则 ，
故 在 , 上单调递增，在 , 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
则不等式 ，即 ，
故 ，解得 ．
故选：C．
12．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若数列 是单调递增数列，则 的取值范围是 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由 ，可得 ，两式相减得到 ，进而可得
，可判断①，根据 的值可判断 是否为等差，再根据等差数列得前 项和公式即可
求解②③；根据条件得 ， ，再根据数列 单调递增，则必有
，且 ，求解即可得出 的取值范围．
【详解】因为 ，当 ， ，
两式相减得 ，所以 ，两式相减得 ，故①错误，
当 时，令 ，则 ， ，得 ，所以 ，
令 ，则 ， ，得 ，所以 ，则
，所以 ，
故 奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
则
，所以②正确；
当 时，令 ，则 ， ，得 ，所以 ，
令 ，则 ， ，得 ，
故 偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列，奇数项从第二项开始以 为首项，2为公差的
等差数列，
则
，所以③正确；
由于 ， ， ，
则 ，
又数列 单调递增，则
必有 ，且 ，
所以 ，且 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，所以④正确．
故选：C．第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（广西壮族自治区玉林市2024届高三高中毕业班第一次摸底测试数学试题）已知公差不为零的等差数
列 的前 项和为 ，则
【答案】7
【分析】若公差为 且 ，易得 ，应用等差数列前n项和公式求结果.
【详解】若公差为 且 ，则 ，
由 .
故答案为：7
14．函数 （其中 ， ）的图像如图所示，为了得到 的图像，则
需将 的图象向右最小平移 个长度单位．
【答案】 /
【分析】首先根据函数的图象确定 、 、 的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求
得结果．
【详解】根据函数的图象： ， ，所以 ，
由于 ，所以 ,故 ，由于 ，取 ，得：
因此
要得到 的图象，则需将 的图象向右最小平移 个单位即可．
故答案为：
15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木
料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意
趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则
该米斗的外接球的表面积是 ．
【答案】
【分析】首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心 所在位置，根据垂直关系列出方程组，解方程组
得外接球半径，最后求出外接球表面积即可．
【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为 ，下底面中心为 ，
由棱台的性质可知，外接球的球心 落在线段 上，
由题意该四棱台上下底面边长分别为8和6，侧棱长为10，
则 ， ， ，
所以 ，
设外接球的半径为 ， ，则 ，
因为 垂直于上下底面，
所以 ，即 ，又 ，即 ，
联立解得 ， ，
所以该米斗的外接球的表面积为 ．
故答案为：
16．已知关于 的方程 在 上有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是
【答案】
【分析】先利用指、对数性质整理方程为 ，令 ， ，即得
在 有两个不相等的实根，再转化为 和 ， 有
两个不同的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可.
【详解】解: 由 ，则方程 ，即 ，
令 ， ，则由 单调性可知，函数 是递增的，故 时，
值域为 .
而 转化为 ，
当 时，方程为 ，不成立，故 ，即转化为 在 有两个不相等的实
根，即 和 ， 有两个不同的交点.，当 和 时， ，即 在 上递减，在
上递减；当 时， ， 递增.
另外， 时， ； 时， ； .
结合函数 ， 图象可知，
当 时， 和 ， 的图象有两个不同的交点.
故答案为： .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资
格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市 年共有 名考生参加了中小
学教师资格考试的笔试,笔试成绩 ,只有笔试成绩高于 分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取 人,求这 人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙 名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为 ,设这 名学生中通过面试的
人数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.参考数据:若 ,则 , ,
, , .
【答案】(1)
(2)随机变量 的分布列见解析；期望为
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件 ,由已知得: ,...........................1分
所以 ,..............................................................3分
则 ,.......................................................................................4分
即这 人中至少有一人进入面试的概率为 .............................................................................5分
（2） 的可能取值为 ,.............................................................................................................6分
,
,
,
,......................................................................................................................9分
则随机变量 的分布列为：
.................................................................................................................................................................11分
, ...........................................................................................12分18.（12分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 .
(1)求角 的大小；
(2)设 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理可得： ，则 ，
，则 ，.............................................................................1分
所以 ，................................................3分
∵ ，∴ ，.......................................4分
∵ ，∴ .......................................................................................................................5分
∵ ，∴ ..........................................................................................................................6分
（2） ....................................................8分
..............................................................................................................................10分
∵ ，∴ ，∴
∴ ，∴ ..............................................................................................12分19．（12分）如图，在直三棱柱 中， ， ，D为 的中点．
(1)证明： ；
(2)若点 到平面 的距离为 ，求平面 与平面 的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）
连接 ,
因为四边形 为正方形，所以 ．.............................................................................1分
在直三棱柱 中，平面 平面 ，
由 得 ，又平面 平面 ，所以 平面 ，....2分
又 平面 ，所以 ，.........................................................................................3分又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，................4分
又 平面 ，
所以 .......................................................................................................................................5分
（2）以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
.................................................................................................................................................................6分
设 ，则 ， ， ， ，
， ， ．
设 为平面ABD的一个法向量，
则 ，即 ，得 ，令 ，则 ，
故 ，................................................................................................................................8分
由题意， ，解得 ，.................................................................................9分
所以 ， ．
设 为平面BCD的一个法向量，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，即 ，.................................................................................10分
平面ABC的一个法向量为 ，
设平面 和平面 的夹角为 ，
则 ，....................................................................................11分
所以 ，
所以平面 和平面 的夹角的正弦值为 ．.....................................................................12分
20．（12分）（贵州省遵义市2024届高三第一次质量监测统考数学试题）已知 为椭圆
的两个焦点， 为椭圆 上异于左､右顶点的任意一点， 的周长为6，面积的最大值为 ：
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 的另一交点为 ，与 轴的交点为 .若 ， .试问： 是否
为定值？并说明理由.
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【详解】（1）设椭圆 的方程为 ，则
由椭圆的定义及 的周长为6，知 ①，....................................................................1分
由于 为椭圆 上异于左､右顶点的任意一点，得 到 轴距离最大为 ，
因为 的面积的最大值为 ，
所以 ②，..............................................................................................................2分又 ③，.................................................................................................................................3分
联立①②③，得 ，
所以椭圆 的方程为 .........................................................................................................4分
（2） 为定值 ，理由如下：.................................................................................................5分
根据已知条件作出图形如图所示,
设 ，则 ，
因为 在椭圆内部，则直线 与椭圆一定有两交点，
联立 消去 得： ，.................................................................7分
，......................................................................................................8分
又 ，且 ，
所以 ，同理 ....................................................................................................10分
所以 .所以 为定值 ...........................................................................................................................12分
21．（12分）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 值域；
(2)是否存在正整数a使得 恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由题设 ，则
，.........................................1分
若 ，则 ， ，可得 ， 递增；
若 ，则 ， ，可得 ， 递减；.........................................3分
又 ，
综上， ，值域为 .....................................................................................4分
（2）由 ， ，则 ，.............................................5分
令 ， ，则 ，且 ，当 ， ，（舍）；..........................................6分
当 ，则 ，故 ，
令 ，则
，
又 ，对于 ，有 ，即 递增，
所以 ，故 恒成立，......................................................................8分
所以 ，即 在 上递增，又 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ，即 ， ，符合题意；
当 ，令 ，则 ， ，........................10分
所以 （舍）；.11分
综上，正整数a的取值集合 ..........................................................................................................12分
【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为 在 上恒成立，再分类讨
论参数并结合导数研究函数值的符号，再 时令 ，构造出 为关键.
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .(1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)已知点 ，记 和 交于 两点，求 的值.
【答案】(1)曲线 的普通方程为 ；曲线 的直角坐标方程为
(2)
【详解】（1）已知曲线 （ 为参数），
则 ，由 消参得 ，
则曲线 的普通方程为 ．.................................................................................................2分
由曲线 的极坐标方程为 ，
变形得 ，............................................................................................3分
即 ，且满足 ，
由互化公式 ，得 ，即 .
故曲线 的直角坐标方程为 ．.......................................................................................5分
（2）由于 在直线l上，可设直线l的参数方程的标准形式为 （t为参数），
代入曲线 ，
化简得 ， ，............................................................................................7分
设A，B对应的参数分别为 ， ，
则 ， ，................................................................................................................8分
由于 ，故 ，
所以 .
故 的值为 .....................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集 ；
(2)若 是 的最小值，且正数 满足 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1） ................................................................1分∴ 或 或 ，..................................................................3分
解得 或 或 ，
∴不等式的解集为 ；...........................................................................................5分
（2）证明：由 ，可得 的最小值为 ，...........................................6分
则 ， ，
∴
，当且仅当 时，等号成立，.............................................9分
∴ ．.................................................................................................................10分
